山東省禹城市中考數(shù)學真題分類（勾股定理）匯編專題攻克考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內(nèi)相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖，有一塊直角三角形紙片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，將斜邊AB翻折，使點B落在直角邊AC的延長線上的點E處，折痕為AD，則BD的長為（

）A．2 B． C． D．42、在中，，，，的對邊分別是a，b，c，若，，則的面積是（

）A． B． C． D．3、如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，且AD⊥BE，垂足為點F，設BC＝a，AC＝b，AB＝c，則下列關系式中成立的是（

）A．a(chǎn)2+b2＝5c2 B．a(chǎn)2+b2＝4c2 C．a(chǎn)2+b2＝3c2 D．a(chǎn)2+b2＝2c24、《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．5、如圖，小巷左右兩側是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底墻到左墻角的距離為1.5m，頂端距離地面2m，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面0.7m，那么小巷的寬度為（

）A．3.2m B．3.5m C．3.9m D．4m6、如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F，若AC=3，AB=5，則CE的長為（）A． B． C． D．7、觀察“趙爽弦圖”（如圖），若圖中四個全等的直角三角形的兩直角邊分別為a，b，，根據(jù)圖中圖形面積之間的關系及勾股定理，可直接得到等式（

）A． B．C． D．第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、如圖，一架長5米的梯子A1B1斜靠在墻A1C上，B1到墻底端C的距離為3米，此時梯子的高度達不到工作要求，因此把梯子的B1端向墻的方向移動了1.6米到B處，此時梯子的高度達到工作要求，那么梯子的A1端向上移動了_____米．2、如圖，已知，那么數(shù)軸上點所表示的數(shù)是________．3、云頂滑雪公園是北京2022年冬奧會7個雪上競賽場館中唯一利用現(xiàn)有雪場改造而成的．下圖左右兩幅圖分別是公園內(nèi)云頂滑雪場U型池的實景圖和示意圖，該場地可以看作是從一個長方體中挖去了半個圓柱而成，它的橫截面圖中半圓的半徑為，其邊緣，點E在上，．一名滑雪愛好者從點A滑到點E，他滑行的最短路線長為_________m．4、已知，在中，，，，則的面積為__．5、如圖，某農(nóng)舍的大門是一個木制的長方形柵欄，它的高為2m，寬為1.5m，現(xiàn)需要在相對的頂點間用一塊木板加固，則木板的長為________．6、學習完《勾股定理》后，尹老師要求數(shù)學興趣小組的同學測量學校旗桿的高度．同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到了地面并多出了一段，但這條繩子的長度未知．如圖，經(jīng)測量，繩子多出的部分長度為1米，將繩子沿地面拉直，繩子底端距離旗桿底端4米，則旗桿的高度為______米．7、如圖，在中，，分別以，，邊為直徑作半圓，圖中陰影部分在數(shù)學史上稱為“希波克拉底月牙”，當，時，陰影部分的面積為________．8、有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面，這根蘆葦?shù)拈L度為_____尺．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、我們知道，到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上．由此，我們可以引入如下新定義：到三角形的兩個頂點距離相等的點，叫做此三角形的準外心．（1）如圖1，點P在線段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求證：點P是△APD的準外心；（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的準外心P在△ABC的直角邊上，試求AP的長．2、如圖，一個長5m的梯子AB，斜靠在一豎直的墻AO上，這時AO的距離為4m，如果梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點．（1）求梯子底端B外移距離BD的長度；（2）猜想CE與BE的大小關系，并證明你的結論．3、如圖，某海岸線MN的方向為北偏東75°，甲，乙兩船分別向海島C運送物資，甲船從港口A處沿北偏東45°方向航行，乙船從港口B處沿北偏東30°方向航行，已知港口B到海島C的距離為30海里，求港口A到海島C的距離．4、如圖，點是內(nèi)一點，把繞點順時針旋轉得到，且，，.（1）判斷的形狀，并說明理由；（2）求的度數(shù).5、一架云梯長25m，如圖所示斜靠在一而墻上，梯子底端C離墻7m．（1）這個梯子的頂端A距地面有多高?（2）如果梯子的頂端下滑了4m，那么梯子的底部在水平方向滑動了多少米?6、拖拉機行駛過程中會對周圍產(chǎn)生較大的噪聲影響．如圖，有一臺拖拉機沿公路AB由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線AB上兩點A，B的距離分別為150m和200m，又AB＝250m，拖拉機周圍130m以內(nèi)為受噪聲影響區(qū)域．（1）學校C會受噪聲影響嗎？為什么？（2）若拖拉機的行駛速度為每分鐘50米，拖拉機噪聲影響該學校持續(xù)的時間有多少分鐘？7、某海上有一小島，為了測量小島兩端A，B的距離，測量人員設計了一種測量方法，如圖，已知B是CD的中點，E是BA延長線上的一點，且∠CED＝90°，測得AE＝16.6海里，DE＝60海里，CE＝80海里．(1)求小島兩端A，B的距離．(2)過點C作CF⊥AB交AB的延長線于點F，求值．-參考答案-一、單選題1、B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD．【詳解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，∴，由翻折得AE=AB=10，DE=BD，∴CE=AE-AC=10-8=2，在Rt△CED中，，∴，解得BD=，故選：B．【考點】此題考查了勾股定理的應用，翻折的性質(zhì)，熟記勾股定理的計算公式是解題的關鍵．2、A【解析】【分析】根據(jù)題意可知，的面積為，結合已知條件，根據(jù)完全平方公式變形求值即可．【詳解】解：中，，，，所對的邊分別為a，b，c，，∵，，∴，，故A正確．故選：A．【考點】本題主要考查了勾股定理，完全平方公式變形求值，解題的關鍵是將完全平方公式變形求出ab的值．3、A【解析】【詳解】設EF＝x，DF＝y(tǒng)，根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得AF＝2y，BF＝2EF＝2x，利用勾股定理得到4x2+4y2＝c2，4x2+y2＝b2，x2+4y2＝a2，然后利用加減消元法消去x、y得到a、b、c的關系．【解答】解：設EF＝x，DF＝y(tǒng)，∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線，∴點F為△ABC的重心，AF＝AC＝b，BD＝a，∴AF＝2DF＝2y，BF＝2EF＝2x，∵AD⊥BE，∴∠AFB＝∠AFE＝∠BFD＝90°，在Rt△AFB中，4x2+4y2＝c2，①在Rt△AEF中，4x2+y2＝b2，②在Rt△BFD中，x2+4y2＝a2，③②+③得5x2+5y2＝（a2+b2），∴4x2+4y2＝（a2+b2），④①﹣④得c2﹣（a2+b2）＝0，即a2+b2＝5c2．故選：A．【點評】本題考查了三角形的重心：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了勾股定理．4、D【解析】【分析】先畫出三角形，根據(jù)勾股定理和題目設好的未知數(shù)列出方程．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，，，設折斷處離地面的高度是x尺，即，根據(jù)勾股定理，，即．故選：D．【考點】本題考查勾股定理的方程思想，解題的關鍵是根據(jù)題意利用勾股定理列出方程．5、C【解析】【分析】如圖，在Rt△ACB中，先根據(jù)勾股定理求出AB，然后在Rt△A′BD中根據(jù)勾股定理求出BD，進而可得答案．【詳解】解：如圖，在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝1.5米，AC＝2米，∴AB2＝1.52+22＝6.25，∴AB=2.5米，在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝0.7米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+0.72＝6.25，∴BD2＝5.76，∵BD＞0，∴BD＝2.4米，∴CD＝BC+BD＝1.5+2.4＝3.9米．故選：C．【考點】本題考查了勾股定理的應用，正確理解題意、熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．6、A【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，根據(jù)角平分線和對頂角相等得出∠CEF=∠CFE，即可得出EC=FC，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案．【詳解】過點F作FG⊥AB于點G，∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠CDA=90°，∴∠CAF+∠CFA=90°，∠FAD+∠AED=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠FAD，∴∠CFA=∠AED=∠CEF，∴CE=CF，∵AF平分∠CAB，∠ACF=∠AGF=90°，∴FC=FG，∵∠B=∠B，∠FGB=∠ACB=90°，∴△BFG∽△BAC，∴，∵AC=3，AB=5，∠ACB=90°，∴BC=4，∴，∵FC=FG，∴，解得：FC=，即CE的長為．故選A．【考點】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，關鍵是推出∠CEF=∠CFE．7、C【解析】【分析】根據(jù)小正方形的面積等于大正方形的面積減去4個直角三角形的面積可得問題的答案．【詳解】標記如下：∵，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣4＝a2﹣2ab+b2．故選：C．【考點】此題考查的是利用勾股定理的證明，可以完全平方公式進行證明，掌握面積差得算式是解決此題關鍵．二、填空題1、0.8【解析】【分析】梯子的長是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動前和滑動后的所構成的兩直角三角形，分別得出AO，A1O的長即可．【詳解】解：在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理知，A1O==4（m），在Rt△ABO中，由題意可得：BO=1.4（m），根據(jù)勾股定理知，AO==4.8（m），所以AA1=AO-A1O=0.8（米）．故答案為0.8．【考點】本題考查勾股定理的應用，解題關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．2、【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理得：OB=．即OA=．又點A在數(shù)軸的負半軸上，則點A對應的數(shù)是-．【詳解】解：由圖可知，OC=2，作BC⊥OC，垂足為C，取BC=1，故，∵A在x的負半軸上，∴數(shù)軸上點A所表示的數(shù)是-．故答案為：-．【考點】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸，勾股富士蝗應用，熟練運用勾股定理，同時注意根據(jù)點的位置以確定數(shù)的符號．3、【解析】【分析】根據(jù)題意可得，AD＝12m，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20m，線段AE即為滑行的最短路線長．在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理即可求出滑行的最短路線長．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意可知：AD＝＝12，DE＝CD﹣CE＝24﹣4＝20，線段AE即為滑行的最短路線長．在Tt△ADE中，根據(jù)勾股定理，得AE＝（m）．故答案為：【考點】本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，解決本題的關鍵是掌握圓柱的側面展開圖是矩形，利用勾股定理求最短距離．4、2或14#14或2【解析】【分析】過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是鈍角三角形時，②△ABC是銳角三角形時，分別求出AC的長，即可求解．【詳解】解：過點作邊的高，中，，，，在中，，，①是鈍角三角形時，，；②是銳角三角形時，，，故答案為：2或14．【考點】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關鍵是分類討論思想．5、2.5m【解析】【詳解】設木棒的長為xm，根據(jù)勾股定理可得：x2=22+1.52，解得x=2.5．故木棒的長為2.5m．故答案為2.5m．6、7.5；【解析】【分析】旗桿、拉直的繩子與地面構成直角三角形，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，用勾股定理即可解答．【詳解】解：如圖，設旗桿的長度為xm，則繩子的長度為：（x+1）m，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+42=（x+1）2，解得：x=7.5，∴旗桿的高度為7.5m，故答案為7.5．【考點】本題考查的是勾股定理的應用，根據(jù)題意得出直角三角形是解答此題的關鍵．7、24【解析】【分析】根據(jù)勾股定理得到AC2=AB2-BC2，先求解AC，再根據(jù)陰影部分的面積等于直角三角形的面積加上以AC，BC為直徑的半圓面積，再減去以AB為直徑的半圓面積即可．【詳解】解：由勾股定理得，AC2=AB2-BC2=64，則陰影部分的面積，故答案為24．【考點】本題考查的是勾股定理、半圓面積計算，掌握勾股定理和半圓面積公式是解題的關鍵．8、13【解析】【分析】找到題中的直角三角形，設水深為x尺，根據(jù)勾股定理解答．【詳解】解：設水深為尺，則蘆葦長為尺，根據(jù)勾股定理得：，解得：，蘆葦?shù)拈L度（尺，答：蘆葦長13尺．故答案為：13．【考點】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數(shù)學的關鍵．三、解答題1、（1）見解析；（2）AP的長為或2或【解析】【分析】（1）利用AAS證明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定義可知點P是△APD的準外心；（2）先利用勾股定理計算AC=4，再進行討論：當P點在AB上，PA＝PB，當P點在AC上，PA＝PC，易得對應AP的值；當P點在AC上，PB＝PC，設AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此時AP的長．【詳解】（1）證明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，∴∠PAB＝∠DPC，在△ABP和△PCD中，，∴△ABP≌△PCD（AAS），∴AP＝PD，∴點P是△APD的準外心；（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，∴AC4，當P點在AB上，PA＝PB，則APAB；當P點在AC上，PA＝PC，則APAC＝2，當P點在AC上，PB＝PC，如圖2，設AP＝t，則PC＝PB＝4﹣x，在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，即此時AP，綜上所述，AP的長為或2或．【考點】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及新定義的運用能力．理解題中給的定義是解題的關鍵．2、（1）BD=1m；（2）CE與BE的大小關系是CE=BE，證明見解析.【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出OB，求出OC，再根據(jù)勾股定理求出OD，即可求出答案；（2）求出△AOB和△DOC全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出OC=OB，∠ABO=∠DCO，求出∠OCB=∠OBC，求出∠EBC=∠ECB，根據(jù)等腰三角形的判定得出即可．【詳解】（1）∵AO⊥OD，AO=4m，AB=5m，∴OB==3m，∵梯子的頂端A沿墻下滑1m至C點，∴OC=AO﹣AC=3m，∵CD=AB=5m，∴由勾股定理得：OD=4m，∴BD=OD﹣OB=4m﹣3m=1m；（2）CE與BE的大小關系是CE=BE，證明如下：連接CB，由（1）知：AO=DO=4m，AB=CD=5m，∵∠AOB=∠DOC=90°，在Rt△AOB和Rt△DOC中，∴Rt△AOB≌Rt△DOC（HL），∴∠ABO=∠DCO，OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠ABO﹣∠OBC=∠DCO﹣∠OCB，∴∠EBC=∠ECB，∴CE=BE．【考點】本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)等，能靈活運用勾股定理進行計算是解（1）的關鍵，能求出∠DCO=∠ABO和OC=OB是解（2）的關鍵．3、【解析】【分析】過點C作CD⊥AM垂足為D，設CD=x，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求可得AC=2x、BD=BC=x，再利用勾股定理可求得x，進而求得AC的長．【詳解】解：過點C作CD⊥AM垂足為D，∴∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=30°，設CD=x∵在Rt△ACD中，∠CAD=75°-45°=30°∴AC=2x∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°,BC=30∴BD=BC=x∴，解得x=∴AC=2x=．答：港口A到海島C的距離是海里．【考點】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握直角三角形的邊角關系是正確解答的前提，作垂線構造直角三角形是解決問題的關鍵．4、（1）是直角三角形，理由見解析；（2）150°.【解析】【分析】（1）求出DE，CE，CD長，根據(jù)勾股逆定理可知的形狀；（2）由等邊三角形角的性質(zhì)和全等三角形角的性質(zhì)可知的度數(shù)【詳解】解：（1）是直角三角形理由如下：繞點順時針旋轉得到，，，，是等邊三角形，，又，，是直角三角形.（2）由（1）得，，是等邊三角形，，，.【考點】本題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的證明和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)和判定、勾股逆定理，熟練應用等邊三角形的性質(zhì)求線段長及角度是解題的關鍵.5、（1）這個梯子的頂端距地面有高；（2）梯子的底部在水平方向滑動了．【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理即可求解；（2）先求出BD，再根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：（1）由題意可知：，；，在中，由勾股定理得：，∴，因此，這個梯子的頂端距地面有高．（2）由圖可知：AD=4m，，在中，由勾股定理得：，∴，∴．答：梯子的底部在水平方向滑動了．【考點】此題主要考查勾股定理的實際應用，解題的關鍵是根據(jù)題意在直角三角形中，利用勾股定理進行求解．6、（1）會受噪聲影響，理由