二、離散型隨機(jī)變量的概率分布和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)第三節(jié)隨機(jī)變量及其概率分布

一、隨機(jī)變量四、六種常見的隨機(jī)變量分布

一、隨機(jī)變量

為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將試驗(yàn)的結(jié)果按照某規(guī)則數(shù)量化，這就需要引入隨機(jī)變量的概念.

例6-19

擲硬幣的試驗(yàn).它有兩個(gè)可能的結(jié)果:出現(xiàn)正面H或出現(xiàn)反面T,即試驗(yàn)的樣本空間S={e}={H,T}.對(duì)應(yīng)于樣本空間的不同的元素，引入變量X,

定義6-7若對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果,都有唯一的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng),則稱是隨機(jī)變量,簡(jiǎn)記為X,或簡(jiǎn)記為Y、Z等等.通常分為兩類：隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間.

二、離散型隨機(jī)變量的概率分布和連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)1.離散型隨機(jī)變量的概率分布

定義6-8設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取值為

X取各個(gè)值的對(duì)應(yīng)概率為則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布,又稱分布列.其中且概率分布列也可以通過列表表示：

其中第一行表示隨機(jī)變量所有可能的取值，第二行表示這些取值所對(duì)應(yīng)的概率.

例6-20

如右圖所示，從中任取3個(gè)球.取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.X可能取的值是0,1,2.取每個(gè)值的概率為0.10.60.3其分布列為2.連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)(1)直方圖簡(jiǎn)介

為了研究某地區(qū)12歲男孩身高情況,隨機(jī)抽取120名男孩測(cè)得身高數(shù)據(jù)見下表:128.1144.4150.3146.2140.6139.7134.1124.3147.9143.0143.1162.0142.7137.6136.9122.7131.8147.7140.8127.6150.7160.3148.5156.9150.4154.3141.2139.4147.5132.9………………133.1142.8136.8133.1144.5142.4120名男孩身高數(shù)據(jù)組號(hào)區(qū)間頻數(shù)頻率

1[122.0,126.0]40.0332[126.0,130.0]90.0753[130.0,134.0]100.0834[134.0,138.0]220.1835[138.0,142.0]330.2756[142.0,146.0]200.1677[146.0,150.0]110.0928[150.0,154.0]60.0509[154.0,158.0]40.03310[158.0,162.0]10.008合計(jì)1201頻率分布表

我們以隨機(jī)變量身高作為橫坐標(biāo),以作為縱坐標(biāo),建立直角坐標(biāo)系.因此在每個(gè)小區(qū)間上的矩形面積等于,即等于隨機(jī)變量身高出現(xiàn)在小區(qū)間范圍的概率.這樣便得到頻率直方圖.

這個(gè)頻率直方圖有明顯的特點(diǎn):因?yàn)樗运芯匦蚊娣e之和為1.(2)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)

是隨機(jī)變量出現(xiàn)在范圍內(nèi)的概率,則即為隨機(jī)變量出現(xiàn)在范圍內(nèi)的頻率密度,不妨設(shè)為.將每個(gè)小區(qū)間上的矩形的面積表示成122130

138

146

154162,當(dāng)實(shí)驗(yàn)次數(shù)充分大,小區(qū)間長(zhǎng)度無限縮小,根據(jù)定積分的概念,,小區(qū)間上的頻率密度轉(zhuǎn)化為點(diǎn)上的概率密度.頻率直方圖的極限形式給我勻勾畫了一條曲線,曲線下的面積就是概率.因此有概率密度函數(shù)的定義.概率密度函數(shù)的性質(zhì)：

定義6-9對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù),使對(duì)任意實(shí)數(shù)、都有則稱為X的概率密度函數(shù),簡(jiǎn)稱密度函數(shù)或概率密度.

注意:按照定義,連續(xù)型隨機(jī)變量X取一點(diǎn)t的概率值為0,即

所以,連續(xù)型隨機(jī)變量研究一點(diǎn)的概率無實(shí)際意義,且例6-21設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù),且求常數(shù)的值,并計(jì)算解:根據(jù)密度函數(shù)的性質(zhì)所以三、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

定義6-10設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，隨機(jī)變量X取值落入?yún)^(qū)間內(nèi)的概率為稱

為隨機(jī)變量的分布函數(shù).顯然，對(duì)任意注意:(1)對(duì)離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)(2)對(duì)連續(xù)型隨機(jī)變量X分布函數(shù)且其中是密度函數(shù)例6-22設(shè)隨機(jī)變量X

的分布律為Xpk

-123求

X

的分布函數(shù).解：當(dāng)

x<-1時(shí)，當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),-10123

x1例6-23隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求隨機(jī)變量X的分布函數(shù);并計(jì)算、解：當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，當(dāng)

時(shí)，所以X的分布函數(shù)為o1F(x)x1即是右連續(xù)的.分布函數(shù)的性質(zhì)：四、六種常見的隨機(jī)變量分布1.二點(diǎn)分布定義6-11若隨機(jī)變量的分布列為則稱X服從以參數(shù)的二點(diǎn)分布,或0-1分布.

一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果(與),如藥品檢驗(yàn)只有“合格”與“不合格”;又如新生的嬰兒只有“男性”與“女性”等.2.二項(xiàng)分布n重伯努利試驗(yàn)隨機(jī)變量滿足以下三個(gè)條件:

(1)

試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)進(jìn)行n次(2)每次試驗(yàn)只有兩個(gè)可能結(jié)果概率分別為

(3)

在n重試驗(yàn)中,各次結(jié)果互不影響

以X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，X所有可能的取值為0，1，2，……，n.由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的,因此事件A在指定的k次試驗(yàn)中發(fā)生,其它n-k次試驗(yàn)中不發(fā)生的概率為，由于這種指定的方式共有種,它們是兩兩互不相容的，故在n次試驗(yàn)中A發(fā)生k次的概率為定義6-12若隨機(jī)變量的概率分布為故稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n、p的二項(xiàng)分布,記為

例6-24在一定條件下，若施行某種手術(shù)成功的概率為,試問:在10個(gè)施行該種手術(shù)的病人中,(1)恰有8人；(2)有不少于8人成功的概率.

解:

以X表示手術(shù)成功的人數(shù),則X是一個(gè)隨機(jī)變量，解：設(shè)X為落入抽檢1L水中的大腸桿菌數(shù),則

例6-25100L經(jīng)消毒的自來水中,只能含有10個(gè)大腸桿菌,今從中取出1L水進(jìn)行檢驗(yàn),問在這1L水中檢出2個(gè)大腸桿菌的概率是多少?如果真的檢出2個(gè)大腸桿菌,問這水是否合格?

這一概率很小,小概率事件在一次試驗(yàn)中很難發(fā)生.如果僅做一次試驗(yàn),在抽檢的1L水中就發(fā)現(xiàn)2只大腸桿菌,則在很大程度上認(rèn)為這水是不合格的.3.泊松分布定義6-13若隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為()的泊松分布，記為

注意(1)法國(guó)數(shù)學(xué)家證明了泊松定理:以,為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)時(shí)趨于以為參數(shù)的泊松分布．這個(gè)定理,保證了n充分大,p很小時(shí),二項(xiàng)分布近似于泊松分布.即

(2)許多稀疏現(xiàn)象,如稀有元素含量、低發(fā)病的發(fā)病人數(shù)、單位時(shí)間內(nèi)交換臺(tái)呼叫次數(shù)等均服從泊松分布.

在實(shí)際計(jì)算中，當(dāng)時(shí),用作為的近似值效果頗佳.

例6-26設(shè)每次射擊命中目標(biāo)的概率為0.012，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標(biāo)的概率（用Poisson分布近似計(jì)算）．解：設(shè)B={600次射擊至少命中3次目標(biāo)}進(jìn)行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗(yàn).所以4.均勻分布

設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度則稱X服從區(qū)間上均勻分布.

注意:

在區(qū)間上服從均勻分布的隨機(jī)變量X，具有下述意義的等可能性,即它落入?yún)^(qū)間中任意等長(zhǎng)度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的.或者說它落入子區(qū)間的概率只依賴于子區(qū)間的長(zhǎng)度，而與子區(qū)間的位置無關(guān).X的分布函數(shù)為

ab01概率密度函數(shù)abxF(x)01x分布函數(shù)

例6-27

公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過,又乘客到達(dá)車站在任意時(shí)刻是等可能的.假設(shè)公共汽車一到,乘客必能上車.求乘客候車時(shí)間不到2分鐘的概率.

解:設(shè)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻為隨機(jī)變量X,第一輛公共汽車到站的時(shí)刻為,則乘客在內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)汽車站是等可能的,X在區(qū)間上服從均勻分布,其概率密度為

事件{候車時(shí)間不超過2分鐘}可表示為，所求概率為5.指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為

的指數(shù)分布.X的分布函數(shù)為

注意:指數(shù)分布常見于壽命分析中,如產(chǎn)品的無故障運(yùn)行期、癌癥病人的術(shù)后存活期、短期記憶的持續(xù)期、克隆體的生理年齡演變等，是生存分析的重要研究對(duì)象.

例6-28設(shè)打一次電話所用的時(shí)間(單位:分）服從參數(shù)為的指數(shù)分布.如果某人剛好在你前面走進(jìn)公用電話間，試求你將等待（1）超過10分鐘；（2）10分鐘到20分鐘之間的概率。解:

令X表示電話間中那個(gè)人打電話所用的時(shí)間數(shù)(1)6.正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的正態(tài)分布或高斯分布，記為

.X的分布函數(shù)為(1)正態(tài)分布的定義x0概率密度函數(shù)x01分布函數(shù)

注意:在生物醫(yī)學(xué)中所遇到的隨機(jī)變量,很多都服從或近似服從正態(tài)分布,例如某一年齡的的身高、體重、舒張壓、紅細(xì)胞數(shù)、膽固醇含量、成人血漿中球蛋白的含量均服從正態(tài)分布.所以正態(tài)分布在數(shù)學(xué)和醫(yī)學(xué)的理論中占有重要的地位.

性質(zhì)1

曲線關(guān)于直線對(duì)稱，這表明對(duì)于任意正數(shù)h，有

.

(2)正態(tài)分布的性質(zhì)

性質(zhì)2

當(dāng)時(shí)，取到最大值，離越遠(yuǎn)，的值越小.這表明對(duì)于同樣長(zhǎng)度的區(qū)間，當(dāng)區(qū)間離越遠(yuǎn)，落在這個(gè)區(qū)間上的概率越小.

性質(zhì)3

在處,曲線有拐點(diǎn).曲線以x軸為漸近線.

性質(zhì)4如果固定,改變的值,則圖形沿著x軸平移不改變其形狀.可見正態(tài)分布的概率密度曲線的位置完全由參數(shù)所確定.

性質(zhì)5如果固定，改變