晶體結(jié)構(gòu)

1.8晶體的微觀對稱性1.8.1晶體的微觀對稱元素(1)微觀對稱性有方向性、嚴(yán)格的位置(2)微觀對稱操作有旋轉(zhuǎn)、反映、反演和平移

新的對稱操作元素：平移軸、螺旋軸、滑移面(3)平移距離為零時，微觀對稱元素為同類型的宏觀對稱元素第一章晶體結(jié)構(gòu)平移和平移軸平移－沿一矢量I移動一個或數(shù)個陣點(diǎn)間距時，整個結(jié)構(gòu)自相重合.

能夠評議復(fù)原的圖形必然為無限圖形平移軸－平移所憑借的矢量I為平移軸第一章晶體結(jié)構(gòu)螺旋旋轉(zhuǎn)和螺旋軸螺旋旋轉(zhuǎn)－螺旋和平移組成的復(fù)合操作

用L（α）T（t）表示沿螺旋軸旋轉(zhuǎn)一定角度α后再沿此軸平移t

一定距離，整個結(jié)構(gòu)自相重合。第一章晶體結(jié)構(gòu)螺旋軸－實(shí)施旋轉(zhuǎn)的軸為螺旋軸

可以有螺旋軸符號Nm；N為螺旋軸的次數(shù)，m與平移矢量t的位移大小有關(guān)：

為在t方向的點(diǎn)陣平移周期第一章晶體結(jié)構(gòu)

具有41螺旋軸的圖形第一章晶體結(jié)構(gòu)滑移反映和滑移面滑移反映—由平移及反映組成的操作，用MT（t）表示進(jìn)行操作的平面為滑移面軸線滑移面對角線滑移面菱形滑移面第一章晶體結(jié)構(gòu)

a)軸線滑移面；b)對角線滑移面；c)菱形滑移面第一章晶體結(jié)構(gòu)

1.8.2空間群平移、螺旋旋轉(zhuǎn)、滑移均包括了平移；無定點(diǎn)。圖形為無限對稱。布拉菲格子的晶胞選取原則可以定出：7大晶系、14種布拉菲晶胞晶體宏觀對稱性定出：32種點(diǎn)群第一章晶體結(jié)構(gòu)微觀對稱性的引入使晶體的32種點(diǎn)群擴(kuò)展為：230種空間群點(diǎn)式空間群—32點(diǎn)群+14Bravais點(diǎn)陣共73種第一章晶體結(jié)構(gòu)非點(diǎn)式空間群—含有非點(diǎn)式操作的對稱元素螺旋軸和滑移面

共157種空間群國際符號：“Aaaa”第一章晶體結(jié)構(gòu)第一個大寫字母表示Bravais的類型：P—初基、A，B，C—底心、F—面心I—體心、R—菱形后面的小寫字母代表對稱性第一章晶體結(jié)構(gòu)如Pnma

符號：點(diǎn)陣為初基，點(diǎn)群為mmm，屬于正交晶系。在三個正交晶軸上分別有n滑移面、m鏡面、a滑移面

應(yīng)能識別空間群符號，了解所表達(dá)的對稱性第一章晶體結(jié)構(gòu)1.9倒格子（ReciprocalLattice）1.9.1倒格子的概念一般，我們用a1,a2,a3表示點(diǎn)陣的基矢。

a1a2a3第一章晶體結(jié)構(gòu)

a1,a2,a3又稱為正點(diǎn)陣晶胞的體積為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

如定義b1,b2,b3為新的基矢：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

a1,a2,a3又稱為正點(diǎn)陣

a1a2b3a3b2b1第一章晶體結(jié)構(gòu)

此時，b1,b2,b3為不共面的基矢，稱為倒易點(diǎn)陣（reciprocallattice）或倒格子Ifa1,a2,a3areprimitivevectorsofthecrystallattice,thenb1,b2,b3are

primitivevectorsofthereciprocallattice.Eachvectordefinedasaboveisorthogonaltotwovectorsofthecrystallattice.第一章晶體結(jié)構(gòu)

Thustheb1,b2,b3havetheproperty:

第一章晶體結(jié)構(gòu)

B1沿（a2,a3）平面的法線方向而為平行四邊形（a2,a3）的面積，故設(shè)(a2,a3)平面所在的晶面族的面間距為d1

第一章晶體結(jié)構(gòu)

則有：表明倒易點(diǎn)陣基矢的長度正好與晶面間距的倒數(shù)成正比

第一章晶體結(jié)構(gòu)

倒易點(diǎn)陣的物理意義：

(1)

倒易點(diǎn)陣的一個基矢是與正點(diǎn)陣的一組晶面相對應(yīng)的；

(2)倒易點(diǎn)陣基矢的方向是該晶面的法線方向；

(3)倒易點(diǎn)陣基矢的大小是該晶面族的晶面間距的倒數(shù)的2π倍。單位為長度的倒數(shù)

第一章晶體結(jié)構(gòu)

可以說正點(diǎn)陣?yán)锏囊蛔寰媾c倒易點(diǎn)陣中的一個點(diǎn)相對應(yīng)。Soeverycrystalstructurehastwolatticesassociatedwithit,thedirectlatticeandthereciprocallattice.Thuswhenwerotateacrystalinaholder,werotateboththedirectlatticeandthereciprocallattice.

第一章晶體結(jié)構(gòu)

Adiffractionpatternofacrystalis,asweshallshow,amapofthereciprocallatticeofacrystal.Amicroscopeimage,ifitcouldberesolvedonafineenoughscale,isamapofthedirectlatticeofthecrystal,orthecrystalstructureinrealspace.

第一章晶體結(jié)構(gòu)

Vectorsinthedirectlatticehavethedimensionsof[length];vectorsinthereciprocallatticehavethedimensionsof[1/length].ThereciprocallatticeisalatticeintheFourierspaceassociatedwiththecrystal.第一章晶體結(jié)構(gòu)例：試確定BCC結(jié)構(gòu)的倒易點(diǎn)陣

解：BCC原胞的基矢一般如下選?。?/p>

a1=(a/2)(-i+j+k)a2=(a/2)(i-j+k)a3=(a/2)(i+j-k)

其中i、j、k為單位矢量,a為晶胞的邊長第一章晶體結(jié)構(gòu)

原胞體積：倒格矢的基矢為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

計算結(jié)果為：第一章晶體結(jié)構(gòu)

1.9.2倒易點(diǎn)陣與正點(diǎn)陣的關(guān)系1、兩種點(diǎn)陣的基矢之間的關(guān)系

第一章晶體結(jié)構(gòu)

2、兩種點(diǎn)陣的位矢之間的關(guān)系設(shè)在正點(diǎn)陣中，位置矢量為：

在倒易點(diǎn)陣中，位置矢量為：第一章晶體結(jié)構(gòu)

則有：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

則有：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

3、兩種點(diǎn)陣的原胞之間的關(guān)系：正點(diǎn)陣晶胞的體積為：倒易點(diǎn)陣的體積為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

第一章晶體結(jié)構(gòu)

表明正點(diǎn)陣的原胞體積與倒易點(diǎn)陣的原胞體積的倒數(shù)成正比第一章晶體結(jié)構(gòu)

4、正點(diǎn)陣中（hkl）晶面族與倒易位矢的關(guān)系：可以證明倒格矢Ghkl=hb1+kb2+lb3

與MillerIndices(hkl)的晶面族相垂直。即Ghkl=hb1+kb2+lb3與(hkl)晶面族的法線方向平行。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

正點(diǎn)陣中的晶面方程為：

(hb1+kb2+lb3)?x=2n

n為整數(shù)，x=

1a1+2a2+3a3

為晶面中的任意一點(diǎn)。不同的n，表示不同的晶面。第一章晶體結(jié)構(gòu)

各晶面與原點(diǎn)的垂直距離為

晶面之間的距離為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

表明指數(shù)小的晶面族，晶面的間距較大；也是原子密集的晶面。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

1.9.3倒易點(diǎn)陣與傅立葉變換考慮晶體中某物理量Γ在點(diǎn)r的值Γ(r),

由于晶體的周期性有：

Γ(r)=Γ(r+Rl),

其中，Rl=l1a1+l2a2+l3a3

第一章晶體結(jié)構(gòu)

將Γ(r)=Γ(r+Rl)兩端按照傅立葉級數(shù)展開：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

比較兩個傅立葉級數(shù)展開式，有：由于Rl為正點(diǎn)陣格矢，故Gh必為倒易點(diǎn)陣中的一個位矢。同一物理量在正點(diǎn)陣和倒易點(diǎn)陣中的表達(dá)式滿足傅立葉變換關(guān)系。

第一章晶體結(jié)構(gòu)1.9.3布里淵區(qū)

從倒格子點(diǎn)陣的原點(diǎn)出發(fā)，作出它最近鄰點(diǎn)的倒格子點(diǎn)陣矢量，并作出每個矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，稱為第一布里淵區(qū)。同樣可以作出第二、第三……布里淵區(qū)。第一章晶體結(jié)構(gòu)當(dāng)入射波矢（以原點(diǎn)為起點(diǎn)）的端點(diǎn)落在布里淵區(qū)的每個界面上時，必然產(chǎn)生反射。布里淵區(qū)在研究晶體內(nèi)電子的運(yùn)動時特別重要，因為當(dāng)晶體中的電子表現(xiàn)出波動性時，它們也會在這些界面上發(fā)生反射。

第一章晶體結(jié)構(gòu)1.一維晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)一維晶格點(diǎn)陣的基矢為a=ai，對應(yīng)的倒格子基矢，離原點(diǎn)最近的倒格矢為b和-b。這些矢量的垂直平分面構(gòu)成第一布里淵區(qū)，其邊界為，如圖1.32所示。圖1.32一維晶格的正格子點(diǎn)陣、倒格子點(diǎn)陣和第一布里淵區(qū)第一章晶體結(jié)構(gòu)2.二維正方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)二維正方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的基矢為a1=ai、a2=aj。相應(yīng)的倒格子為即倒格子點(diǎn)陣也是正方點(diǎn)陣，點(diǎn)陣常數(shù)為第一章晶體結(jié)構(gòu)

圖1.33二維正方晶格的布里淵區(qū)第一章晶體結(jié)構(gòu)由圖1.33可知，每個布里淵區(qū)的體積都與倒格子原胞的體積相等。將任一布里淵區(qū)的各個部分位移適當(dāng)?shù)牡垢袷妇涂珊喜⒊傻谝徊祭餃Y區(qū)。第n個布里淵區(qū)必與第n-1個布里淵區(qū)相鄰，彼此有面積不為零的共同邊界。由于倒格子的周期性，只需關(guān)注第一布里淵區(qū)的情況，便能得知其他布里淵區(qū)得情況。第一章晶體結(jié)構(gòu)

3.三維簡立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)三維簡立方結(jié)構(gòu)晶格點(diǎn)陣的基矢a1=ai、a2=aj、a3=ak，原胞體積為a3，對應(yīng)的倒格子基矢為：因此，它的倒格子點(diǎn)陣也是簡立方結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)常數(shù)為。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

離原點(diǎn)最近的六個倒格點(diǎn)的倒格矢為：它們的中點(diǎn)為：過中點(diǎn)作垂直平分面構(gòu)成第一布里淵區(qū)，這六個面圍成了邊長為2π/a，體積為（2π/a）3的立方體。因此，簡立方點(diǎn)陣的第一布里淵區(qū)仍是一個簡立方。

第一章晶體結(jié)構(gòu)4.體心立方結(jié)構(gòu)與面心立方晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)按照以上原則，可以得到體心立方結(jié)構(gòu)的與面心立方晶格點(diǎn)陣的布里淵區(qū)如圖1.34（a）和（b）所示。

圖34（a）BCC的布里淵區(qū)（b）FCC的布里淵區(qū)第一章晶體結(jié)構(gòu)體心立方結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)是菱形十二面體，其體積正好是倒格子原胞的大小。面心立方結(jié)構(gòu)的第一布里淵區(qū)是一個截角八面體，即十四面體，有八個正六邊形和六個正方形，其體積也正好是倒格子原胞的大小。

第一章晶體結(jié)構(gòu)可以看出：（1）布里淵區(qū)的形狀與晶體結(jié)構(gòu)有關(guān)；（2）布里淵區(qū)的邊界由倒格矢的垂直平分面構(gòu)成。第一布里淵區(qū)就是倒格子原胞，其體積是一個倒格點(diǎn)所占的體積，與倒格子原胞的體積相等。

第一章晶體結(jié)構(gòu)1.10晶體衍射簡介1.10.1用于晶體衍射的輻射晶體結(jié)格的空間點(diǎn)陣最初只是一個假說。一般光線的波長為500nm左右，故沒法看清長度在0.2nm左右的晶體晶格。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

按照衍射理論，當(dāng)輻射的波長與晶格中原子的間距相同或更小時，即可發(fā)生顯著的衍射現(xiàn)象。

1912年Laue提出了排列規(guī)則的晶體可以作為波長與晶格長度是相同數(shù)量級的x射線的衍射光柵。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

在實(shí)際應(yīng)用中，主要有三種輻射：1、X射線

x射線是波長極短的電磁波。

x射線的能量E與波長λ的關(guān)系為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)式中：h為普朗克常數(shù)；

h=6.6262×10-34(J?S)=4.1357×10-15(eV?S)c為波速c=30萬公里/秒，

λ為波長。x射線是由高速電子碰撞靶物質(zhì)而產(chǎn)生的。如常用40kV的電壓轟擊Cu靶產(chǎn)生x射線第一章晶體結(jié)構(gòu)

此時，x射線的光子的最大能量等于電子的能量：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

x射線的穿透能力強(qiáng)，但能量轉(zhuǎn)換效率低，一般小于10%.

第一章晶體結(jié)構(gòu)2、電子束按照量子力學(xué)觀點(diǎn)，電子也是一種波，具有一定能量的電子的波長為：

第一章晶體結(jié)構(gòu)

me為電子的質(zhì)量；

V為加速電壓。當(dāng)V以伏特為單位時，有：第一章晶體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生同樣波長的電子束的加速電壓比x射線低；如產(chǎn)生波長為0.1nm的電子波需要150V的加速電壓；而x射線則需要1.24kV。但電子束的散射能力強(qiáng)，而透射能力弱。

第一章晶體結(jié)構(gòu)3、中子束按照量子力學(xué)觀點(diǎn)，中子也是一種波，具有一定能量的中子的波長為：第一章晶體結(jié)構(gòu)

mn為電子的質(zhì)量；

當(dāng)E以電子伏特為單位時，有：第一章晶體結(jié)構(gòu)如產(chǎn)生波長為0.1nm的中子波只需要0.1eV的能量即可

中子有磁矩，因而可以研究磁性晶體，也可研究氫、碳等元素在晶體中的位置。第一章晶體結(jié)構(gòu)1.10.2布喇格定律

布喇格將晶體對輻射的散射看成是一系列晶面對輻射的散射。晶體衍射所滿足的條件可以由兩相鄰晶面上散射的輻射尖間的位相關(guān)系決定。第一章晶體結(jié)構(gòu)

布喇格定律的推導(dǎo)dhklθθθθ22’ABC11’第一章晶體結(jié)構(gòu)

如果將散射看成是經(jīng)典散射，則散射光線2和2’之間的光程差為：

d為晶面間距；

θ為入射角或布喇格角。

第一章晶體結(jié)構(gòu)

顯然，只有當(dāng)輻射的散射會出現(xiàn)衍射極大上式稱為布喇格定律，而n為衍射級數(shù)。第一章晶體結(jié)構(gòu)例：一組晶面在θ=22.4°時出現(xiàn)了衍射極大值，求晶面的間距。已知所用的x射線的波長為0.158nm.解：第一章晶體結(jié)構(gòu)Althoughthereflectionfromeachplaneisspecular,foronlycertainvaluesofθwillthereflectionsfromallparallelplanesaddupinphasetogiveastrongreflectedbeam.Ifeachplanewereperfectlyreflecting,onlythefirstplaneofaparallelsetwouldseetheradiation,andanywavelengthwouldbereflected.第一章晶體結(jié)構(gòu)

Buteachplanereflects10-3to10-5oftheincidentradiation,sothat103to105planesmanycontributetotheformationoftheBragg-reflectedbeaminaperfectcrystal.Reflectionbyssingleplaneofatomsistreatedonsurfacephysics.第一章晶體結(jié)構(gòu)TheBragglawisconsequenceoftheperiodicityofthelattice.Thislawdoesnotrefertothecompositionofthebasisofatomsassociatedwitheverylatticepoint.第一章晶體結(jié)構(gòu)However,thecompositionofthebasisdeterminestherelativei