簡單回歸與相關(guān)講課演示文稿第1頁，共49頁。（優(yōu)選）簡單回歸與相關(guān)講課第2頁，共49頁。第3頁，共49頁。第4頁，共49頁。(1)離差平方和最小。點(diǎn)距直線的距離(平行于y軸的距離)之和與下方各實(shí)際觀察點(diǎn)距直線的距離之和相等。的平均值應(yīng)等于。。(2)，即回歸直線上方各實(shí)際觀察如此求得的回歸方程有3個(gè)特性據(jù)此可知如果在X＝x處進(jìn)行多次試驗(yàn)，觀察值第5頁，共49頁。(3)回歸直線必經(jīng)過點(diǎn)，也就是說當(dāng)?shù)?頁，共49頁。某地連續(xù)幾年測定3月下旬至4月中旬旬平均溫度累積值與一代三化螟盛發(fā)期的關(guān)系如下：旬平均溫度累積值(℃)34.534.131.740.336.840.231.739.244.2一代三化螟盛發(fā)期(天)12169273139－1以5月10日為0。試求盛發(fā)期對溫度累計(jì)值的一元線性回歸方程。例10.7第7頁，共49頁。旬平均溫度累積值可以測量和計(jì)算，雖然也有誤差，但較小。一代三化螟盛發(fā)期與旬平均溫度累積值之間可能有因果關(guān)系，前者是果后者是因。并且盛發(fā)期還受其它許多因素影響，有較大的隨機(jī)誤差。因此，此資料基本符合回歸模型的要求，可做回歸分析。

解：以溫度累積值為X，盛發(fā)期為Y，得相關(guān)計(jì)算表。第8頁，共49頁。表10.3溫度累積值x(℃)與盛發(fā)期y(天)的相關(guān)計(jì)算表xyx2y2xy34.5121190.25144414.034.1161162.81256545.631.791004.8981285.340.321624.09480.636.871354.2449257.640.231616.049120.631.7131004.89169412.139.291536.6481352.844.2－11953.641－44.2∑333.77012517.497942436.4第9頁，共49頁。第10頁，共49頁。第11頁，共49頁。得一元線性回歸方程其中回歸系數(shù)的意義為：旬平均溫度累積值每增加1℃，一代三化螟盛發(fā)期平均將提前1.0996天；

回歸截距的意義為：旬平均溫度累積值為0時(shí)，一代三代螟的平均盛發(fā)期。第12頁，共49頁。也可將回歸方程用圖形表示。因?yàn)閮牲c(diǎn)決定一條直線，所以只要取一大一小兩個(gè)x值代人回歸方程求出相應(yīng)的值，根據(jù)點(diǎn)和更簡單的方法是根據(jù)回歸方程的特性(3),直接例10.7的回歸直線及實(shí)際觀察點(diǎn)示于圖10.6。即可繪出回歸直線。用(0，a)和兩個(gè)點(diǎn)繪出回歸直線。第13頁，共49頁。第14頁，共49頁。二、回歸方程的假設(shè)測驗(yàn)根據(jù)樣本觀察值求出的一元線性回歸方程

是總體回歸方程的一個(gè)估計(jì)。由抽樣誤差的存在，樣本回歸方程的不等于總體回歸方程也成立。

因此,必須通過對樣本回歸方程的假設(shè)測驗(yàn)來判斷其所估計(jì)的總體回歸方程是否成立。第15頁，共49頁。

1．回歸的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤

離差平方和Q是回歸估計(jì)值與實(shí)測值

吻合程度的度量，因?yàn)橛?jì)算回歸方程用了a和b兩個(gè)統(tǒng)計(jì)數(shù)，所以其自由度。

定義（10.18）為回歸的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤，也稱離差標(biāo)準(zhǔn)誤。第16頁，共49頁。實(shí)際上Y變數(shù)的平方和SSy可以分解為

和

兩部分。前者由Y對X的回歸引起，稱回歸平方和記為U，有1個(gè)自由度。后者即離差平方和，它反映了實(shí)際觀察值Y對回歸估計(jì)值的偏離，因此也稱離回歸平方和。第17頁，共49頁。直接計(jì)算離差平方和既麻煩又易引入計(jì)算誤差，

所以一般可用下面4式之一來求（10.19A）（10.19B）（10.19C）（10.19D）第18頁，共49頁。[例10.8]試求例10.7中Q和。第19頁，共49頁。用式(10.19)計(jì)算分別為顯然以(10.19A)的最為精確。第20頁，共49頁。=3.266天的統(tǒng)計(jì)意義為在±3.266天的天的范圍內(nèi)大約有95.45％的觀察點(diǎn)。范圍內(nèi)大約有68.27％的觀察點(diǎn)，在多±6.532第21頁，共49頁。對一元線性回歸方程進(jìn)行t測驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)假設(shè)為回歸系數(shù)的標(biāo)誤為：（10.20）服從自由度的t分布。2．t測驗(yàn)第22頁，共49頁。b顯著，可用于估計(jì)總體回歸系數(shù)。表示總體回歸方程不存在，樣本回歸方表示總體回歸方程成立，樣本回歸系數(shù)。

程不顯著沒有意義。第23頁，共49頁。對例10.7的回歸方程進(jìn)行t測驗(yàn)。（3）（2）α=0.05查，現(xiàn)[例10.9]解：（1），表明在第24頁，共49頁。無效假設(shè)的總體中獲得現(xiàn)樣本的概率＜0.05。(4)接受備擇假設(shè)總體回歸方程存在，b＝－1.0996天／℃是總體，3月下旬到4月中旬旬平均溫度累積值與一代三化螟盛發(fā)期之間的回歸系數(shù)β的估計(jì)值。第25頁，共49頁。已知Y變數(shù)的平方和可分解為回歸與離差兩部分，各有1和n-2個(gè)自由度，因此可用F測驗(yàn)來測驗(yàn)統(tǒng)計(jì)假設(shè)。。不存在，樣本回歸方程無意義。在，樣本回歸方程是總體回歸方程的估計(jì)。3．F測驗(yàn)表示回歸變異不顯著，總體回歸方程表示回歸變異顯著，總體回歸方程存第26頁，共49頁。對例10.7的回歸方程進(jìn)行F測驗(yàn)。F測驗(yàn)的結(jié)果見表10.5。[例10.10]因此解：已知SSy=249.5556Q=74.667第27頁，共49頁。表10.5例10.7資料的回歸關(guān)系測驗(yàn)變異來源DFSSMSFF0.05回歸1174.8886174.888616.405.59離回歸774.667010.6667總變異8249.5556結(jié)果表明3月下旬到4月中旬旬平均溫度累積值與一代三化螟盛發(fā)期之間存在總體回歸方程，其估計(jì)為。。第28頁，共49頁。因?yàn)榉匣貧w模型要求的資料總是符合相關(guān)模型的要求，所以回歸分析中也可以計(jì)算相關(guān)系數(shù)。對于一元線性回歸而言，相關(guān)系數(shù)即標(biāo)準(zhǔn)化的回歸系數(shù)。4．相關(guān)系數(shù)法即意味著設(shè)測驗(yàn)可借用對相關(guān)系數(shù)的假設(shè)測驗(yàn)完成。，因此對回歸方程的假第29頁，共49頁。解：已知SSx=144．6356，SSy=249.5556，[例10.11]對例10.7的回歸方程用相關(guān)系數(shù)法進(jìn)行假設(shè)測驗(yàn)。SP=-159.0444，于是有查，現(xiàn)，表明總體相。

第30頁，共49頁。也即總體回歸系數(shù)。關(guān)系數(shù)據(jù)此可判斷總體回歸方程成立，樣本回歸系數(shù)b＝－1.0996天／℃是總體回歸系數(shù)的估計(jì)。對于一元線性回歸分析而言，t測驗(yàn)、F測驗(yàn)和相關(guān)系數(shù)測驗(yàn)的結(jié)論是一致的。第31頁，共49頁。

t測驗(yàn)和相關(guān)系數(shù)測驗(yàn)的關(guān)系已如前述，至于F測驗(yàn)，雖然直接測驗(yàn)的是回歸變異，但因?yàn)榛貧w方程中只有一個(gè)回歸系數(shù),所以回歸變異顯著也必然意味著回歸系數(shù)顯著。反之，如果t測驗(yàn)或相關(guān)系數(shù)測驗(yàn)表明回歸系數(shù)或相關(guān)系數(shù)顯著，必然意味著回歸變異顯著。第32頁，共49頁。前面說到的從回歸分析中可獲得相關(guān)分析的信息和從相關(guān)分析中也可獲得回歸分析的信息正是就此而言的。在實(shí)際分析中，回歸方程的3種測驗(yàn)方法可任選其一。第33頁，共49頁。由于抽樣誤差的存在，經(jīng)假設(shè)測驗(yàn)表明顯著的回歸方程可用來進(jìn)行回歸預(yù)測和回歸控制。

1．回歸預(yù)測

回歸預(yù)測是指根據(jù)回歸方程來預(yù)測當(dāng)X＝x時(shí)Y，它是此時(shí)Y的總體平均值三、回歸預(yù)測和控制的平均值的點(diǎn)估計(jì)值。也必然受到影響，其第34頁，共49頁。估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤為（10.23）據(jù)此可估計(jì)的1-α置信度的置信區(qū)間第35頁，共49頁。如果要估計(jì)當(dāng)X＝x時(shí)Y的個(gè)別值y的置信區(qū)間，要用到y(tǒng)的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)誤（10.26）然后（10.25）第36頁，共49頁。顯然對同一總體而言，和置信區(qū)間都隨x的不同而不同，當(dāng)時(shí)都最小，與相差越大，也越大，這說明預(yù)測的精確度與x的選取有關(guān)。又都隨n和因此，增加觀測點(diǎn)數(shù)n和擴(kuò)大X變數(shù)的取值范圍和和以及相應(yīng)的和同時(shí)，的增加而減少，也能提高預(yù)測的精確度。第37頁，共49頁。

(1)當(dāng)3月下旬到4月中旬旬平均溫累積值為40℃時(shí)，一代三化螟的平均盛發(fā)期95％的置信區(qū)間；

(2)某年某地3月下旬到4月中旬旬平均溫度為40℃時(shí)，該年該地一代三化螟的盛發(fā)期95％的置信區(qū)間。[例10.13]試根據(jù)例10.7的回歸方程估計(jì)：第38頁，共49頁。(2)是估計(jì)x＝40時(shí)的總體個(gè)別值y。解：根據(jù)(10.23)有(1)是估計(jì)x＝40時(shí)的總體平均數(shù)；第39頁，共49頁。所以95％的置信限為：根據(jù)(10.25)有第40頁，共49頁。如果實(shí)踐中經(jīng)常需要根據(jù)X的變化來估計(jì)Y的變所以Y95％的置信區(qū)間為其置信限繪成圖。值及化及其置信限時(shí)，可將不同的x所對應(yīng)的第41頁，共49頁。第42頁，共49頁?；貧w控制(regressioncontrol)是回歸預(yù)測的反向應(yīng)用，指希望Y＝y(tǒng)時(shí)根據(jù)回歸方程來估計(jì)X應(yīng)為多少。2．回歸控制根據(jù)(10.13)當(dāng)Y＝y(tǒng)時(shí)應(yīng)有（10.27）此為X的點(diǎn)估計(jì)。第43頁，共49頁。代人(10.23)計(jì)算如要做區(qū)間估計(jì)，應(yīng)將此然后為X的1-α置信度的置信限。（10.28）第44頁，共49頁。如果希望Y在區(qū)間(y1，y2)以內(nèi)，則有（10.29）即X應(yīng)控制在區(qū)間()以內(nèi)(b＞0)或區(qū)如果要求此區(qū)間有1-α置信度，那么(設(shè)b＞0)間