運動學剛體復雜運動剛體的平面運動剛體簡單運動

平行移動定軸轉(zhuǎn)動剛體平面運動的分解平面運動剛體的角速度平面運動剛體各點的速度

轉(zhuǎn)動合成？平動本章分析1

§10–1剛體平面運動的概述

§10–2平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動·

剛體的平面運動方程

§10–3平面圖形內(nèi)各點的速度·速度投影定理

速度瞬心

§10–4平面圖形內(nèi)各點的加速度·

加速度瞬心的概念第十章剛體的平面運動2例如:

曲柄連桿機構(gòu)中連桿AB的運動，A點作圓周運動，B點作直線運動，因此，AB桿的運動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，而是平面運動．運動學一實例§10-1剛體平面運動的概述3運動學二定義（運動的特點）行星輪行星齒輪機構(gòu)運動中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變。剛體上各點都在與該固定平面平行的平面內(nèi)運動4運動學三．平面運動的簡化

當剛體平行于L0平面運動時，用與L0平行的L平面截剛體得S平面

S面上A點可代表一條直線的運動,故S面代表整個剛體的運動。剛體的平面運動可以簡化為平面圖形S在其自身平面內(nèi)的運動．即在研究平面運動時，不需考慮剛體的形狀和尺寸，只需研究平面圖形的運動，確定平面圖形上各點的速度和加速度．5§10-2平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動·

剛體的平面運動方程運動學

一．平面運動方程為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置．

任意線段AB的位置可用A點的坐標和AB與x軸夾角表示．因此圖形S的位置決定于三個獨立的參變量．所以6

二．平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動當圖形Ｓ上Ａ點不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動當圖形Ｓ上

角不變時，則剛體作平動．

故剛體平面運動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動．平面運動方程對于每一瞬時

t

，都可以求出對應(yīng)的，圖形S在該瞬時的位置也就確定了。運動學例如車輪的運動．7運動學動系上的原點Ａ為基點，于是車輪的平面運動隨基點A的平動繞基點A'的轉(zhuǎn)動剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)動．8運動學再例如:平面圖形Ｓ在

ｔ時間內(nèi)從位置I運動到位置II

以A為基點:

隨基點A平動到A'B''后,繞基點轉(zhuǎn)角到A'B'

以B為基點:

隨基點B平動到A''B'后,繞基點轉(zhuǎn)角到A'B'圖中看出：AB

A'B''

A''B'，于是有9運動學

總結(jié)：平面運動隨基點平動的運動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，而繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點選取無關(guān)．(即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的

,都是相同的）基點的選取是任意的。(通常選取運動情況已知的點作為基點)Ａ）基點選取位置不同，剛體平動的速度、加速度不同；Ｂ）基點選取位置不同時，剛體繞基點轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度相同。10§10-3平面圖形內(nèi)各點的速度運動學

一速度合成法（基點法）動點：B絕對運動：待求牽連運動：平動動系：(平動坐標系)相對運動：圓周運動（A）A-基點已知，

。求將平動坐標系固連于A速度合成定理=+（）A三種運動？11運動學1

表達式平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。大小方向

？？

任意A，B兩點2

說明或法則瞬時矢量式：基點選速度已知點作圖，被研究點可求速度和角速度ω12由于A,B點是任意的，因此表示了圖形上任意兩點速度間的關(guān)系．由于恒有，因此將上式在AB上投影，有—速度投影定理即：平面圖形上任意兩點的速度在該兩點連線上的投影彼此相等．這種求解速度的方法稱為速度投影法．運動學二．速度投影法13xyBAφωVAVBVAVBA[例1]

圖示機構(gòu)A端以速度VA沿X軸負向運動，AB=l；求B端的速度以及AB的角速度。解：1）分析AB；2）以A為基點；3）用合成法大小方向

？

？運動學14xyBAφωVBVA[例2]

圖示機構(gòu)A端以速度VA沿X軸負向運動，AB=l；求B端的速度？解：1）分析AB；2）分析A,B兩點的速度在AB直線上的投影相等，可以得到：

運動學15×√×√√√運動學（）[例3]圖示平面機構(gòu)中，AB=BD=DE=l=300mm。圖示位置，BD//AE,桿AB的角速度為ω=5rad/s，求此瞬時桿BD、DE的角速度。

解：1）桿AB、DE—轉(zhuǎn)動2）研究BD，基點法（）BD—平面運動；大小方向16[例4]解：1.AB作平面運動：投影法

2.CD作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：C3.DE作平面運動運動學17

三．瞬時速度中心法（速度瞬心法）

1.問題的提出若選取速度為零的點作為基點，計算會大大簡化．在某一瞬時是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定？運動學

２．速度瞬心的概念平面圖形S，某瞬時其上一點A速度,圖形角速度

，沿方向取半直線AL,然后順

的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至AL'的位置,在AL'上取長度則： 即：在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心．18運動學3速度瞬心法大小方向以瞬心為基點的基點法=任意點速度瞬心平面圖形上各點速度某瞬時的分布情況？可求、19運動學4速度分布方向垂直于該點到速度瞬心的連線，指向圖形轉(zhuǎn)動的方向。就速度分布而言，平面圖形的運動可視為繞該瞬時速度瞬心作瞬時轉(zhuǎn)動。

圖形內(nèi)各點速度大小與該點到速度瞬心的距離成正比。由此，已知瞬心位置和，即可求該瞬時平面圖形上各點的速度ωM速度瞬心20運動學5．幾種確定速度瞬心位置的方法

①已知圖形上一點的速度和圖形角速度

，可以確定速度瞬心的位置．（P點）且Ｐ在順轉(zhuǎn)向繞A點轉(zhuǎn)90o的方向一側(cè)．

②已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾動,則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬心．21

運動學

④

已知某瞬時圖形上A,B兩點速度大小,且(b)(a)

③已知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度的方向，且 。過A,B兩點分別作速度的垂線,交點

P即為該瞬間的速度瞬心。（注意：交點可能在剛體的外部）

22

運動學對

種(a)的情況，若vA，vB平行，

則是瞬時平動．⑤已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與AB連線垂直．此時,圖形的瞬心在無窮遠處,圖形的角速度

=0,圖形上各點速度相等,這種情況稱為瞬時平動.(此時各點的加速度不相等)23

例如:

曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動．此時連桿BC的圖形角速度，BC桿上各點的速度都相等.但各點的加速度并不相等．設(shè)勻

，則而的方向沿AC的，瞬時平動與平動不同運動學剛體平動和剛體瞬時平動本質(zhì)是不同的，一定要注意！24確定速度瞬心位置方法小結(jié)運動學25運動學

6.注意的問題

速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。

速度瞬心處的速度為零,加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動

剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速度是不一定相同的。不同于剛體作平動。26運動學7確定下列做平面運動剛體圖示瞬時的速度瞬心BαOAαωOAB瞬時平動瞬心CABCAB27運動學7確定下列做平面運動剛體圖示瞬時的速度瞬心BAOCABCABCBCC輪AB桿輪AB桿BC桿ABOC28[例5]車輪沿直線無滑動滾動，已知輪心的速度VO及車輪半徑R和r求：輪緣上A、B、C、D、E各點的速度。ABCDErROVDVBVEVA解：（用瞬心法）

1）研究輪；

2）找速度瞬心；3）求速度由于輪無滑動滾動，C點為瞬心，且輪的角速度為運動學29解：1)尺AB作平面運動

2)速度瞬心法[例6]

橢圓規(guī)尺的A點速度為vA,沿x軸的負向運動，AB=l,D為AB中點，MA=l/4,用瞬心法求尺AB的角速度和B點、M點速度。點B的速度為圖形的角速度為：分別作A和B兩點速度的垂線，兩條直線的交點C就是圖形AB的速度瞬心。運動學303)M點速度方向如圖所示運動學31解：機構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動,AB作平面運動,滑塊B作平動。

基點法（合成法）研究AB，以A為基點，且方向如圖示。（）運動學[練習題]

已知：曲柄連桿機構(gòu)OA=AB=l，取柄OA以勻

轉(zhuǎn)動。求：當

=45o時,滑塊B速度及AB桿的角速度．根據(jù)在Ｂ點做速度平行四邊形，如圖示。32（）試比較上述三種方法的特點。運動學根據(jù)速度投影定理不能求出

速度投影法研究AB,

,

方向

OA,

方向沿BO直線

速度瞬心法研究AB，已知的方向，因此可確定出P點為速度瞬心33§10-4平面圖形內(nèi)各點的加速度加速度瞬心的概念取A為基點，將平動坐標系固結(jié)于A點取B動點，則B點的運動分解為相對運動為圓周運動和牽連運動為平動．于是,由牽連平動時加速度合成定理可得如下公式．運動學一.基點法(合成法)

已知：圖形S內(nèi)一點A的加速度和圖形的

,

（某一瞬時）。求：該瞬時圖形上任一點B的加速度。34其中：，方向

AB，指向與

一致；，方向沿AB，指向A點。運動學即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加速度的方法稱為基點法，也稱為合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于方位總是已知，所以在使用該公式中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。35

二．加速度瞬心．由于的大小和方向隨B點的不同而不同,所以總可以在圖形內(nèi)找到一點Q，在此瞬時，相對加速度大小恰與基點A的加速度等值反向，其絕對加速度,Q點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心．運動學36運動學[注]

一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點．

一般情況下，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關(guān)系式.即一般情況下,圖形上任意兩點A,B的加速度若某瞬時圖形

=0,即瞬時平動,則有

即若平面圖形在運動過程中某瞬時的角速度等于零，則該瞬時圖形上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等．37

由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點法求圖形上各點的加速度或圖形角加速度．（）運動學

[例1]

半徑為R的車輪沿直線作純滾動,已知輪心O點的速度及加速度,求車輪與軌道接觸點P的加速度．解：輪O作平面運動，P為速度瞬心，由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動，故而（）38由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心．當車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心P的加速度指向輪心．運動學大?。悍较颍?/p>

？？

（與等值反向）39運動學[例2]

曲柄滾輪機構(gòu)滾子半徑R=15cm,n=60rpm求：當

=60o時(OA

AB),滾輪的

Ｂ，

Ｂ．

40

解：OA定軸轉(zhuǎn)動,AB桿和輪B作平面運動研究AB：（）P１為其速度瞬心運動學分析:要想求出滾輪的

Ｂ,

Ｂ先要求出vB,

aBP2P1vBP2為輪速度瞬心41運動學取A為基點，指向O點大??？√？√方向√

√√√作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影）(）(研究輪B：P2為其速度瞬心42

[練習1]

圖示曲柄連桿機構(gòu)中，已知曲柄OA長0.2m，連桿AB長1m，OA以勻角速度繞O軸轉(zhuǎn)動。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運動，瞬心在點，則轉(zhuǎn)向如圖。

AB作平面運動，以A點為基點，則B點的加速度為其中運動學43取如圖的投影軸，由將各矢量投影到投影軸上，得解之得于是方向如圖所示。運動學44第十章剛體平面運動習題課一．概念與內(nèi)容

1.剛體平面運動的定義剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變．

2.剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平面內(nèi)的運動代替剛體的整體運動．

3.剛體平面運動的分解分解為

4.基點

可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點,通常是運動狀態(tài)已知的點．隨基點的平動（平動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)）繞基點的轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點的選擇無關(guān)）運動學45運動學5.瞬心（速度瞬心）

任一瞬時,平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點

瞬心位置隨時間改變．

每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉(zhuǎn)動．這種瞬時繞瞬心的轉(zhuǎn)動與定軸轉(zhuǎn)動不同．

=0,瞬心位于無窮遠處,各點速度相同,剛體作瞬時平動,瞬時平動與平動不同．6.剛體定軸轉(zhuǎn)動和平面平動是剛體平面運動的特例．7.求平面圖形上任一點速度的方法

基點法：速度投影法：速度瞬心法：其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例．46

8.求平面圖形上一點加速度的方法 基點法：，A為基點,是最常用的方法 此外，當

=0,瞬時平動時也可采用方法 它是基點法在

=0時的特例。運動學9.平面運動方法與合成運動方法的應(yīng)用條件

平面運動方法用于研究一個平面運動剛體上任意兩點的速度、加速度之間的關(guān)系及任意一點的速度、加速度與圖形角速度、角加速度之間的關(guān)系．

合成運動方法常用來確定兩個相接觸的物體在接觸點處有相對滑動時的運動關(guān)系的傳遞．47二．解題步驟和要點

1.根據(jù)題意和剛體各種運動的定義，判斷機構(gòu)中各剛體的運動形式．注意每一次的研究對象只是一個剛體．

2.對作平面運動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速度(圖形角速度)問題的方法,用基點法求加速度(圖形角加速度)

3.作速度分析和加速度分析，求出待求量．

(基點法:恰當選取基點，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；

速度投影法:不能求出圖形

;

速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵．）運動學48[例1]

曲柄肘桿壓床機構(gòu)已知：OA=0.15m,n=300rpm,AB=0.76m,

BC=BD=0.53m.圖示位置時,AB水平求該位置時的、及運動學49解：OA,BC作定軸轉(zhuǎn)動,

AB,BD均作平面運動根據(jù)題意：研究AB,P１為其速度瞬心（）運動學研究BD,P2為其速度瞬心,

BDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD（）[此題用投影法做課后自己練習]50解:OA定軸轉(zhuǎn)動;AB,BC均作平面運動,

滑塊B和C均作平動

求對AB桿應(yīng)用速度投影定理：對BC桿應(yīng)用速度投影定理：運動學[例2]

已知：配氣機構(gòu)中，OA=r,以等

o轉(zhuǎn)動,在某瞬時

=60o

AB

BC,AB=6r,BC=

.求該瞬時滑塊C的速度和加速度．51

求以A為基點求B點加速度：(a)P1為AB桿速度瞬心，而作加速度矢量圖,并沿BA方向投影運動學52作加速度矢量圖,P2為BC的瞬心,而P2C=9r再以B為基點,求運動學將(b)式在BC方向線上投影[注]

指向可假設(shè)，結(jié)果為正說明假設(shè)與實際指向相同，反之，結(jié)果為負，說明假設(shè)與實際指向相反．30o53解：OA定軸轉(zhuǎn)動;輪A作平面運動,瞬心P點）(運動學[練1]

行星齒輪機構(gòu)已知:R,r,

o

輪A作純滾動，求54ω1OO'IⅡABCr[練2]已知OO'=l,ω1=常數(shù)，動輪半徑為r。求圖示位置時A、B兩點