2025年秋季高三開學(xué)摸底考試模擬卷（上海專用）數(shù)學(xué)·答案及評分參考一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．{1}2．[1，+∞)3．35，?454．?7．968．1N+19．1010．4911．1105212.選擇題(本題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分；每題有且只有一個正確選項)13141516BDDD三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20、21題每題18分.)注：解答題給出步驟分值17．(1)1(2)arctan3913【分析】（1）先求出三棱錐的高（2）取CO中點D，連接DM、PD，證明DM⊥平面PAC，根據(jù)直線與平面的所成角的公式計算可得.【詳解】（1）因為PO⊥底面ABC，PO⊥AC，又因為O為AC邊中點，AP=AC=2，所以△APC為正三角形，PO=3，………2分，又因為底面為等邊△ABC∴S△ABC=34×4=3，………（2）連接BO，因為底面為等邊△ABC，所以BO⊥AC，因為PO⊥底面ABC，………2分所以PO⊥BO，PO∩AC=O，所以BO⊥平面PAC，………2分，如圖，取CO中點D，連接DM、PD，則DM∥OB，所以DM⊥平面PAC，所以DM⊥PD，所以PM與面PAC所成角即為∠MPD，………2分因為BO=3，所以DM=32，直角三角形POD所以tan∠MPD=DMPD=3913，所以PM與面PAC所成角大小為18．(1)|φ|<π2;(2)【詳解】（1）由cosπ4cosφ?sin3π4sinφ=0即cos(π4+φ)=0，………2分又|φ|<（2）由（1）得，f(x)=sin(ωx+π4)，依題意，T2=π3，∴f(x)=sin(3x+π4)，函數(shù)f(x)的圖象向左平移m………2分g(x)是偶函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)3m+π4=kπ+從而，最小正實數(shù)m=π12.…19．(1)gx=800+160lnx+【分析】（1）先求出每平方米的平均環(huán)保費用，再根據(jù)綜合費用是建設(shè)費用與環(huán)保費用之和求出gx表達(dá)式即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)得到gx的單調(diào)性，進(jìn)而求出gx取最小值時【詳解】（1）由題意可知，1≤x≤10，因為每平方米的平均環(huán)保費用為12800001000x=1280x因為每平方米的平均建設(shè)費用為可近似地用函數(shù)關(guān)系式fx=8001+1所以每平方米的綜合費用gx=fx+1280x（2）由（1）可知gx=800+160ln………2分，令g′x=0得，x=8，當(dāng)1≤x<8時，g′x<0，g當(dāng)8<x≤10時，g′x>0，g所以當(dāng)x=8時，gx取得極小值即為最小值，………所以當(dāng)該網(wǎng)球中心建8個球場時，該工程每平方米的綜合費用最?。?分20．(1)2，(2)x?y+1=0，(3)以線段MN為直徑的圓C過定點1,0,?3,0【分析】（1）先求拋物線的焦點坐標(biāo)，再根據(jù)題意求雙曲線的a,c，即可得離心率；（2）根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化分析可得∠MEP=π4，進(jìn)而可得直線EP的傾斜角與斜率，利用點斜式求直線方程；（3）設(shè)直線l'的方程及A，B兩點的坐標(biāo)，進(jìn)而可求M，N兩點的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理求圓C的圓心及半徑，根據(jù)圓C的方程分析判斷定點.【詳解】（1）拋物線Γ:y2=4x的焦點為F雙曲線C的方程為雙曲線x2a2?2y2由題意可知：c=a2+12=1故雙曲線C的離心率e=ca=2（2）由（1）可知：E?1,0，過點P作直線l的垂線，垂足為M，則PF∵sin∠MEP=PMPE=PFPE=2故直線EP的傾斜角α=π4，斜率k=tanα=1∴直線EP的方程為y=x+1，即x?y+1=0.………2分（3）以線段MN為直徑的圓C過定點1,0,設(shè)直線l′:y=kx?1,Ax1,則可得：x1+x2=2k2+2k2∴M?1,?y1x=?k2?2kMN=k2k2+2k22?4=4k2故圓C的方程為x+12+y?令y=0，則x2+2x?3=0，解得x=1或x=?3，故以線段MN為直徑的圓C過定點………2分【點睛】過定點問題的兩大類型及解法：(1)動直線l過定點問題．解法：設(shè)動直線方程(斜率存在)為y＝kx＋t，由題設(shè)條件將t用k表示為t＝mk，得y＝k(x＋m)，故動直線過定點(－m,0)．動曲線C過定點問題；解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立，令其系數(shù)等于零，得出定點．21．(1)a=1,b=1，(2)k≤12，(3)證明見解析.【分析】（1）求得g′即可求解；（2）把fx≥kg′e?x+2設(shè)?t=t2+2t+1（3）解法1：由不等式ex+e解法2：由ex+e【詳解】（1）由函數(shù)gx=ax2+b，可得g′x=2ax又由f0=2，所以2a=2a+b=2，解得a=1,b=1.（2）若a=1,b=2，可得fx=ex則g′x=2x，則不等式f即k≤e2x+e?x+22e?x+4=因為t>0，所以?′t>0恒成立，所以函數(shù)y=?t在0,+所以?t>?0=12，故k≤12（3）解法1：由fx因為ex+e?x≥………2分，所以ex1?故fx當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2因此有fsinθ1??，fsinθnfcos以上n個式子相加得：fsinθ1………2分解法2：由ex+e………2分當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=0時等號同時成立.故fsinθ2fcos……2分，以上n個式子相加得：fsinθ1………2分【點睛】對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直