第四章多元函數(shù)微積分第四章多元函數(shù)微積分理解二元函數(shù)(functionoftwovariables)的概念、連續(xù)、間斷點與極限；熟練掌握求二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)(partialderivative)及全微分熟練掌握求二元函數(shù)的無條件極值理解二重積分(doubleintegrals)的概念.熟練掌握在直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)系下計算二重積分二次曲面、條件極值、最小二乘法和二重積分在物理學(xué)中的應(yīng)用不要求

第1節(jié)多元函數(shù)

了解空間直角坐標(biāo)系理解二元函數(shù)的概念、連續(xù)、間斷點、極限掌握平面區(qū)域的表示法橫軸縱軸豎軸定點空間直角坐標(biāo)系三個坐標(biāo)軸的正方向符合右手法則一、空間直角坐標(biāo)系Ⅶ面面面空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ空間的點有序數(shù)組特殊點的表示:坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)面上的點軸X上點P軸Y上點Q軸Z上點R空間的點M向量的坐標(biāo)式空間兩點間的距離空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為

曲面方程（EquationsforaSurface)：

定義：在空間直角坐標(biāo)系下，設(shè)有曲面S與三元方程

則稱方程F(x,y,z)=0為曲面S的方程。1）曲面S

上任一點M(x,y,z)的坐標(biāo)均滿足F(x,y,z)=0;方程曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形。2）不在曲面S上的點的坐標(biāo)均不滿足方程F(x,y,z)=0F(x,y,z)=0,若滿足解：設(shè)M(x,y,z)為球面上的任意一點，則例2設(shè)有點解：設(shè)M(x,y,z)為中垂面面上的任意一點，例1建立球心在點半徑為R的球面方程。求線段AB的垂直平分面.柱面

定曲線C為柱面的準(zhǔn)線定義平行于定直線并沿定曲線移動的直線所形成的曲面稱為柱面.動直線L為柱面的母線柱面方程

xyz0平面方程平面方程空間曲線空間直線二、多元函數(shù)基本概念

例1理想氣體的體積V與溫度T成正比，而與壓強(qiáng)P成反比，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出（其中R是比例常數(shù)）

例2三角形的面積A依賴于三角形的兩條邊b和c,以及這兩邊的夾角C，它們之間的關(guān)系，由下面的公式給出這兩個例子的實質(zhì)是依賴于多個變量的函數(shù)關(guān)系。一元函數(shù)的定義設(shè)數(shù)集

,則稱映射f：為定義在D上的函數(shù)(function).記為:變量x

稱為自變量(independentvariable);變量y

稱為因變量(dependentvariable);因變量與自變量間的依賴關(guān)系稱為函數(shù)關(guān)系;類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．二元函數(shù)的定義

定義域自變量因變量鄰域鄰域區(qū)域區(qū)域例平面點集E區(qū)域設(shè)D是開集，如果對于D內(nèi)任何兩點，都可用屬于D內(nèi)的折線連接起來，則稱開集是連通的。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。開區(qū)域連同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域區(qū)域?qū)τ谄矫纥c集E，如果存在某一正數(shù)r，例1

求的定義域解所求定義域為例2

求的定義域。解所求定義域為用不等式表示區(qū)域

二元函數(shù)的圖形y=f(x)是平面上的一條曲線。說明：二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.例如0xz

yD半球面一元函數(shù)的極限描述性定義:當(dāng)自變量x以任意方式無限地趨近于時,若函數(shù)f(x)無限地趨近于一個常數(shù)A,則稱:當(dāng)時,函數(shù)f(x)以A為極限.記為:三、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1.二元函數(shù)的極限注意：（2）定義中的方式是任意的；（3）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（1）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似．（4）二重極限不同于二次極限例1

求極限解其中多元函數(shù)的極限可以應(yīng)用一元函數(shù)求極限的法則例2證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．一元函數(shù)連續(xù)的定義2.二元函數(shù)的連續(xù)性1）定義2)間斷點函數(shù)的間斷點的判定（只要滿足下列一條）：例3討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．多元初等函數(shù)：由常數(shù)和含有多個自變量的基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域是連續(xù)的．初等函數(shù):例4解例5解baf(b)Cf(x)f(a)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

bf(x)aabyx二元函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)有限個連續(xù)函數(shù)的和、差、積仍是連續(xù)函數(shù)在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商還是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)，在D上一定能取到最大值和最小值；（最值定理）在有界閉區(qū)域D上連續(xù)的二元函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩個值之間的任意值至少一次(介值定理)可以推廣到n元函數(shù)思考判斷題不能。無數(shù)條不能代表任意方式

第1節(jié)多元函數(shù)小結(jié)

空間直角坐標(biāo)系二元函數(shù)的概念、連續(xù)、間斷點、極限平面區(qū)域的表示法相關(guān)習(xí)題：習(xí)題4：1～5.第2節(jié)偏導(dǎo)數(shù)與全微分(Partialderivative&totaldifferentiation)

目的與要求理解偏導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義熟練掌握求二元函數(shù)的一、二階偏導(dǎo)數(shù)理解全微分的概念并會求二元函數(shù)的全微分一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義

問題的提出一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)增量與自變量增量的比值的極限，它刻畫了函數(shù)對于自變量的變化率。對于多元函數(shù)來說，雖然自變量的個數(shù)增多了，我們?nèi)匀豢梢钥紤]函數(shù)對某一個自變量的變化率，亦即其中一個自變量發(fā)生變化，而其余自變量都保持不變的情形下，考慮函數(shù)對于該自變量的變化率。

比如：一定量理想氣體的體積V，壓強(qiáng)P與絕對溫度T之間存在著某種聯(lián)系，我們可以在等溫條件下，考察體積對于壓強(qiáng)的變化率。

多元函數(shù)對某一個自變量的變化率引出了多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)概念一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如三元函數(shù)在處解解證解例4求的偏導(dǎo)數(shù)將y和z都看作常量，對變量x求導(dǎo)數(shù)，得根據(jù)自變量x,y,z在表達(dá)式中的對稱性，立即寫出已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數(shù))

求證

;

偏導(dǎo)數(shù)的記號是一個整體記號

不能看作分子分母之商解：一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義如圖幾何意義:混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù).三、高階偏導(dǎo)數(shù)

(Partialderivativesofhigherorder)

純偏導(dǎo)解結(jié)論：混合偏導(dǎo)數(shù)并不都是相等的.一元函數(shù)的微分

全增量的概念在許多實際問題中，我們需要研究函數(shù)形如例如：已知矩形的邊長和由變?yōu)?，研究矩形面積S的全增量解：四、全微分

(Totaldifferential)線性主部無窮小量

全微分的定義

可微的條件證明總成立,同理可得記全微分為全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)

通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個偏微分之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理．疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況．對x的偏微分對y的偏微分一元函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)存在