第頁專題30分布列歸類目錄TOC\o"1-1"\h\u【題型一】兩點分布 1【題型二】二項分布 4【題型三】幾何分布 6【題型四】超幾何分布 9【題型五】正態(tài)分布 13【題型六】分布列綜合應用 15培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練 19培優(yōu)第二階——能力提升練 22培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練 24【題型一】兩點分布【典例分析】已知隨機變量滿足，，且，．若，則（

）．A．，且 B．，且C．，且 D．，且【提分秘籍】基本規(guī)律兩點分布（又稱0，1分布）011-=，=【變式訓練】1.若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．2.若隨機變量服從兩點分布，其中，，分別為隨機變量的均值與方差，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．3.已知隨機變量滿足，，其中.令隨機變量，則（

）A． B．C． D．【題型二】二項分布【典例分析】在n次獨立重復試驗（伯努利試驗）中，若每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項分布，事實上，在伯努利試驗中，另一個隨機變量的實際應用也很廣泛，即事件A首次發(fā)生時試驗進行的次數(shù)Y，顯然，，2，3，…，我們稱Y服從“幾何分布”，經(jīng)計算得．據(jù)此，若隨機變量X服從二項分布時，且相應的“幾何分布”的數(shù)學期望，則n的最小值為（

）A．6 B．18 C．36 D．37【提分秘籍】基本規(guī)律二項分布（1）伯努利試驗：我們把只包含兩個_可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗.我們將一個伯努利試驗重復進行n次所組成的隨機試驗稱為_n重伯努利試驗.顯然，n重伯努利試驗具有共同特征：同一個伯努利試驗重復做n次，且各次試驗的結(jié)果相互獨立.（2）二項分布：一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為，.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～_，且有，.注：①n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生k次的概率與第k次才發(fā)生的概率計算公式分別是與.（3）二項分布的增減性與最大值記，則當時，，pk遞增；當時，，遞減.故最大值在時取得（此時，兩項均為最大值；若非整數(shù)，則k取的整數(shù)部分時，最大且唯一）.【變式訓練】1.已知隨機變量X服從二項分布，若，則等于（

）A． B．8 C．12 D．242.若隨機變量X服從兩點分布，且成功概率為0.7；隨機變量Y服從二項分布，且，則下列結(jié)果正確的有（

）A． B．C． D．3.我們將服從二項分布的隨機變量稱為二項隨機變量，服從正態(tài)分布的隨機變量稱為正態(tài)隨機變量.概率論中有一個重要的結(jié)論：若隨機變量，當充分大時，二項隨機變量可以由正態(tài)隨機變量來近似地替代，且正態(tài)隨機變量的期望和方差與二項隨機變量的期望和方差相同.法國數(shù)學家棣莫弗在1733年證明了時這個結(jié)論是成立的，法國數(shù)學家?物理學家拉普拉斯在1812年證明了這個結(jié)論對任意的實數(shù)都成立，因此，人們把這個結(jié)論稱為棣莫弗一拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣900次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于420次的概率為（

）附：若，則，A． B． C． D．【題型三】幾何分布【典例分析】春節(jié)期間某網(wǎng)絡支付平臺開展集“?！弊只顒樱汗灿?種不同的“?！弊蛛娮涌?，每完成一筆網(wǎng)絡支付交易就能隨機獲贈一張“福”字卡，集齊5張不同的“?！弊挚纯色@獎．某網(wǎng)購平臺上購買一袋脆干面，內(nèi)隨贈一張水滸傳一百單八將的好漢卡，集齊完整一套好漢卡將獲得生產(chǎn)商頒發(fā)的大獎（好漢卡一套共108張，每張上畫有一將，每將都有很多張）．（1）若每完成一筆網(wǎng)絡支付交易獲贈每種“?！弊挚ǖ目赡苄韵嗤偾螳@得第二種“?！弊挚ǖ母怕剩虎谄骄瓿啥嗌俟P交易才能集齊5個不同的“?！弊挚?？（2）如果購買一袋脆干面隨贈一張一百單八將的好漢卡中每一張的可能性是一樣的，那么平均要購買多少袋脆干面才能獲得生產(chǎn)商頒發(fā)的大獎？（結(jié)果保留到整數(shù)）參考信息：①．如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是p，那么在獨立重復試驗中，某事件第1次發(fā)生時所作試驗的次數(shù)的概率分本，稱服從幾何分布，記作；的數(shù)學期望；②．若干個相互獨立、且是按先后次序依次連續(xù)發(fā)生的隨機變量之和的數(shù)學期望等于這些隨機變量數(shù)學期望的之和；③．，．【提分秘籍】基本規(guī)律幾何分布：若在一次實驗中事件發(fā)生的概率為，則在次獨立重復實驗中，在第次首次發(fā)生的概率為，，?！咀兪接柧殹?.幾何分布（Geometricdistribution）是一種離散型概率分布，定義：在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的機率，即前次失敗，第k次成功的概率，因此實驗次數(shù)k服從幾何分布．現(xiàn)甲參加射擊考核，甲每次命中的概率為0.68，考核通過的規(guī)則為命中即可獲得“通過”，故考核通過的射擊次數(shù)服從幾何分布，若每次射擊需要一發(fā)子彈，則甲至少需要申請______發(fā)子彈保證有98％的概率獲得“通過”．（參考數(shù)據(jù)：）2.在n次獨立重復試驗（伯努利試驗）中，若每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則事件A發(fā)生的次數(shù)X服從二項分布，事實上，在伯努利試驗中，另一個隨機變量的實際應用也很廣泛，即事件A首次發(fā)生時試驗進行的次數(shù)Y，顯然，，2，3，…，我們稱Y服從“幾何分布”，經(jīng)計算得．據(jù)此，若隨機變量X服從二項分布時，且相應的“幾何分布”的數(shù)學期望，則n的最小值為（

）A．6 B．18 C．36 D．37【題型四】超幾何分布【典例分析】下列問題中，哪些屬于超幾何分布問題，說明理由．（1）拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是6的骰子的個數(shù)記為X，求X的概率分布；（2）有一批種子的發(fā)芽率為70%，任取10顆種子做發(fā)芽試驗，把試驗中發(fā)芽的種子的個數(shù)記為X，求X的概率分布；（3）盒子中有紅球3只，黃球4只，藍球5只．任取3只球，把不是紅色的球的個數(shù)記為X，求X的概率分布；（4）某班級有男生25人，女生20人．選派4名學生參加學校組織的活動，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為X，求X的概率分布；（5）現(xiàn)有100臺MP3播放器未經(jīng)檢測，抽取10臺送檢，把檢驗結(jié)果為不合格的MP3播放器的個數(shù)記為X，求X的概率分布．【提分秘籍】基本規(guī)律超幾何分布總數(shù)為的兩類物品，其中一類為件，從中取件恰含中的件，，其中為與的較小者，，稱服從參數(shù)為的超幾何分布，記作，此時有公式?！咀兪接柧殹?.寫出下列離散型隨機變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？（1）X1表示n次重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)．（2）X2表示連續(xù)拋擲2枚骰子，所得的2個骰子的點數(shù)之和．（3）有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N>M>0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n>N)，抽出的次品件數(shù)為X3．（4）有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X4(N－M>n>0)．2.．設(shè)甲盒有3個白球，2個紅球，乙盒有4個白球，1個紅球，現(xiàn)從甲盒任取2球放入乙盒，再從乙盒任取兩球．(1)記隨機變量表示從甲盒取出的紅球個數(shù)，求期望的值；(2)求從乙盒取出2個紅球的概率．上海市南匯中學2021-2022學年高二下學期期末數(shù)學試題3.2018年茂名市舉辦“好心杯”少年美術(shù)書法作品比賽，某賽區(qū)收到200件參賽作品，為了解作品質(zhì)量，現(xiàn)從這些作品中隨機抽取12件作品進行試評.成績?nèi)缦拢?7,82,78,86,96,81,73,84,76,59,85,93.（1）求該樣本的中位數(shù)和方差；（2）若把成績不低于85分（含85分）的作品認為為優(yōu)秀作品，現(xiàn)在從這12件作品中任意抽取3件，求抽到優(yōu)秀作品的件數(shù)的分布列和期望.【題型五】正態(tài)分布【典例分析】設(shè)，，這兩個正態(tài)分布曲線如圖所示，下列結(jié)論中正確的是（

）A．B．C．對任意正數(shù)t，D．對任意正數(shù)t，【提分秘籍】基本規(guī)律正態(tài)分布（1）若是正態(tài)隨機變量，其概率密度曲線的函數(shù)表達式為，（其中是參數(shù)，且，）。其圖像如圖13-7所示，有以下性質(zhì)：=1\*GB3①曲線在軸上方，并且關(guān)于直線對稱；=2\*GB3②曲線在處處于最高點，并且此處向左右兩邊延伸時，逐漸降低，呈現(xiàn)“中間高，兩邊低”的形狀；=3\*GB3③曲線的形狀由確定，越大，曲線越“矮胖”，越小，曲線越“高瘦”；=4\*GB3④圖像與軸之間的面積為1.（2）=，=，記作.當時，服從標準正態(tài)分布，記作.（3），則在，，上取值的概率分別為68.3%，95.4%，99.7%，這叫做正態(tài)分布的原則。【變式訓練】1.某班級有50名學生，期末考試數(shù)學成績服從正態(tài)分布，已，則的學生人數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．302.已知隨機變量服從正態(tài)分布，則與的值分別為（

）A．13

18 B．13

6 C．7

18 D．7

63.4月23日為世界讀書日，已知某高校學生每周閱讀時間（單位：），則下列說法錯誤的是（

）A．該校學生每周平均閱讀時間為B．該校學生每周閱讀時間的標準差為C．若該校有名學生，則每周閱讀時間在的人數(shù)約為D．該校學生每周閱讀時間不低于的人數(shù)約占【題型六】分布列綜合應用【典例分析】為了更好地做好個人衛(wèi)生，某市衛(wèi)生組織對該市市民進行了網(wǎng)絡試卷競答，制定獎勵規(guī)則如下：試卷滿分為100分，成績在分內(nèi)的市民獲二等獎，成績在分內(nèi)的市民獲一等獎，其他成績不得獎．隨機抽取了50名市民的答題成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖．(1)現(xiàn)從該樣本中隨機抽取2名市民的成績，求這2名市民中恰有1名市民獲獎的概率．(2)若該市所有市民的答題成績X近似服從正態(tài)分布，其中，為樣本平均數(shù)的估計值，利用所得正態(tài)分布模型解決以下問題：①若該市某小區(qū)有3000名市民參加了試卷競答，試估計成績不低于93分的市民數(shù)（結(jié)果四舍五入到整數(shù)）；②若從該市所有參加了試卷競答的市民中（參加試卷競答市民數(shù)大于300000）隨機抽取4名市民進行座談，設(shè)其中競答成績不低于69分的市民數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．附：若隨機變量X服從正態(tài)分布，則，，．【變式訓練】1.宿州號稱“中國云都”，擁有華東最大的云計算數(shù)據(jù)中心、CG動畫集群渲染基地，是繼北京、上海、合肥、濟南之后的全國第5家量子通信節(jié)點城市.為了統(tǒng)計智算中心的算力，現(xiàn)從全市n個大型機房和6個小型機房中隨機抽取若干機房進行算力分析，若一次抽取2個機房，全是小型機房的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取3個機房，假設(shè)抽取的小型機房的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望.2.某公司為招聘新員工設(shè)計了一個面試方案：應聘者從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成．規(guī)定：至少正確完成其中道題便可通過．已知道備選題中應聘者甲有道題能正確完成，道題不能完成；應聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響．(1)求甲恰好正確完成兩個面試題的概率；(2)求乙正確完成面試題數(shù)的分布列及其期望.3.端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗，設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，白粽8個，這兩種粽子的外觀完全相同，從中任意選取3個．(1)求既有豆沙粽又有白粽的概率；(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望．分階培優(yōu)練分階培優(yōu)練培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知正態(tài)分布的密度函數(shù)，，以下關(guān)于正態(tài)曲線的說法錯誤的是（

）A．曲線與x軸之間的面積為1B．曲線在處達到峰值C．當一定時，曲線的位置由確定，曲線隨著的變化而沿x軸平移D．當一定時，曲線的形狀由確定，越小，曲線越“矮胖”2．若隨機變量的分布列如表，則的值為（

）1234A． B． C． D．3．已知某隨機變量的概率分布列如表，其中，，則隨機變量的數(shù)學期望____．1234．若隨機變量X的分布列為則X的數(shù)學期望為______________．X－1245P0.20.350.250.25．某市為爭創(chuàng)“文明城市”，現(xiàn)對城市的主要路口進行“文明騎車”的道路監(jiān)管，為了解市民對該項目的滿意度，分別從不同地區(qū)隨機抽取了200名市民對該項目進行評分，繪制如下頻率分布直方圖.(1)求頻率分布直方圖中的值，并計算這200名市民評分的平均值；(2)用頻率作為概率的估計值，現(xiàn)從該城市市民中隨機抽取4人進一步了解情況，用表示抽到的評分在90分以上的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.培優(yōu)第二階——能力提升練1．袋子中有6個白球，8個黑球，現(xiàn)從袋子里有放回地取7次球，用表示取到白球的個數(shù)，則（

）A． B． C．3 D．2．小智和電腦連續(xù)下兩盤棋，已知小智第一盤獲勝的概率是，小智連續(xù)兩盤都獲勝的概率是，那么小智在第一盤獲勝的條件下，第二盤也獲勝的概率是（

）A． B． C． D．3．北京市某銀行營業(yè)點在銀行大廳懸掛著不同營業(yè)時間段服務窗口個數(shù)的提示牌，如圖所示．設(shè)某人到達銀行的時間是隨機的，記其到達銀行時服務窗口的個數(shù)為X，則______.4．2021年11月27日奧密克戎毒株輸入我國香港，某醫(yī)院委派甲、乙、丙、丁四名醫(yī)生前往三個小區(qū)做好防疫工作，每個小區(qū)至少委派一名醫(yī)生，在甲派往小區(qū)的條件下，乙派往小區(qū)的概率為____．5．某商場為了回饋廣大顧客，設(shè)計了一個抽獎活動，在抽獎箱中放10個大小相同的小球，其中5個為紅色，5個為白色.抽獎方式為：每名顧客進行兩次抽獎，每次抽獎從抽獎箱中一次性摸出兩個小球.如果每次抽獎摸出的兩個小球顏色相同即為中獎，兩個小球顏色不同即為不中獎.(1)若規(guī)定第一次抽獎后將球放回抽獎箱，再進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.(2)若規(guī)定第一次抽獎后不將球放回抽獎箱，直接進行第二次抽獎，求中獎次數(shù)的分布列和數(shù)學期望.(3)如果你是商場老板，如何在上述問兩種抽獎方式中進行選擇？請寫出你的選擇及簡要理由.培優(yōu)第三階——培優(yōu)拔尖練1．已知隨機變量的分布列為：xyPyx則下列說法正確的是（

）A．存在x，， B．對任意x，，C．對任意x，， D．存在x，，2．過正態(tài)分布曲線上非頂點的一點作切線，若切線與曲線僅有一個交點，則（

）A． B． C． D．3．一個袋子中有100個大小相同的球，其中有40個黃球，60個白球．采取不放回摸球，從中隨機摸出22個球作為樣本，用X表示樣本中黃球的個數(shù)．當最大時，____________．4．現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（，2，3，…，n）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出三個球（每個取后不放回），若第三次取出的球為白球的概率是，則___________.5．某商場計劃在國慶節(jié)開展促銷活動，