五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第五冊(cè)）》教案課題22.3.2曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸進(jìn)線授課時(shí)間學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線的定義，會(huì)求曲線的凹凸性、拐點(diǎn)與漸近線，能根據(jù)曲線性質(zhì)畫(huà)成曲線圖象2.培養(yǎng)和提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、思想方法、數(shù)學(xué)精神等核心素養(yǎng)教學(xué)重點(diǎn)曲線的凹凸性、拐點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)曲線的漸近線教學(xué)準(zhǔn)備PPT教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容一、問(wèn)題情境函數(shù)的凹凸性教師活動(dòng)1．函數(shù)的凹凸性假如你是一名滑雪愛(ài)好者，計(jì)劃去張家口某個(gè)冬奧會(huì)滑雪場(chǎng)體驗(yàn)滑雪的樂(lè)趣.在出發(fā)前，你查看了滑雪場(chǎng)幾個(gè)主要滑道的3D介紹視頻，發(fā)現(xiàn)這些滑道宛如波浪，起起伏伏，有的滑道先下降后上升，“凹”下去；有的滑道先上升后下降，“凸”起來(lái).你開(kāi)始憧憬滑雪帶來(lái)的樂(lè)趣.那么如何用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)滑道的形態(tài)進(jìn)行刻畫(huà)呢？在滑雪場(chǎng)，滑雪者可能會(huì)遇到下面三種滑道.第一種是凹形滑道【如圖22-16（a）】.這種滑道起始部分坡度較陡，重力沿坡面的分力使滑雪者獲得較大加速度.當(dāng)滑雪者在這樣的滑道上滑下時(shí)，速度提升快，滑到滑道底部時(shí)，由于之前的加速，速度達(dá)到整個(gè)滑行過(guò)程中的最大值，這種高速帶來(lái)的刺激感十分強(qiáng)烈；滑過(guò)滑道底部后，滑道開(kāi)始上升，重力沿坡面的分力變?yōu)樽枇?，滑雪者能明顯感覺(jué)到速度快速下降.學(xué)生活動(dòng)觀察并思考，討論教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)二、抽象概括凹凸性第二種是凸形滑道【如圖22-16（b）】.滑雪者在這樣的滑道上滑行時(shí)，需要克服重力的作用,隨著高度上升，坡度變陡，重力作用越發(fā)明顯.滑過(guò)滑道頂部后，則能享受到速度逐漸加快帶來(lái)的刺激.第三種是如下情形的滑道：在這樣的滑道中可能會(huì)有這樣一個(gè)“位置”，在這個(gè)位置之前滑道是凹形的，過(guò)了這個(gè)位置之后滑道變?yōu)橥剐?，或者反?這個(gè)“位置”就是滑道的“拐點(diǎn)”，滑雪者滑到這個(gè)位置時(shí)，會(huì)感覺(jué)到滑行狀態(tài)的變化很明顯.圖象類(lèi)似于圖22-16（a）的函數(shù)稱(chēng)為凹函數(shù)，其圖象的切線斜率隨著自變量的增大而增大，函數(shù)圖象位于其每一點(diǎn)處切線的上方；圖象類(lèi)似于圖22-16（b）的函數(shù)稱(chēng)為凸函數(shù)，其圖象的切線斜率隨著自變量的增大而減小，函數(shù)圖象位于其每一點(diǎn)處切線的下方.定義22.8設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，若對(duì)任意x1fx則稱(chēng)曲線y=f(x)在[a,b]上是凹的，如圖22-17(a)；若對(duì)任意x1fx則稱(chēng)曲線y=f(x)在[a,b]上是凸的，如圖22-17(b).數(shù)形結(jié)合，觀察，理解在計(jì)算中逐漸掌握規(guī)律積極思考，理解定義教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)凹的曲線也稱(chēng)為上凹的或下凸的，凸的曲線也稱(chēng)為上凸的或下凹的.如圖22-18(a)，凹的曲線y=fx上每一點(diǎn)的切線總是在曲線的下方，并且隨著x的增加，切線的斜率(導(dǎo)數(shù)f'(x))在增大(這意味著f″(x)>0)；如圖22-18(b)，凸的曲線y=fx上每一點(diǎn)的切線總是在曲線的上方，并且隨著由此得到以下結(jié)論：定理22.11設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在a,b內(nèi)具有一階及二階導(dǎo)數(shù).(1)若f″(x)>0(a<x<b)，則曲線y=f(x)在(2)若f″(x)<0(a<x<b)，則曲線y=f(x)在例如函數(shù)y=x2，因?yàn)閥″理解、記憶教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)三、抽象概括曲線的拐點(diǎn)四、例題講析五、抽象概括曲線的漸近線2.曲線的拐點(diǎn)如圖22-19，曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,f(x0))鄰近的兩側(cè)有相反的凹凸性，則稱(chēng)點(diǎn)M(x0,f(由拐點(diǎn)的定義可知,若M(x0,f(x0))為曲線在曲線y=f(x)的拐點(diǎn)M(x0,f(x0))處，可能出現(xiàn)的情況一般有兩種：例5曲線y=(x-13.曲線的漸近線定義22.9當(dāng)曲線y=f(x)上的一動(dòng)點(diǎn)沿著曲線向無(wú)窮遠(yuǎn)處移動(dòng)時(shí)，若該點(diǎn)與某條定直線l的距離趨向于零（直線l與曲線y=f(x)不相交），則直線l就稱(chēng)為曲線y=f(x)的一條漸近線(如圖22-21所示).理解、記憶觀察、思考通過(guò)例題，加深對(duì)概念的理解記憶教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)六、例題講析漸近線分為水平漸近線、鉛直漸近線和斜漸近線三種.這里主要介紹水平漸近線和鉛直漸近線.定義22.10（水平漸近線）若函數(shù)y=f(x)的定義域是無(wú)窮區(qū)間，且limx→∞f(x)=C，則稱(chēng)直線y=C為曲線y=f(x)當(dāng)x類(lèi)似地，可以定義x→+∞或x→2.鉛直漸近線定義22.11（鉛直漸近線）若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處間斷，且limx→x0f(x)=∞(或limx→x0例如，函數(shù)y=1x-1，因?yàn)閘imx→∞1x-1=0，所以直線y=0為曲線y=1例6作出函數(shù)f(x)=x積極思考，回答問(wèn)題理解定義，記憶公式

教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)七、課堂練習(xí)八、課堂小結(jié)練習(xí)1.求函數(shù)f(x)=2x2.求下列函數(shù)的極值.（1）f(x)=xx23.求下列曲線的凹凸區(qū)