組合數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)試題及答案組合數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)試題一、選擇題（每題5分，共30分）1.10個人圍坐在圓桌旁，若其中3人必須相鄰，則不同的坐法種數(shù)為（）A.\(7!\times3!\)B.\(8!\times3!\)C.\(9!\times3!\)D.\(10!\times3!\)2.從1到100的自然數(shù)中，能被2或3整除但不能被5整除的數(shù)的個數(shù)為（）A.53B.54C.55D.563.設(shè)\(S=\{1,2,\dots,10\}\)，則\(S\)的滿足\(1\notinA\)且\(2\notinA\)的子集\(A\)的個數(shù)為（）A.\(2^8\)B.\(2^9\)C.\(2^{10}\)D.\(2^{10}-2^2\)4.5本不同的書分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少分到1本書，則不同的分法種數(shù)為（）A.\(4^5\)B.\(5^4\)C.\(240\)D.\(120\)5.遞推關(guān)系\(a_n=3a_{n-1}-2a_{n-2}\)（\(n\geq2\)）的通項公式為（）A.\(a_n=2^n+1\)B.\(a_n=2^n+3^n\)C.\(a_n=2^n-3^n\)D.\(a_n=2^n-1\)6.用紅、藍、綠三種顏色給一個立方體的6個面染色，要求每個面染一種顏色，相鄰面顏色不同，則不同的染色方法種數(shù)為（）A.12B.15C.18D.24二、填空題（每題5分，共30分）7.將字母\(A,B,C,D,E,F\)排成一列，要求\(A\)在\(B\)前面，\(C\)在\(D\)前面，且\(A\)與\(B\)相鄰，\(C\)與\(D\)相鄰，則不同的排列數(shù)為\(\boxed{\quad}\)。8.從1到2023的自然數(shù)中，能被3整除但不能被7整除的數(shù)的個數(shù)為\(\boxed{\quad}\)。9.設(shè)\(n\)為正整數(shù)，則\(\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}^2=\boxed{\quad}\)。10.用1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)位的數(shù)字都比相鄰奇數(shù)位數(shù)字大的五位數(shù)的個數(shù)為\(\boxed{\quad}\)。11.遞推關(guān)系\(a_n=2a_{n-1}+1\)（\(n\geq1\)，且\(a_0=0\)）的通項公式為\(a_n=\boxed{\quad}\)。12.將8個相同的球放入3個不同的盒子中，每個盒子至少放1個球，則不同的放法種數(shù)為\(\boxed{\quad}\)。三、解答題（每題10分，共40分）13.求方程\(x_1+x_2+x_3+x_4=10\)的非負整數(shù)解的個數(shù)，其中\(zhòng)(x_1\leq2\)，\(x_2\leq3\)，\(x_3\leq4\)，\(x_4\leq5\)。14.證明：對于任意正整數(shù)\(n\)，有\(zhòng)(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0\)。15.設(shè)\(S\)是一個\(n\)元集合，\(S\)的子集\(A\)稱為“特殊子集”，若\(A\)中元素的個數(shù)為奇數(shù)。求\(S\)的所有“特殊子集”的并集的元素個數(shù)的最大值。16.有\(zhòng)(n\)個人參加一個聚會，每個人恰好認識其中的\(k\)個人（\(k\)為固定正整數(shù)，且\(1\leqk\leqn-1\)）。證明：存在兩個人，他們認識的人數(shù)相同。參考答案一、選擇題1.A2.A3.A4.C5.D6.D二、填空題7.488.5769.\(\binom{2n}{n}\)10.1011.\(2^n-1\)12.21三、解答題13.解：設(shè)\(y_i=x_i\)，則方程為\(y_1+y_2+y_3+y_4=10\)，\(y_i\geq0\)，且\(y_1\leq2\)，\(y_2\leq3\)，\(y_3\leq4\)，\(y_4\leq5\)。無限制的非負整數(shù)解個數(shù)為\(\binom{10+4-1}{4-1}=\binom{13}{3}=286\)。利用容斥原理，減去不滿足條件的解：-\(y_1\geq3\)，設(shè)\(y_1'=y_1-3\)，則\(y_1'+y_2+y_3+y_4=7\)，解數(shù)為\(\binom{7+4-1}{3}=\binom{10}{3}=120\)；-\(y_2\geq4\)，設(shè)\(y_2'=y_2-4\)，則\(y_1+y_2'+y_3+y_4=6\)，解數(shù)為\(\binom{6+4-1}{3}=\binom{9}{3}=84\)；-\(y_3\geq5\)，設(shè)\(y_3'=y_3-5\)，則\(y_1+y_2+y_3'+y_4=5\)，解數(shù)為\(\binom{5+4-1}{3}=\binom{8}{3}=56\)；-\(y_4\geq6\)，設(shè)\(y_4'=y_4-6\)，則\(y_1+y_2+y_3+y_4'=4\)，解數(shù)為\(\binom{4+4-1}{3}=\binom{7}{3}=35\)。加上兩個變量同時不滿足條件的解：-\(y_1\geq3\)且\(y_2\geq4\)，\(y_1'+y_2'+y_3+y_4=3\)，解數(shù)\(\binom{3+4-1}{3}=\binom{6}{3}=20\)；-\(y_1\geq3\)且\(y_3\geq5\)，\(y_1'+y_2+y_3'+y_4=2\)，解數(shù)\(\binom{2+4-1}{3}=\binom{5}{3}=10\)；-\(y_1\geq3\)且\(y_4\geq6\)，\(y_1'+y_2+y_3+y_4'=1\)，解數(shù)\(\binom{1+4-1}{3}=\binom{4}{3}=4\)；-\(y_2\geq4\)且\(y_3\geq5\)，\(y_1+y_2'+y_3'+y_4=1\)，解數(shù)\(\binom{1+4-1}{3}=\binom{4}{3}=4\)；-\(y_2\geq4\)且\(y_4\geq6\)，\(y_1+y_2'+y_3+y_4'=0\)，解數(shù)1；-\(y_3\geq5\)且\(y_4\geq6\)，\(y_1+y_2+y_3'+y_4'=-1\)，解數(shù)0。三個變量同時不滿足條件的解：-\(y_1\geq3\)，\(y_2\geq4\)，\(y_3\geq5\)，\(y_1'+y_2'+y_3'+y_4=-2\)，解數(shù)0；其他類似情況均為0。因此，滿足條件的解數(shù)為：\[286-(120+84+56+35)+(20+10+4+4+1+0)-0=286-295+39=30\]答案為30。14.證明：由二項式定理，\((1-1)^n=\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0^n=0\)，故\(\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}=0\)。15.解：設(shè)\(S=\{a_1,a_2,\dots,a_n\}\)，對于每個元素\(a_i\)，考慮包含\(a_i\)的“特殊子集”的數(shù)量。包含\(a_i\)的奇數(shù)子集個數(shù)為\(2^{n-1}\)（因為剩余\(n-1\)個元素中選偶數(shù)個與\(a_i\)組合）。若“特殊子集”的并集為\(T\)，則\(T\)中的每個元素必須出現(xiàn)在至少一個“特殊子集”中。假設(shè)\(T=S\)，即所有元素都在某個“特殊子集”中，這是可能的（例如所有奇數(shù)子集的并集為\(S\)，因為每個元素都在包含它的奇數(shù)子集中）。若\(T\neqS\)，則存在\(a_i\notinT\)，即\(a_i\)不在任何“特殊子集”中，這與“特殊子集”的定義矛盾（因為\(\{a_i\}\)是奇數(shù)子集，若\(a_i\)不在任何“特殊子集”中，則\(\{a_i\}\)不被包含，矛盾）。因此，“特殊子集”的并集的最大值為\(n\)（即\(S\)本身）。答案為\(n\)。16.證明：每個人認識的人數(shù)\(k\)滿足\