21.2解一元二次方程第二十一章一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.（難點(diǎn)）2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.（重點(diǎn)）復(fù)習(xí)引入一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況思考：一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中,二次項(xiàng)系數(shù)a未必是1,它的兩個根的和、積與系數(shù)又有怎樣的關(guān)系呢？根據(jù)求根公式可知，x1=，x2=.∴x1+x2=+x1x2=●歸納：一元二次方程ax2+bx+c=0兩根x1,x2的和、積如下關(guān)系：x1+x2=

,x1x2=

.

解下列方程并完成填空：（1）x2+3x-4=0;(2)x2-5x+6=0;(3)2x2+3x+1=0.一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0-4123-1x1+x2=-3x1·x2=-4x1+x2=5x1·x2=6猜一猜

（1）若一元二次方程的兩根為x1,x2,則有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2為已知數(shù)）的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2與p,q之間的關(guān)系嗎？重要發(fā)現(xiàn)如果方程x2+px+q=0的兩根是x1,x2,那么x1+x2=-p,x1·x2=q.(x-x1)(x-x2)=0.x2-(x1+x2)x+x1·x2=0，x2+px+q=0，x1+x2=-p,x1·x2=q.猜一猜

（2）如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、

x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？證一證：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）如果一元二次方程

ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、

x2，那么滿足上述關(guān)系的前提條件b2-4ac≥0.注意：1.x2-2x-15=0；例1

口答下列方程的兩根之和與兩根之積.2.x2-6x+4=0；3.2x2+3x-5=0；4.3x2-7x=0；5.2x2=5.x1+x2=-p,x1·x2=q.x1+x2=2,x1·x2=-15.x1+x2=6,x1·x2=4.ax2+bx+c=0(a≠0)兩邊都除以a一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用典例精析下列方程的兩根和與兩根積各是多少？

⑴

x2－3x+1=0；

⑵3x2－2x=2；

⑶2x2+3x=0；

⑷3x2=1.

在使用根與系數(shù)的關(guān)系時:(1)不是一般式的要先化成一般式；(2)在使用x1+x2=－

時，“－”不要漏寫.注意：例2

已知方程5x2+kx-6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.解：設(shè)方程5x2+kx-6=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=2.所以：x1·x2=2x2=即：x2=由于x1+x2=2+=得：k=-7.答：方程的另一個根是，k=-7.已知方程3x2-18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.解：設(shè)方程3x2-18x+m=0的兩個根分別是x1、x2，其中x1=1.所以：x1+x2=1+x2=6，即：x2=5.由于x1·x2=1×5=得：m=15.答：方程的另一個根是5，m=15.例3

不解方程，求方程2x2+3x-1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：

設(shè)x1,x2為方程x2-4x+1=0的兩個根，則:（1）x1+x2=

,(2)x1·x2=

,(3)

,(4)

.411412總結(jié)常見的求值:

求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時,一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和,兩根之積的形式,再整體代入.歸納：疑問解答解：典例學(xué)習(xí)例5已知兩根求方程或已知兩數(shù)之和與積，求這兩個數(shù)1.求一個一元二次方程，使它的兩個根是3，-52.已知兩個數(shù)的和等于8，積等于-9，求這兩個數(shù)解析：設(shè)該方程為x2+px+q=0

則p=-(3-5)=2,q=3×(-5)=-15∴該方程為x2+2x-15=0解析：設(shè)以這兩個數(shù)為根的一元二次方程方程為x2+px+q=0

則p=-8,q=-9∴該方程為x2-8x-9=0

解得x1=9,x2=-1

∴這兩個數(shù)為9,-11.如果-1是方程2x2－x+m=0的一個根，則另一個根是___，m

=____.2.已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為-2和1，則：p=

,q=

.1-2-3當(dāng)堂測試3.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的兩個根，且（x1+1)(x2+1)=4；

（1）求k的值；（2）求(x1-x2)2的值.解：（1）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系所以（x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得：k=-7；

（2）因?yàn)閗=-7,所以則：1.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋(k－1)x＋k2＝0的兩個實(shí)數(shù)根互為倒數(shù)，求k的值．進(jìn)階題2.已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求k的取值范圍；(2)若方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根是a，b，求的值．3.已知關(guān)于x的方程x2-2(k-1)x＋k2＝0有兩個實(shí)數(shù)根x1，x2.(1)k的取值范圍為_________；(2)若|x1＋x2|＝x1x2-1，求k的值．拓展提高變式1.已知a為方程x2-3x+1=0的一個根，求下列式子的值(1);(2)2.已知m、n為方程x2+2x-2018=0的兩不相等實(shí)根，求m2+3m+n值

拓展提高例2k為何值時，一元二次方程3x2-2(3k+1)x+3k2-1=0(1)有一根為0；(2)有兩個互為相反數(shù)的實(shí)數(shù)根；(3)兩根互為倒數(shù)分析：答案都正確嗎？√√×拓展提高例4已知7a2+3a-1=0,7b2+3b-1=0且a≠b，求的值分析：∵7a2+3a-1=0,7b2+3b-1=0且a≠b∵a、b是方程7x2+3x-1=0兩個不等實(shí)根由根與系數(shù)關(guān)系得已知7a2+3a-1=0,7b2+3b-1=0，求的值拓展提高2、利用根與系數(shù)的關(guān)系，求一元二次方程2x2-3x