集合、區(qū)間與充要條件專題集合、區(qū)間與充要條件1.2區(qū)間

知識點1

區(qū)間1.

區(qū)間：一般地，由數軸上兩點間的所有實數所組成的集合稱為區(qū)間，這兩個點

稱為區(qū)間端點.2.

設a，b∈R，且a＜b.（1）閉區(qū)間：滿足不等式a≤x≤b的實數x的集合稱為閉區(qū)間，表示為[a，b].（2）開區(qū)間：滿足不等式a＜x＜b的實數x的集合稱為開區(qū)間，表示為（a，

b）.（3）左閉右開區(qū)間：滿足不等式a≤x＜b的實數x的集合稱為左閉右開區(qū)間，

表示為[a，b）.（4）左開右閉區(qū)間：滿足不等式a＜x≤b的實數x的集合稱為左開右閉區(qū)間，

表示為（a，b].上述區(qū)間表示的集合及其數軸表示可歸納為集合表示數軸表示區(qū)間表示{x｜a≤x≤b}

[a，b]{x｜a＜x＜b}

（a，b）{x｜a≤x＜b}

[a，b）{x｜a＜x≤b}

（a，b]知識點2

無窮區(qū)間1.

集合{x｜x≥a}，用區(qū)間表示為[a，＋∞）.2.

集合{x｜x＞a}，用區(qū)間表示為（a，＋∞）.3.

集合{x｜x≤b}，用區(qū)間表示為（－∞，b].4.

集合{x｜x＜b}，用區(qū)間表示為（－∞，b）.上述區(qū)間表示的集合及其數軸表示可歸納為集合表示數軸表示區(qū)間表示{x｜x≥a}

[a，＋∞）{x｜x＞a}

（a，＋∞）{x｜x≤b}

（－∞，b]{x｜x＜b}

（－∞，b）R（－∞，＋∞）

例1

已知集合A＝{x｜x≤－2或1＜x≤3}，則集合A用區(qū)間表示為（）.A.

（－∞，－2）∪（1，3]B.

（－∞，－2）∪（1，3）C.

（－∞，－2]∪（1，3]D.

（－∞，－2]∪[1，3）【考查目標】本題考查區(qū)間的概念和集合的區(qū)間表示.【解析】對于集合A＝{x｜x≤－2或1＜x≤3}，集合{x｜x≤－2}是個無窮區(qū)

間，集合{x｜1＜x≤3}是左開右閉區(qū)間，故集合A用區(qū)間表示為（－∞，－2]∪（1，3].【答案】

C【解題技巧】用區(qū)間表示集合時，要特別注意區(qū)間開、閉的問題，而且正、負無

窮大表示區(qū)間端點時必須用小括號.區(qū)間左端點數要小于其右端點數，中間用逗

號隔開；集合中包含區(qū)間端點的，在區(qū)間中用中括號表示，集合中不包含區(qū)間端

點的，在區(qū)間中用小括號表示；無窮區(qū)間的“－∞”在左端，“＋∞”在右端.變式訓練1已知集合A＝{x｜0≤x＜4或x＞5}，則集合A用區(qū)間表示為（D）.【解析】集合{x｜0≤x＜4}是左閉右開區(qū)間，集合{x｜x＞5}是無窮區(qū)間，故

集合A用區(qū)間表示為[0，4）∪（5，＋∞）.D例2

設全集U＝（－5，8]，集合A＝（－∞，5），集合B＝[3，＋∞）.求：（1）A∩B；【解析】

（1）A∩B＝（－∞，5）∩[3，＋∞）＝[3，5）.（2）A∪B；【解析】（2）A∪B＝（－∞，5）∪[3，＋∞）＝（－∞，＋∞）＝R.

（3）

U（A∩B）.【解析】（3）

U（A∩B）＝（－5，3）∪[5，8].【考查目標】本題考查集合的交集、并集和補集及區(qū)間表示.【解題技巧】當全集不是全體實數時，求補集時要注意區(qū)間左右端點的數和所用

的括號；求交集時，要找出它們的公共部分；求并集時，要注意相同的元素不能

重復出現；求補集時，要注意（A∩B）∪

U（A∩B）＝U，（A∩B）∩

U

（A∩B）＝?.變式訓練2已知全集U＝（－4，6]，集合A＝（－2，4]，集合B＝（3，＋∞）.求：（1）A∩B；解：（1）A∩B＝（3，4].（2）A∪B；解：（2）A∪B＝（－2，＋∞）.（3）

U（A∩B）.解：（3）

U（A∩B）＝（－4，3]∪（4，6].例3

已知全集U＝R，集合A＝[－5，3），集合B＝（－2，4].利用數軸求：（1）A∩B；【解析】集合A與集合B的數軸表示如圖所示.（1）A∩B＝[－5，3）∩（－2，4]＝（－2，3）.（2）A∪B；【解析】（2）A∪B＝[－5，3）∪（－2，4]＝[－5，4].（3）

UA；【解析】（3）

UA＝（－∞，－5）∪[3，＋∞）.（4）（

UA）∪（

UB）.【解析】（4）∵

UA＝（－∞，－5）∪[3，＋∞），

UB＝（－∞，－2]∪

（4，＋∞），∴（

UA）∪（

UB）＝（－∞，－2]∪[3，＋∞）.【考查目標】本題考查利用數軸求集合的交集、并集和補集.【解題技巧】在數軸上表示區(qū)間時，一定要注意左、右端點表示的數的位置是用

實心圓點，還是空心圓圈.區(qū)間中的中括號表示包括這個數，用實心圓點表示；

小括號表示不包括這個數，用空心圓圈表示.寫區(qū)間時，要求小數在左，大數在

右，中間用逗號隔開.變式訓練3已知全集U＝R，集合A＝[－2，0），集合B＝[0，5].利用數軸求：（1）A∩B；解：數軸略.（1）A∩B＝?.（2）A∪B；解：（2）A∪B＝[－2，5].（3）（

UA）∩（

UB）.解：（3）∵

UA＝（－∞，－2）∪[0，＋∞），

UB＝（－∞，0）∪（5，＋

∞），∴（

UA）∩（

UB）＝（－∞，－2）∪（5，＋∞）.例4

已知集合A＝（－1，1），集合B＝（－∞，a），且A?B，求實數a的

取值范圍.【考查目標】本題考查集合之間的關系及集合的區(qū)間表示.【解析】因為集合A＝（－1，1），集合B＝（－∞，a），A?B，所以

a≥1，即實數a的取值范圍是[1，＋∞）.【解題技巧】求集合關系中參數的取值范圍時，一般采用數形結合和分類討論的

數學思想.變式訓練4已知集合A＝{x｜x2－x－12≤0}，集合B＝{x｜m－1≤x≤1－m}，若A∩B

＝B，用區(qū)間的形式表示集合A和集合B，并求實數m的取值范圍.解：由題意得，集合A＝{x｜－3≤x≤4}＝[－3，4]，集合B＝[m－1，1－m].因為A∩B＝B，所以集合B是集合A的子集，根據子集的定義，得①當集合B＝?時，即m－1＞1－m，得m＞1，滿足條件；

解得－2≤m≤1.綜上所述，實數m的取值范圍為[－2，＋∞）.

一、選擇題1.

某學校統(tǒng)計數學測試成績時，將低于60分的成績評定為不及格，則不及格的成

績用區(qū)間可表示為（D）.A.

（－∞，60）B.

（－∞，60]C.

（0，60）D.[0，60）【解析】該成績區(qū)間包含0分不包含60分，為左閉右開區(qū)間.D

C.

（－∞，2]

3.

設集合A＝（1，3），集合B＝[2，4），則A∩B＝（C）.A.

（1，4）B.

（2，3）C.[2，3）D.[2，4]【解析】因為集合A＝（1，3），集合B＝[2，4），所以A∩B＝[2，3）.BC4.

設集合A＝（－∞，2），集合B＝（－2，4]，則A∪B＝（B）.A.

（－∞，－2）B.

（－∞，4]C.

（－2，2）D.

（－∞，4）【解析】根據區(qū)間的概念和并集運算的性質可知，A∪B＝（－∞，4].5.

集合M＝{x｜y＝x2－1}可用區(qū)間表示為（A）.A.

（－∞，＋∞）B.

（－∞，－1]C.[－1，＋∞）D.

（－∞，－1]∪[1，＋∞）6.

若集合A＝（－a，6），集合B＝{x｜3＜x＜6}，且A＝B，則實數a的值

為（A）.A.

－3B.0C.3D.0或3BAA7.

下列說法正確的是（C）.A.{1，2，3，4}＝[1，4]B.

方程x2－1＝0的解集為[－1，1]C.

集合{x｜x∈R且x≠1}用區(qū)間表示為（－∞，1）∪（1，＋∞）D.

集合{x｜1＜x＜5且x≠2}用區(qū)間表示為（1，5）【解析】集合{1，2，3，4}表示含有“1，2，3，4”四個元素的有限數集，區(qū)間

[1，4]表示{x｜1≤x≤4}這個無限數集，所以兩個集合不是同一個集合，A項錯

誤；方程x2－1＝0的解為x1＝－1，x2＝1，用集合表示為{－1，1}，B項錯誤；

集合{x｜x∈R且x≠1}用區(qū)間表示為（－∞，1）∪（1，＋∞），C項正確；

集合{x｜1＜x＜5且x≠2}用區(qū)間表示為（1，2）∪（2，5），D項錯誤.C8.

關于x的不等式x＋2a≤3的解集的數軸表示如圖所示，則實數a的值為

（C）.A.

－1B.0C.1D.2【解析】解不等式得x≤3－2a，由題意得3－2a＝1，故a＝1.C9.

已知函數y＝kx＋b（k，b為常數）的圖像不經過第四象限，則實數k，b的

取值范圍分別為（D）.A.

（0，＋∞），（0，＋∞）B.

（0，＋∞），[0，＋∞）C.[0，＋∞），（0，＋∞）D.[0，＋∞），[0，＋∞）【解析】當k＞0，b＞0時，一次函數圖像經過第一、二、三象限；當k＞0，b

＝0時，一次函數圖像經過第一、三象限；當k＝0，b＝0時，一次函數圖像即

為x軸；當k＝0，b＞0時，一次函數圖像經過第一、二象限.綜上所述，

k≥0，b≥0.D二、填空題10.

區(qū)間（－2，0）∪（0，＋∞）用集合表示為

；集

合{x｜－1＜x≤2}用區(qū)間表示為

?.11.

設全集U＝（－4，5），集合A＝[－2，2），則

UA＝

?

.（用區(qū)間表示）【解析】因為全集U＝（－4，5），集合A＝[－2，2），所以

UA＝（－4，－2）∪[2，5）.{x｜x＞－2且x≠0}（－1，2]（－4，－2）

∪[2，5）12.

若集合A＝（3，5），集合B＝[x，7），A∩B＝[x，5），則實數x的取值

范圍是

.（用區(qū)間表示）【解析】畫數軸再結合交集的性質，可得實數x的取值范圍是（3，5）.13.

集合A＝{x｜x≤－2或0＜x＜1}用區(qū)間表示為

??.14.

不等式2x－5≥4x＋7的解集可用區(qū)間表示為

?.（3，5）（－∞，－2]∪（0，1）

（－∞，－6]

解①得x＞2，解②得x≤6；取其交集，故不等式組的解集為{x｜2＜x≤6}，用區(qū)間表示為（2，6].16.

設全集U＝{x｜－5≤x＜10}，集合A＝（－1，2]，集合B＝[0，4），用區(qū)

間表示：（1）A∩B；解：由題意得全集U＝[－5，10），集合A＝（－1，2]，集合B＝[0，4），UA＝[－5，－1]∪（2，10），

UB＝[－5，0）∪[4，10）.（1）A∩B＝[0，2].（2）