乙卷數(shù)學(xué)題目及答案詳解一、選擇題（共60分）1.若函數(shù)f(x)=x^2-4x+m在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）。A.m≥4B.m≤4C.m≥0D.m≤0答案：A解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+m的對(duì)稱軸為x=2，要使函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增，需滿足m≥4。2.已知向量a=(2,1)，向量b=(-1,2)，則向量a與向量b的數(shù)量積為（）。A.0B.1C.-3D.3答案：C解析：向量a與向量b的數(shù)量積為a·b=2×(-1)+1×2=-3。3.已知雙曲線C的方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，若雙曲線C的一條漸近線方程為y=(√3)x，則雙曲線C的離心率為（）。A.√3B.2C.√6D.3答案：A解析：雙曲線C的漸近線方程為y=±(√(b^2/a^2))x，由題意可得√(b^2/a^2)=√3，即b^2=3a^2。雙曲線C的離心率e=√(1+(b^2/a^2))=√(1+3)=√4=2。4.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，若f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）。A.k∈(-∞,1)∪(1,+∞)B.k∈(-∞,-1)∪(1,+∞)C.k∈(-∞,-1)∪(1,3)D.k∈(-∞,1)∪(3,+∞)答案：D解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=2，在x=1處取得極小值f(1)=-2。若f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足f(-2)≥0且f(2)≤0，即8+6≥0且8-6≤0，解得k∈(-∞,1)∪(3,+∞)。5.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=6，則數(shù)列{an}的公差d為（）。A.-1B.0C.1D.3答案：A解析：由題意可得3a3=9，3a4=6，解得a3=3，a4=2。因此，數(shù)列{an}的公差d=a4-a3=2-3=-1。二、填空題（共20分）6.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，若f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則f(0)的值為______。答案：0解析：由題意可知，f(0)=0^3-3×0=0。7.已知雙曲線C的方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，若雙曲線C的一條漸近線方程為y=(√3)x，則雙曲線C的離心率e的值為______。答案：2解析：由題意可得b^2=3a^2，雙曲線C的離心率e=√(1+(b^2/a^2))=√(1+3)=√4=2。8.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=6，則數(shù)列{an}的公差d的值為______。答案：-1解析：由題意可得3a3=9，3a4=6，解得a3=3，a4=2。因此，數(shù)列{an}的公差d=a4-a3=2-3=-1。三、解答題（共70分）9.（本題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的極大值和極小值。解：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=2，在x=1處取得極小值f(1)=-2。10.（本題滿分15分）已知雙曲線C的方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1(a>0,b>0)，若雙曲線C的一條漸近線方程為y=(√3)x，求雙曲線C的離心率。解：雙曲線C的漸近線方程為y=±(√(b^2/a^2))x，由題意可得√(b^2/a^2)=√3，即b^2=3a^2。雙曲線C的離心率e=√(1+(b^2/a^2))=√(1+3)=√4=2。11.（本題滿分15分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=6，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。解：由題意可得3a3=9，3a4=6，解得a3=3，a4=2。因此，數(shù)列{an}的公差d=a4-a3=2-3=-1。又a1+a3+a5=3a3=9，解得a1=5。所以，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d=5-(n-1)=6-n。12.（本題滿分15分）已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，若f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(-1,1)時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。因此，函數(shù)f(x)在x=-1處取得極大值f(-1)=2，在x=1處取得極小值f(1)=-2。若f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則需滿足f(-2)≥0且f(2)≤0，即8+6≥0且8-6≤0，解得k∈(-∞,1)∪(3,+∞)。13.（本題滿分13分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1+a3+a5=9，a2+a4+a6=6，求數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10。解：由題意可得3a3=9，3a4=6，解得a3=3，a4=2。因此，數(shù)列{an}的公差d=a4-a3=2-3=-1。又a1+a3+a5=3a3=9，解得a1=5。所以，數(shù)列{an}的前10項(xiàng)和S10=10a1+(10×9)/2×d=10×5+(10×9)/2×(-1)=50-45=5。四、證明題（共10分）14.（本題滿分10分）證明：若函數(shù)f(x)=x^3-3x，則f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)。證明：函數(shù)f(x)=x^3-3x的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)。令f'(x)=0，得x=±1。當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí)