專題4.5等比數(shù)列的前n項和公式【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1求等比數(shù)列的通項公式】 1【題型2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)】 2【題型3求等比數(shù)列的前n項和】 2【題型4等比數(shù)列前n項和的最值問題】 3【題型5等比數(shù)列的實際應(yīng)用】 4【題型6等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 5【題型7數(shù)列的求和】 7【知識點1等比數(shù)列的前n項和公式】1．等比數(shù)列的前n項和公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項和公式為

=.2．等比數(shù)列前n項和公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)當(dāng)q=1時，=是關(guān)于n的正比例函數(shù)，點(n,)是直線y=x上的一群孤立的點.(2)當(dāng)q≠1時，=.記A=，則=+A是一個指數(shù)式與一個常數(shù)的和.當(dāng)q>0且q≠1時，y=是指數(shù)函數(shù)，此時，點(n,)是指數(shù)型函數(shù)y=+A圖象上的一群孤立的點.3．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.【題型1求等比數(shù)列的通項公式】【例1】（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則an＝（

）A．2n B．2n－1C．2n D．2n－1【變式11】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和Sn=13anA．a(chǎn)n=?C．a(chǎn)n=?【變式12】（2023春·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項和Sn=3n+2A．39 B．2×310 C．3【變式13】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和組成的數(shù)列Sn滿足S1=1，S2=5，A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=1,n=1【題型2等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例2】（2023秋·云南·高三校考階段練習(xí)）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且an>0，若S6=10，A．90 B．135 C．150 D．180【變式21】（2023春·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S10S5A．32 B．154 C．21【變式22】（2023春·高二課時練習(xí)）已知等比數(shù)列an共有32項，其公比q=3，且奇數(shù)項之和比偶數(shù)項之和少60，則數(shù)列an的所有項之和是（A．30 B．60 C．90 D．120【變式23】（2023春·河南鄭州·高二校考期中）正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S30A．90 B．50C．40 D．30【題型3求等比數(shù)列的前n項和】【例3】（2023秋·廣西百色·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，Sn是其前n項和，a2=2，a4A．15 B．31 C．63 D．7【變式31】（2023春·安徽合肥·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足2an+1+an=0,a2A．43?(2C．43?(2【變式32】（2023春·遼寧沈陽·高二校聯(lián)考期中）已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，若a3=16，且a2與a4A．2n+2?4 B．2n?2?1 C．【變式33】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和是Sn，且滿足a1=3,a2k=8a2kA．42023?1 C．3×41012?9【題型4等比數(shù)列前n項和的最值問題】【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）記Sn為等比數(shù)列an的前n項和．已知a1=?4,aA．無最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，無最小項 D．有最大項，有最小項【變式41】（2023·北京·高三專題練習(xí)）記Sn為等比數(shù)列{?an}的前n項和.已知a1=8A．有最大項，有最小項 B．有最大項，無最小項C．無最大項，有最小項 D．無最大項，無最小項【變式42】（2023春·北京海淀·高三?？奸_學(xué)考試）已知無窮等比數(shù)列{?an}中a?1?=2，A．?dāng)?shù)列{Sn}是遞增數(shù)列 C．?dāng)?shù)列{Sn}存在最小項 【變式43】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知無窮等比數(shù)列an滿足?a2<a3<A．?dāng)?shù)列an為遞增數(shù)列 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列Sn有最小項 D．?dāng)?shù)列S【題型5等比數(shù)列的實際應(yīng)用】【例5】（2023秋·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）我國某西部地區(qū)要進行沙漠治理，已知某年（第1年）年底該地區(qū)有土地1萬平方千米，其中70%是沙漠.從第2年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的16%改造成綠洲，同時原有綠洲的4%被沙漠所侵蝕又變成沙漠.設(shè)綠洲面積為a1萬平方千米，第(1)求數(shù)列an(2)至少經(jīng)過幾年，綠洲面積可超過60%（參考數(shù)據(jù)：lg【變式51】（2023·全國·高二課堂例題）如圖，一個小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的13

(1)小球第10次落地時，經(jīng)過的路程是多少米？(2)小球第幾次落地時，經(jīng)過的路程為53027【變式52】（2023秋·高二課時練習(xí)）中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還.”其意思為：有一個人要走378里路，第一天健步行走，從第二天起因為腳痛，每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，請問第二天走了多少里？【變式53】（2023春·廣東佛山·高二校考階段練習(xí)）小華計劃從今年4月開始存錢買車，若他第一個月存10000元，以后每個月在前一個月的基礎(chǔ)上增加20%.記小華第一個月（今年4月）存入的金額為a1元，小華第n個月當(dāng)月存入的金額為(1)求小華前3個月的總存款金額；(2)若小華想購買的汽車售價為11萬元，求小華至少要存幾個月錢才能全款購買這輛汽車.（取1.26【知識點2數(shù)列的求和】1．?dāng)?shù)列求和的常用方法(1)公式法求和

①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式.

②掌握一些常見的數(shù)列的前n項和公式.(2)倒序相加法求和

如果一個數(shù)列{}中，與首、末兩項“等距離”的兩項,的和相等，那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和公式即是用此法推導(dǎo)的.(3)錯位相減法求和

錯位相減法求和適用于型數(shù)列，其中、分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(4)裂項相消法求和

利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面剩兩項，再就是通項裂項后，有時需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂項前后保持相等.【題型6等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例6】（2023春·新疆烏魯木齊·高二校考期中）已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4?a5=7(1)求an與b(2)設(shè)cn=anbn，求【變式61】（2023秋·四川遂寧·高三?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列an的前n項和為Sn，滿足(1)求an(2)設(shè)bn=2ann∈N【變式62】（2023秋·河北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，a1=1，公差為dd≠0，其前n項和為Sn，且a2,a5(1)求數(shù)列an(2)設(shè)An=a【變式63】（2023秋·甘肅白銀·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an，bn滿足a1=b1=1,(1)若an為等比數(shù)列，其公比q=2，求T(2)an為等差數(shù)列，其公差d=1，證明：【題型7數(shù)列的求和】【例7】（2023秋·重慶沙坪壩·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列{an}中，a1=2，且n(n+1)(1)求數(shù)列{an(2)設(shè)bn=a1?a2【變式71】（2023秋·福建寧德·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和為S(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=n2+n?2na【變式72】（2