一、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題1．已知函數(shù)對(duì)于任意，均滿足.當(dāng)時(shí)，若函數(shù)，下列結(jié)論正確的為（）A．若，則恰有兩個(gè)零點(diǎn)B．若，則有三個(gè)零點(diǎn)C．若，則恰有四個(gè)零點(diǎn)D．不存在使得恰有四個(gè)零點(diǎn)【答案】ABC【分析】設(shè)，作出函數(shù)的圖象，求出直線與曲線相切以及直線過(guò)點(diǎn)時(shí)對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)的值，數(shù)形結(jié)合可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】由可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱.令，即，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：令，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為函數(shù)、的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，的定義域?yàn)?，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，有，解得.過(guò)點(diǎn)作函數(shù)的圖象的切線，設(shè)切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，切線過(guò)點(diǎn)，所以，，解得，則切線斜率為，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象相切.若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，由圖可得或，A選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有三個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，B選項(xiàng)正確；若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，由圖可得，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.2．設(shè)函數(shù)，，下列命題，正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減B．不等關(guān)系成立C．若時(shí)，總有恒成立，則D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)【答案】AC【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)的正誤；由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性比較、的大小關(guān)系，可判斷B選項(xiàng)的正誤；分析得出函數(shù)在上為減函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求出的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)的正誤；分析出方程在上有兩個(gè)根，數(shù)形結(jié)合求出的取值范圍，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，函數(shù)的定義域?yàn)?，則.由，可得，由，可得.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以，，即，又，所以，，整理可得，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，若時(shí)，總有恒成立，可得，構(gòu)造函數(shù)，則，即函數(shù)為上的減函數(shù)，對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，其中，.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，，，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，則，由于函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，令，可得，則函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：（1）直接法：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)圖象的交點(diǎn)問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問題.3．下列不等式正確的有（）A． B． C． D．【答案】CD【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，然后由、、、得出每個(gè)選項(xiàng)的正誤.【詳解】令，則，令得易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以①，即，即，故A錯(cuò)誤；②，即，所以可得，故B錯(cuò)誤；③，即，即所以，所以，故C正確；④，即，即，即所以，故D正確；故選：CD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查的是構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是函數(shù)的構(gòu)造和自變量的選擇.4．已知：是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則（）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】由已知構(gòu)造得，令，判斷出函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，由此得，化簡(jiǎn)可判斷A；，化簡(jiǎn)并利用是奇函數(shù)，可判斷B；，化簡(jiǎn)可判斷C；由C選項(xiàng)的分析得，可判斷D.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，即，所以，令，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，化簡(jiǎn)得，故A正確；，即，化簡(jiǎn)得，所以，又是奇函數(shù)，所以，故B不正確；，即，又，化簡(jiǎn)得，故C正確；由C選項(xiàng)的分析得，所以，又是奇函數(shù)，所以，故D正確,故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題中令有導(dǎo)函數(shù)的不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造出某個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性，從而可比較函數(shù)值的大小關(guān)系.5．若函數(shù)滿足對(duì)于任意，，，則稱函數(shù)為“中點(diǎn)凸函數(shù)”．則下列函數(shù)中為“中點(diǎn)凸函數(shù)”的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】用計(jì)算的正負(fù)值來(lái)解，運(yùn)算量大，比較復(fù)雜.我們可分析“中點(diǎn)凸函數(shù)”的幾何特征，結(jié)合圖像作答.由已知“中點(diǎn)凸函數(shù)”的定義，可得“中點(diǎn)凸函數(shù)”的圖象形狀可能為：【詳解】由“中點(diǎn)凸函數(shù)”定義知：定義域內(nèi)對(duì)應(yīng)函數(shù)值的平均值大于或等于處的函數(shù)值，∴下凸函數(shù)：任意連接函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)所得直線一定在圖象上方或與圖象重合.設(shè)，為曲線在上任意兩點(diǎn)A、B、C、D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象分別如下圖示：①符合題意②符合題意③放大局部圖像可見，在段，并不滿足對(duì)應(yīng)函數(shù)值的平均值大于或等于處的函數(shù)值.不合題意④，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)作出圖像如下符合題意.故選：ABD【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的新定義及其應(yīng)用，其中解答中正確理解函數(shù)的新定義，以及結(jié)合函數(shù)的圖象求解是解答的關(guān)鍵，學(xué)生可利用數(shù)形結(jié)合求解，需要較強(qiáng)的推理與運(yùn)算能力.6．設(shè)函數(shù)，，給定下列命題，其中正確的是（）A．若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則；B．若方程恰好只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則；C．若，總有恒成立，則；D．若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)．【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，且將題意轉(zhuǎn)化為與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可判斷A選項(xiàng)；易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，將條件等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而可推出結(jié)果，即可判斷B選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，將條件等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，即可求出的范圍，即可判斷C選項(xiàng)；有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)列出不等式并求解，即可判斷D選項(xiàng).【詳解】解：對(duì)于A，的定義域，，令，有，即，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以極小值等于最小值，，且當(dāng)時(shí)，又，從而要使得方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，即與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以，故A正確；對(duì)于B，易知不是該方程的根，當(dāng)時(shí)，，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于和只有一個(gè)交點(diǎn)，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為,由大致圖像可知或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，恒成立，等價(jià)于恒成立，即函數(shù)在上為增函數(shù)，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，于是，故C正確；對(duì)于D，有兩個(gè)不同極值點(diǎn)，等價(jià)于有兩個(gè)不同的正根，即方程有兩個(gè)不同的正根，由C可知，，即，則D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，以及利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問題和恒成立問題從而求參數(shù)范圍，解題的關(guān)鍵在于將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題時(shí)注意利用數(shù)形結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力．7．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，在上的平均變化率為B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像與直線有2個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，則當(dāng)時(shí)，【答案】BCD【分析】運(yùn)用平均變化率的定義可分析A，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和極值，可分析B選項(xiàng)，證明可分析C選項(xiàng)，先得出，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，結(jié)合韋達(dá)定理可分析D選項(xiàng)．【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則在上的平均變化率為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，可得下表：1＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增因?yàn)椋?，，結(jié)合的單調(diào)性可知，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，一個(gè)解為，另一個(gè)解在上，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，則有，故C正確；對(duì)于D，，，令，可得方程，因?yàn)椋液瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，所以，為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則有，則因?yàn)?，所以，故D正確；故選：BCD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，平均變化率，極值等問題，本題的關(guān)鍵是選項(xiàng)D，利用根與系數(shù)的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，證明不等式.8．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．在處取得極大值 B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C． D．若在上恒成立，則【答案】ACD【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時(shí)，，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；由當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，綜上可得函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，由于，則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以C正確；由在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則，令，即，解得，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，所以，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．9．若方程和的根分別為和，，則下列判斷正確的是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為，，和，分別是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)和的單調(diào)性與取值情況，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合即可解決問題.【詳解】解：由題，，和，分別是和的兩個(gè)根，即與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo).對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋?，所以函?shù)在和上單調(diào)遞增，且時(shí)，；對(duì)于函數(shù)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，且當(dāng)，時(shí)，，時(shí)，；故作出函數(shù)，的圖像如圖所示，注意到：當(dāng)時(shí)，，由圖可知，，，從而，解得，所以選項(xiàng)AD正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤，又.故選：ABD.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查化歸轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.10．（多選題）已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（）A．點(diǎn)是函數(shù)的零點(diǎn)B．，使C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】BC【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義可判斷A；利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)在、上的單調(diào)性性，求出各段上的值域即可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，0是函數(shù)的零點(diǎn)，零點(diǎn)不是一個(gè)點(diǎn)，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)時(shí)，，可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；圖像所以，當(dāng)時(shí)，，