第二節(jié)極限

(Limits)第二節(jié)極限一、極限的概念（要點、難點）1、函數(shù)的極限2、函數(shù)的極限3、左極限與右極限4、數(shù)列的極限二、無窮小量及其性質(zhì)（要點）1、無窮小量和無窮大量的定義2、無窮小階的比較三、極限的運算法則（要點）四、極限的判斷準(zhǔn)則五、兩個重要極限（要點、難點）

播放1、函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)自變量x的絕對值無限增大時,若函數(shù)f(x)無限地趨近于一個常數(shù)A,則稱:當(dāng)x趨于無窮大時,函數(shù)f(x)以A為極限.記為:例AxyoA+

A

XX1、函數(shù)的極限其分析性定義:注意|x|>Xx>Xx<-X注意2、函數(shù)的極限考慮函數(shù)x024y2、函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)自變量x以任意方式無限地趨近于時,若函數(shù)f(x)無限地趨近于一個常數(shù)A,則稱:當(dāng)時,函數(shù)f(x)以A為極限.記為:極限的分析性定義AxyoA+

A

x0

y=f(x)x0x0+xy013、左極限與右極限當(dāng)自變量x從小于的方向趨近于時,記為:當(dāng)自變量x從大于的方向趨近于時,記為:若在這樣的極限過程中,函數(shù)f(x)的極限存在,就稱為單側(cè)極限,即左極限或右極限,分別記為:

左、右極限分析性定義極限存在的充要條件例題例題例題4、數(shù)列的極限若函數(shù)f(n)的定義域是正整數(shù)集，當(dāng)n從小到大取值，全體對應(yīng)函數(shù)值的排列

f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…

稱為數(shù)列(sequencesofnumbers).通常用an表示f(n)，且稱an為數(shù)列的第n項，亦稱為通項(generalterm)，并用{an}記此數(shù)列。4、數(shù)列的極限當(dāng)n→∞時，數(shù)列{an}的極限可類比函數(shù)f(x)當(dāng)自變量x→∞的情形。當(dāng)n→∞時，若an無限地趨近于一個常數(shù)A，則稱：n→∞時，{an}以A為極限。記為：否則，稱不存在4、數(shù)列的極限例：判斷下面數(shù)列的極限是否存在。二、無窮小與無窮大1、無窮小與無窮大的定義注意：1.無窮大量和無窮小量都是變量。都是與自變量x特定的極限過程聯(lián)系的。2.任何很小的常數(shù)（零除外）或任何很大的常數(shù)都不是無窮小量或無窮大量，因為常數(shù)的極限總是等于其本身，故零是唯一的可作為無窮小量的常數(shù)。3.無窮小量和無窮大量之間是倒數(shù)的關(guān)系1、無窮小與無窮大的定義2、無窮小量的比較和階2、無窮小量的比較和階在求兩個無窮小之比的極限時，分子與分母都可以用各自的等價無窮小代換。只要代換的無窮小選擇適當(dāng)，就可以簡化計算。常用等價無窮小:2、無窮小量的比較和階切記：只能對函數(shù)的因子作等價無窮小代換，不能對分母和分子的某個加項作代換，否則就會出錯。2、無窮小量的比較和階三、極限的運算法則分式，先化簡無理式，先有理化多個分式，先通分無理式，先有理化四、極限的判斷準(zhǔn)則準(zhǔn)則1(夾逼準(zhǔn)則)若在同一極限過程中,三個函數(shù)且則：

三、極限的判斷準(zhǔn)則準(zhǔn)則2(單調(diào)有界準(zhǔn)則)單調(diào)有界數(shù)列一定有極限.如.注.有界的單調(diào)函數(shù)在如.五、兩個重要極限1、兩個重要極限2、利用兩個重要極限求極限極限=1第二節(jié)極限小結(jié)一、極限的概念（要點）1、函數(shù)的極限2、函數(shù)的極限3、左極限與右極限4、數(shù)