五年制高等職業(yè)教育公共基礎(chǔ)課程教材《數(shù)學(xué)（第五冊(cè)）》教案課題21.3.1函數(shù)極限的定義授課時(shí)間學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解函數(shù)極限的直觀定義2.理解函數(shù)極限的定義3.了解函數(shù)極限定義證明函數(shù)極限值的方法教學(xué)重點(diǎn)函數(shù)極限定義教學(xué)難點(diǎn)函數(shù)極限定義的應(yīng)用教學(xué)準(zhǔn)備PPT教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容一、問(wèn)題探究二、抽象概括（一）函數(shù)的極限直觀定義教師活動(dòng)在21.2中，我們討論了無(wú)窮數(shù)列的極限.數(shù)列是按照一定次序排成的一列數(shù),我們可以借用函數(shù)來(lái)表示無(wú)窮數(shù)列an函數(shù)的定義域?yàn)檎麛?shù)集，即n=1,2,3,?,且函數(shù)值f這樣,我們就能把數(shù)列看作是定義域?yàn)檎麛?shù)集的特殊的函數(shù).在21.2中已經(jīng)討論了這類特殊函數(shù)的極限，那么定義域取值范圍更廣、更一般的函數(shù)fx一、問(wèn)題探究函數(shù)fx=x若直接代入x=1,函數(shù)fx=出現(xiàn)無(wú)意義的“00”，因?yàn)楹瘮?shù)在處沒(méi)有定義.通過(guò)觀察函數(shù)圖象（如圖21-12）可以看出，當(dāng)趨于1時(shí)，函數(shù)fx仿照數(shù)列極限的記法，我們可以將以上結(jié)論表示為limx→1上式讀作“當(dāng)x趨于1時(shí)，函數(shù)fx二、抽象概括（一）函數(shù)的極限的直觀定義我們可以給出函數(shù)極限的一個(gè)直觀定義：若當(dāng)x趨于（而不等于）x0時(shí)，函數(shù)f(x)值能夠“要多接近就有多接近”于某固定的常數(shù)L，則稱L為f(x)當(dāng)x趨于xlimx→學(xué)生活動(dòng)學(xué)生思考數(shù)列作為特殊函數(shù)，函數(shù)是有極限，引入本節(jié)課主題通過(guò)觀察圖像體會(huì)函數(shù)極限的含義教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)三、例題講析四、課內(nèi)練習(xí)這里并不要求函數(shù)f(x)在x=x0處一定有定義.如上例中，函數(shù)fx=x3?1x?1在x=1處沒(méi)有定義.同時(shí)，極限值L也并不一定就是三、例題講析例1求lim例2觀察函數(shù)y=f(x)的圖象（如圖21-1(1)limx→2f(x);(2)limx→4例3（無(wú)限振蕩）觀察函數(shù)fx=sin1（如圖12-15），判斷l(xiāng)imx→0sin四、課內(nèi)練習(xí)1.求極限limx→0(2x+1)2.觀察函數(shù)y=f(x)的(1)lim(2)lim通過(guò)觀察圖象等方式,我們雖能直觀地感受函數(shù)的極限，但還需進(jìn)一步研究極限的精確定義.“當(dāng)x→x0時(shí)，f(x)的極限值等于L”，我們可以理解為：只要x“充分地接近”（而不等于）x0,那么f(x)和常數(shù)L通過(guò)例題幫助學(xué)生題解函數(shù)極限解法練習(xí)教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)（二）函數(shù)極限定義五、合作交流（二）函數(shù)極限的定義設(shè)ε表示任意給定的、很小的正數(shù)，δ是(由ε確定的)另外一個(gè)正數(shù)，則：(1)“fx?L<ε”表示f(x)與常數(shù)L的差距(2)“0<x?x0<δ”表示x與x0的距離小于δ，且x≠x0（因此，只要x“充分地接近”（而不等于）x0,那么f(x)和常數(shù)L的差距“要多小就有多小”,這句話可以用下面的文字精確描述：對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，都存在一個(gè)正數(shù)δ，只要0<x?x0<δ,都有f定義21.5(函數(shù)極限的定義)設(shè)L為常數(shù)，對(duì)于任給的正數(shù)ε（不論多么?。?，如果總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0<x?x0fx那么就把固定值L稱為函數(shù)f(x)當(dāng)x→limx→例題講析（二）例4用函數(shù)極限的定義證明lim通過(guò)上例可發(fā)現(xiàn)，要證明函數(shù)極限存在，實(shí)質(zhì)上就是研究怎么從“ε”（看作是給定的）去尋找“δ”(通常是關(guān)于ε的表達(dá)式).五、合作交流根據(jù)函數(shù)極限的定義，當(dāng)x→x0時(shí)，函數(shù)極限的“ε?δ”定義較為抽象、難以理解，但能夠幫助我們從本質(zhì)上把握微積分.極限的思想由來(lái)已久，但長(zhǎng)期以來(lái)，極限的精確定義卻一直無(wú)法給出.直到19世紀(jì)，柯西（Cauchy,1789-1857）才給出了一個(gè)定義：學(xué)生體會(huì)函數(shù)極限定義中的意義。通過(guò)例題鞏固用函數(shù)極限的定義證明函數(shù)極限值合作交流加深函數(shù)極限定義的理解教學(xué)過(guò)程教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)六、課堂小結(jié)“如果一個(gè)變量連續(xù)地、無(wú)限地接近于一個(gè)固定數(shù)值，以至于該變量的取值最終與這個(gè)固定值只相差一個(gè)任意小的數(shù)，這個(gè)固定值就是該變量的極限值.”這個(gè)定義雖不完全精確,但卻孕育了本節(jié)極限的“ε?δ”定義.在柯西的基礎(chǔ)上，魏爾斯特拉斯（Weierstrass,1815-1897）才最終給出了本節(jié)極限的“ε?δ”定義.因此,即便嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)，常常也經(jīng)歷了由不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)絿?yán)謹(jǐn)、由不完善到完善的過(guò)程,這體現(xiàn)了精益求精的精神.極限可以解決許多過(guò)去無(wú)法解決的問(wèn)題.比如，運(yùn)動(dòng)中的物體在某一時(shí)段內(nèi)的平均速度等于在該段時(shí)間內(nèi)的路程除以時(shí)間長(zhǎng)度,而物體在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度可以看作是時(shí)間長(zhǎng)度趨于0時(shí)平均速度的極限值.例52024年6月2日，中國(guó)嫦娥六號(hào)成功著落在月球背面南極，開(kāi)啟了人類探測(cè)器首次在月球背面實(shí)施的樣品采集任務(wù).在月球上，一塊巖石從靜止開(kāi)始下落，t秒后的下落距離為st=0.8t2米求從開(kāi)始下落（t=0）到巖石著地（求巖石在落地時(shí)刻t=2秒時(shí)的速度.課內(nèi)練習(xí)（二）1.如果函數(shù)f(x)在x=1處有