（新高考）2022屆高考考前沖刺卷數(shù)學(xué)（五）注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3．非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4．考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，則，故選D．2．平面上有兩個定點A，B及動點P，命題甲：“是定值”，命題乙：“點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線”，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】若，則點P的軌跡是一條射線，故甲推不出乙；若點P的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線，則或，其中，為雙曲線的實半軸長，故不是定值，故乙推不出甲，故選D．3．若圓與直線始終有交點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程表示圓，需，解得，直線可化為，所以過定點．要使圓與直線始終有交點，只需落在圓內(nèi)或圓上，需滿足，解得，綜上所述：，故選B．4．盡管目前人類還無法準(zhǔn)確預(yù)報地震，但科學(xué)家通過研究，已經(jīng)知道地震時釋放出的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的關(guān)系為．2011年3月11日，日本東北部海域發(fā)生里氏級地震，它所釋放出來的能量大約是2022年1月2日在云南麗江市寧蒗縣發(fā)生級地震所釋放能量的倍數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)日本地震釋放的能量為，云南地震釋放的能量為，則，，所以，故選A．5．已知是定義域為上的單調(diào)增函數(shù)，且對任意，都有，則的值為（）A．12 B．14 C． D．18【答案】B【解析】因為是定義域為上的單調(diào)增函數(shù)，且對任意，都有，所以必是常數(shù)，設(shè)（k為常數(shù)），得，所以，解得，∴，因此，故選B．6．下圖是一個圓臺的側(cè)面展開圖，若兩個半圓的半徑分別是1和2，則該圓臺的體積是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，設(shè)上底面的半徑為，下底面的半徑為，高為，母線長為，則，，解得，，，設(shè)上底面面積為，下底面面積為，則體積為，故選B．7．設(shè)直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點、，若點滿足，則雙曲線的離心率為（）A． B．2 C． D．3【答案】C【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，方程與直線聯(lián)立，得，，，則中點坐標(biāo)為，點滿足，，，，即，∴雙曲線離心率，故選C．8．若正實數(shù)a，b滿足，且，則下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，為單調(diào)遞增函數(shù)，故，由于，故或，當(dāng)時，，此時；，故；，；當(dāng)時，，此時，，故；，，故ABC均錯誤；D選項，，兩邊取自然對數(shù)，，因為不管，還是，均有，所以，故只需證即可，設(shè)（且），則，令（且），則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，所以在且上恒成立，故（且）單調(diào)遞減，因為，所以，結(jié)論得證，D正確，故選D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．2022年春節(jié)期間，冬奧會在北京舉行，為全國人民帶來一場體育盛宴．為了解市民對冬奧會體育節(jié)目收視情況，隨機(jī)抽取了200名觀眾進(jìn)行調(diào)查，其中女性占40％．根據(jù)調(diào)查結(jié)果分別繪制出男、女觀眾收看冬奧會系列節(jié)目時長的頻率分布直方圖，則下列說法正確的是（）A．B．男性觀眾收看節(jié)目時長的眾數(shù)為8小時C．女性觀眾收看節(jié)目的平均時長小于男性觀眾的平均時長D．收看節(jié)目達(dá)到9小時觀眾中的女性人數(shù)是男性人數(shù)的【答案】AB【解析】對于A，由，解得，故A正確；對于B，由頻率分布直方圖可知，男觀眾收看節(jié)目時長的眾數(shù)為8，故B正確；對于C，男性觀眾收看節(jié)目的平均時長為小時，女性觀眾收看節(jié)目的平均時長為小時，故C錯誤；對于D，由頻率直方圖可知，男性觀眾收看達(dá)到9小時人數(shù)為人，女性觀眾收看達(dá)到9小時人數(shù)為人，故D錯誤，故選AB．10．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)的最小正周期為B．點是函數(shù)圖象的一個對稱中心C．將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱D．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】，故最小正周期為，A錯誤；，點是一個對稱中心，B正確；向左平移個單位長度得到，關(guān)于軸對稱，C正確；，，單調(diào)遞減，D正確，故選BCD．11．已知數(shù)列滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B．為等比數(shù)列C． D．【答案】AD【解析】，則，又，同理，故A正確；而，故不是等比數(shù)列，B錯誤；，故C錯誤；，故D正確，故選AD．12．如下圖所示，B是AC的中點，，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點，且，以下結(jié)論中正確的是（）A．當(dāng)P是線段CE的中點時，，B．當(dāng)時，C．若為定值時，則在平面直角坐標(biāo)系中，點P的軌跡是一條線段D．的最大值為【答案】CD【解析】依題意，，A選項，當(dāng)是線段的中點時，，A選項錯誤；B選項，若，設(shè)分別是的中點，連接并延長，交的延長線于，則，且，所以，則點的軌跡是，，所以，B選項錯誤；C選項，，，令、的中點為，，由于，，即，所以三點共線．設(shè)分別是的中點，連接，連接交于，則，是的中點，是的中點，則點的軌跡是，點的軌跡是，所以C選項正確；D選項，，由于平行四邊形在的左上方，三點共線，所以，，故當(dāng)取得最大值，取得最小值時，取得最大值，D選項正確，故選CD．第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題共4小題，每小題5分．13．已知復(fù)數(shù)的實部和虛部相等，則__________．【答案】【解析】依題意，，于是得，解得，則，所以，故答案為．14．展開式中各項系數(shù)的和為64，則展開式中的常數(shù)項為___________．【答案】76【解析】因為展開式中各項系數(shù)的和為64，則令，得，解得．表示6個因式的乘積，在這6個因式中，有6個因式都選1，可得常數(shù)項為1；有2個因式都選x，有1個因式選，其余的3個因式都選1，可得常數(shù)項為；有4個因式都選x，有2個因式都選，可得常數(shù)項為，故展開式的常數(shù)項為，故答案為．15．在中，三邊長組成公差為1的等差數(shù)列，最大角的正弦值為，則這個三角形的外接圓的直徑為__________．【答案】（或）【解析】設(shè)三角形的三邊長分別a，，，最大角為，由已知，∵，∴或．當(dāng)時，因為最大角為，所以由三角形內(nèi)角和可知，這樣不構(gòu)成三角形，故舍去；當(dāng)時，由余弦定理可知：，解得或（舍去）．設(shè)外接圓半徑為R，則，即，∴，故答案為．16．若對任意的恒成立，當(dāng)時，的最小值為_________；當(dāng)取最小值時，_________．【答案】，【解析】當(dāng)時，對任意的恒成立，即對任意的恒成立，令，可得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，所以，所以的最小值為．令，令，可得，要使得最小，則最大，設(shè)直線與相切的切點坐標(biāo)為，要使得直線在軸上的截距最大，則，又由，可得，則切線方程為，令，可得，即，所以．故答案為，．四、解答題：本大題共6個大題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知向量，．（1）若，求的值；（2）在中，角的對邊分別是，且滿足，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），∵，∴，∴．（2）∵，由正弦定理得，∴，∴，∵，∴，且，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，故的取值范圍是．18．（12分）已知正項數(shù)列的前n項和為，給出以下三個條件：①，；②；③，．從這三個條件中任選一個解答下面的問題．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分【答案】（1）；（2）．【解析】（1）若選①：由，得．令，可得．當(dāng)時，，，…，，累加得．又，則，則．又也適合上式，所以．若選②：由，可得．又是正項數(shù)列，所以，所以，則．當(dāng)時，．又也適合上式，所以．若選③：由得，當(dāng)時，，兩式作差得，整理得．由于，故，即是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）得，，則，所以．19．（12分）如圖，在四棱錐中，，，且，．（1）求證：平面平面；（2）若是邊長為2的正三角形，且與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）0．【解析】（1）取中點，連接，∵在四棱錐中，，，且，，，，又，平面，平面，∴平面平面．（2）∵，平面，平面，與平面所成角為，是邊長為2的正三角形，與平面所成角的正切值為，，解得，，，過點作平面，交于，則，以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，過點作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的法向量，則，取，得；設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)二面角的平面角為，則，∴二面角的余弦值為0．20．（12分）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標(biāo)有第站、第站、第站、、第站，共站，設(shè)棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失敗）時，游戲結(jié)束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標(biāo)有點數(shù)、、、、、）．（1）求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；（2）求證：為等比數(shù)列；（3）求玩該游戲獲勝的概率．【答案】（1），，，且；（2）證明見解析；（3）．【解析】（1）解：棋子開始在第站是必然事件，所以，棋子跳到第站，只有一種情形，第一次擲骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形，①第一次擲骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為；②前兩次擲骰子都出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，所以；棋子跳到第站，包括兩種情形，①棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為；②棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)奇數(shù)點，其概率為，故，棋子跳到站只有一種情況，棋子先跳到第站，又?jǐn)S骰子出現(xiàn)偶數(shù)點，其概率為，所以，．（2）證明：由（1）可得且，所以，數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為．（3）解：由（2）可知，所以，，所以，玩該游戲獲勝的概率為．21．（12分）已知橢圓的右焦點，且滿足，．（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若E上存在M，N兩點關(guān)于直線對稱，且滿足（O為坐標(biāo)原點），求l的方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由，，可得，故解得，故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由題意可知當(dāng)時，直線為，此時E上不會存在M，N兩點關(guān)于直線對稱，不合題意；故設(shè)直線MN的方程為，聯(lián)立，整理得，需滿足，設(shè)，則，故，，故MN的中點坐標(biāo)為，即，由于M，N兩點關(guān)于直線對稱，故將該點坐標(biāo)代入中得，化簡得，由可得，即，所以，化簡得，將代入中，可得，解得或（舍去），當(dāng)時，，滿足，故，所以l的方程為或．22