§7.5空間直線、平面的垂直分值：90分一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.(2025·邯鄲模擬)已知α，β是不重合的兩個(gè)平面，m，n是兩條直線，且α⊥β，m?α，n?β，則“m⊥n”是“m⊥β”的()A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2.已知m，l是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列可以推出α⊥β的是()A.m⊥l，m?β，l⊥αB.m⊥l，α∩β=l，m?αC.m∥l，m⊥α，l⊥βD.l⊥α，m∥l，m∥β3.若某圓錐的側(cè)面積為底面積的5倍，則該圓錐的母線與底面所成角的正切值為()A.2 B.3 C.2 D.54.如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，則C1在平面ABC上的射影H必在()A.直線AB上 B.直線BC上C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部5.(2024·北京模擬)在正四棱錐PABCD中，AB=2，二面角PCDA的大小為π4，則該四棱錐的體積為(A.4 B.2 C.43 D.6.如圖，四棱錐SABCD的底面為正方形，SD⊥底面ABCD，則下列結(jié)論中不正確的是()A.AC⊥SBB.AD⊥SCC.平面SAC⊥平面SBDD.BD⊥SA二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.(2025·廣州模擬)已知α，β，γ是三個(gè)不重合的平面，且α∩γ=l，β∩γ=m，則下列命題不正確的是()A.若α⊥γ，β⊥γ，則l∥mB.若l∥m，則α∥βC.若α⊥β，γ⊥β，則l⊥mD.若l⊥m，則α⊥β8.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，下列結(jié)論正確的是()A.異面直線AB1與CD所成角的大小為45°B.異面直線A1B1與AC1所成角的大小為45°C.直線AC1與平面ABB1A1所成角的正弦值為3D.二面角C1ADB的大小為45°三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知△ABC，若直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，且l，m為兩條不同的直線，則l，m的位置關(guān)系是.10.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，M是BD的中點(diǎn)，MA=1且MC=2，若二面角ABDC的大小為120°，則點(diǎn)A到點(diǎn)C的距離為.四、解答題(共27分)11.(13分)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°.將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為點(diǎn)P，且使平面PBD⊥平面BCD.求證：(1)CD⊥平面PBD；(6分)(2)平面PBC⊥平面PCD.(7分)12.(14分)如圖，已知三棱柱ABCA'B'C'的側(cè)棱垂直于底面，AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)M，N分別為A'B和B'C'的中點(diǎn).(1)證明：MN∥平面AA'C'C；(7分)(2)設(shè)AB=λAA'，當(dāng)λ為何值時(shí)，CN⊥平面A'MN？試證明你的結(jié)論.(7分)13題5分，14題6分，共11分13.(2024·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)已知正三棱臺(tái)ABCA1B1C1的體積為523，AB=6，A1B1=2，則A1A與平面ABC所成角的正切值為(A.12 B.1 C.214.(多選)(2025·河池模擬)如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1，AC1⊥平面A1B1C1，AB⊥BC，AD⊥BC1，D，E分別是BC1，AC1的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是()A.DE∥平面ABB1A1B.AD⊥平面BCC1C.直線AD與直線DE的夾角為πD.若∠BAC=π6，則二面角BA1B1C1的平面角的大小為答案精析1.A2.D3.A[設(shè)該圓錐的底面圓半徑和母線長(zhǎng)分別為r，l，母線與底面所成的角為θ，由題意可得πrl=5πr2?l=5r，由勾股定理可得圓錐的高h(yuǎn)=5r2-所以圓錐的母線與底面所成角的正切值tanθ=hr=2.4.A[由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1=B，AB，BC1?平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.]5.C[連接AC，BD相交于點(diǎn)H，則H為正方形ABCD的中心，故PH⊥底面ABCD，取CD的中點(diǎn)Q，連接HQ，PQ，則HQ⊥CD，PQ⊥CD，HQ=12AD=1故∠PQH為二面角PCDA的平面角，所以∠PQH=π故PH=HQ=1，所以該四棱錐的體積為13×AB2·PH=436.D[由題意知SD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，故SD⊥AC，又四棱錐SABCD的底面為正方形，即AC⊥BD，而SD∩BD=D，SD，BD?平面SBD，故AC⊥平面SBD，SB?平面SBD，故AC⊥SB，A正確；SD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，故SD⊥AD，又四棱錐SABCD的底面為正方形，即AD⊥CD，而SD∩CD=D，SD，CD?平面SCD，故AD⊥平面SCD，SC?平面SCD，故AD⊥SC，B正確；由于AC⊥平面SBD，AC?平面SAC，故平面SAC⊥平面SBD，C正確；SD⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，故SD⊥BD，若BD⊥SA，而SD∩SA=S，SD，SA?平面SAD，故BD⊥平面SAD，又AD?平面SAD，故BD⊥AD，即∠BDA=90°，這與正方形ABCD中∠BDA=45°矛盾，D錯(cuò)誤.]7.ABD[若α⊥γ，β⊥γ，則l∥m或l與m相交，故A錯(cuò)誤；若l∥m，則α∥β或α與β相交，故B錯(cuò)誤；若α⊥β，γ⊥β，則l⊥m，故C正確；若l⊥m，則α與β相交，不一定是垂直，故D錯(cuò)誤.]8.ACD[如圖所示，對(duì)于A，因?yàn)镃D∥AB，則AB1與CD所成的角為∠BAB1=45°，A正確；對(duì)于B，因?yàn)锳B∥A1B1，所以AC1與A1B1所成的角為∠BAC1或其補(bǔ)角，因?yàn)锳B=2，BC1=2BC=22，AC1=3AB=2所以AB2+BC12=則AB⊥BC1，所以tan∠BAC1=BC1AB=2，故∠BAC1≠對(duì)于C，因?yàn)锽1C1⊥平面ABB1A1，故直線AC1與平面ABB1A1所成的角為∠B1AC1，因?yàn)锳B1?平面ABB1A1，則B1C1⊥AB1，所以sin∠B1AC1=B1C因此，直線AC1與平面ABB1A1所成角的正弦值為33，對(duì)于D，因?yàn)锳D⊥平面CC1D1D，CD，C1D?平面CC1D1D，則AD⊥CD，AD⊥C1D，所以二面角C1ADB的平面角為∠CDC1=45°，D正確.]9.平行解析依題意知l⊥AB，l⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC?平面ABC，故l⊥平面ABC，又m⊥BC，m⊥AC，BC∩AC=C，BC，AC?平面ABC，故m⊥平面ABC，∴l(xiāng)∥m.10.7解析如圖所示，連接AC，因?yàn)锳B=AD，CB=CD且M為BD的中點(diǎn)，所以MA⊥BD，MC⊥BD，所以∠AMC為二面角ABDC的平面角，可得∠AMC=120°，在△AMC中，因?yàn)镸A=1，MC=2且∠AMC=120°，可得AC2=MA2+MC22MA·MCcos120°=1+42×1×2×-12所以AC=7.11.證明(1)因?yàn)锳D=AB，∠BAD=90°，所以∠ABD=∠ADB=45°.又因?yàn)锳D∥BC，所以∠DBC=45°.又∠BCD=45°，所以∠BDC=90°，即BD⊥CD.因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面BCD，平面PBD∩平面BCD=BD，CD?平面BCD，所以CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD，BP?平面PBD，得CD⊥BP.又BP⊥PD，PD∩CD=D，PD，CD?平面PCD，所以BP⊥平面PCD.又BP?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PCD.12.(1)證明取AB的中點(diǎn)D，BC的中點(diǎn)E，連接MD，DE，NE，則有MD∥AA'，DE∥AC，NE∥CC'∥AA'，所以NE∥MD，則NE與MD共面，又DE?平面AA'C'C，AC?平面AA'C'C，所以DE∥平面AA'C'C，又MD?平面AA'C'C，AA'?平面AA'C'C，所以MD∥平面AA'C'C，又MD∩DE=D，MD，DE?平面DMNE，所以平面DMNE∥平面AA'C'C，又MN?平面DMNE，所以MN∥平面AA'C'C.(2)解連接BN，不妨設(shè)AA'=1，則AB=AC=λAA'=λ，所以BC=AB2+A因?yàn)槿庵鵄BCA'B'C'的側(cè)棱垂直于底面，所以平面A'B'C'⊥平面BB'C'C，因?yàn)锳B=AC，所以A'B'=A'C'，又點(diǎn)N是B'C'的中點(diǎn)，所以A'N⊥B'C'，又平面A'B'C'∩平面BB'C'C=B'C'，A'N?平面A'B'C'，所以A'N⊥平面BB'C'C，又CN?平面BB'C'C，所以CN⊥A'N，要使CN⊥平面A'MN，只需CN⊥BN即可，又因?yàn)镃N=BN=1所以CN2+BN2=BC2，即212+所以λ=2(負(fù)值舍去)，即當(dāng)λ=2時(shí)，CN⊥平面A'MN.13.B[方法一分別取BC，B1C1的中點(diǎn)D，D1，則AD=33，A1D1=可知S△ABC=12×6×33=9S△A1B1C1=設(shè)正三棱臺(tái)ABCA1B1C1的高為h，則V三棱臺(tái)ABC-A1B1C1=13×(9解得h=4如圖，分別過(guò)A1，D1作底面的垂線，垂足為M，N，設(shè)AM=x，則AA1=AM2DN=ADAMMN=23x，可得DD1=D=(2結(jié)合等腰梯形BCC1B1可得BB12=6-22即x2+163=(23x)2+163解得x=4所以A1A與平面ABC所成角的正切值為tan∠A1AD=A1M方法二將正三棱臺(tái)ABCA1B1C1補(bǔ)成正三棱錐PABC，則A1A與平面ABC所成的角即為PA與平面ABC所成的角，因?yàn)镻A1PA=則V三棱錐P-可知V=2627V三棱錐PABC=則V三棱錐PABC=18，設(shè)正三棱錐PABC的高為d，則V三棱錐PABC=13d×12×6×6×3解得d=23取△ABC的中心為O，則PO⊥底面ABC，且AO=23所以PA與平面ABC所成角的正切值tan∠PAO=POAO=1.14.ABD[因?yàn)镈，E分別是BC1，AC1的中點(diǎn)，所以DE∥AB，又DE?平面ABB1A1，AB?平面ABB1A1，所以DE∥平面ABB1A1，故A正確；因?yàn)锳C1⊥平面A1B1C1，所以AC1⊥平面ABC，又BC?平面ABC，所以AC1⊥BC，因?yàn)锳B⊥BC，AB∩AC1=A，AB，AC1?平面ABC1，所以BC⊥平面ABC1，又AD?平面ABC1，所以BC⊥AD，因?yàn)锳D⊥BC1，BC∩BC1=B，BC，BC1?平面BCC1，則AD⊥平面BCC1，故B正確；由于D為BC1的中點(diǎn)，且AD⊥BC1，AC1⊥AB