2.1函數(shù)的概念及表示五年高考考點(diǎn)1函數(shù)的概念及表示考點(diǎn)2分段函數(shù)目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練五年高考考點(diǎn)1函數(shù)的概念及表示1.(2016課標(biāo)Ⅱ文,10,5分,中)下列函數(shù)中,其定義域和值域分別與函數(shù)y=10lgx的定義域和

值域相同的是

(

)A.y=x

B.y=lgx

C.y=2x

D.y=

D解析

函數(shù)y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值

域?yàn)镽,排除B,故選D.易錯(cuò)警示

利用對數(shù)恒等式將函數(shù)y=10lgx變?yōu)閥=x,將其值域認(rèn)為是R是失分的主要原因.2.(2024新課標(biāo)Ⅰ,8,5分,中)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當(dāng)x<3時(shí),f(x)

=x,則下列結(jié)論中一定正確的是

(

)A.f(10)>100

B.f(20)>1000

C.f(10)<1000

D.f(20)<10000B解析

當(dāng)x<3時(shí),f(x)=x,因此,f(1)=1,f(2)=2,又f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3,f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,以此類推知f(10)>89,……,f(16)>1597,……,f(20)>10946,因

此B正確,D錯(cuò)誤;取f(3)=1000,可知選項(xiàng)C錯(cuò)誤;不妨設(shè)f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),則f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ,f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……,f(10)=89+54λ,令f(10)<100,得89+54λ<100,∴λ<

,因此當(dāng)λ<

時(shí),f(10)<100,選項(xiàng)A錯(cuò)誤.故選B.3.(2022北京,11,5分,易)函數(shù)f(x)=

+

的定義域是

.

(-∞,0)∪(0,1]解析

由題意得

解得x≤1且x≠0,所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,1].4.(2020北京,11,5分,易)函數(shù)f(x)=

+lnx的定義域是

.

(0,+∞)解析

要使函數(shù)f(x)有意義,則

故x>0,因此函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).5.(2018江蘇,5,5分,易)函數(shù)f(x)=

的定義域?yàn)?/p>

.[2,+∞)解析

由題意可得log2x-1≥0,即log2x≥1,∴x≥2.∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇2,+∞).易錯(cuò)警示

本題易錯(cuò)誤認(rèn)為“x-1≥1,得到x≥2”.注意區(qū)分“l(fā)og2x-1”與“l(fā)og2(x-1)”

的寫法不同之處.6.(2018課標(biāo)Ⅰ文,13,5分,易)已知函數(shù)f(x)=log2(x2+a).若f(3)=1,則a=

.-7解析

∵f(x)=log2(x2+a)且f(3)=1,∴f(3)=log2(9+a)=1,∴a+9=2,∴a=-7.考點(diǎn)2分段函數(shù)1.(2018課標(biāo)Ⅰ文,12,5分,中)設(shè)函數(shù)f(x)=

則滿足f(x+1)<f(2x)的x的取值范圍是

(

)A.(-∞,-1]

B.(0,+∞)C.(-1,0)

D.(-∞,0)D解析

函數(shù)f(x)=

的圖象如圖所示,由f(x+1)<f(2x)得

得

∴x<0,故選D.2.(2021浙江,12,4分,易)已知a∈R,函數(shù)f(x)=

若f(f(

))=3,則a=

.2解析

因?yàn)?/p>

>

=2,所以f(

)=(

)2-4=2,所以f(f(

))=f(2)=|2-3|+a=1+a=3,解得a=2.三年模擬1.(2025屆吉林四中月考,5)已知f

=2x-5,且f(a)=3,則a=

(

)A.3

B.

C.1

D.

C解析

令

x-1=t,則x=2(t+1),故f(t)=2·2(t+1)-5=4t-1,則f(x)=4x-1,又f(a)=3,故4a-1=3,解得a=1.2.(2024湖南長沙一中開學(xué)考,3)下列四組函數(shù)中f(x)與g(x)是同一個(gè)函數(shù)的是

(

)A.f(x)=x,g(x)=

B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2C.f(x)=|x|,g(x)=

D.f(x)=

,g(x)=

C解析

對于A,f(x)=x的定義域是R,g(x)=

的定義域是{x|x≠0},所以不是同一個(gè)函數(shù).對于B,f(x)=2lgx的定義域是{x|x>0},g(x)=lgx2的定義域是{x|x≠0},所以不是同一個(gè)函

數(shù).對于C,g(x)=

=|x|=f(x),兩個(gè)函數(shù)的定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系完全相同,所以是同一個(gè)函數(shù).對于D,f(x)=

的定義域是R,g(x)=

的定義域是{x|x≥0},所以不是同一個(gè)函數(shù).故選C.3.(2025屆湖北黃岡中學(xué)月考,3)若函數(shù)y=f(x)的值域是[1,3],則函數(shù)F(x)=1-f(x+3)的值域

是

(

)A.[-8,3]

B.[-5,-1]

C.[-2,0]

D.[1,3]C解析

由函數(shù)y=f(x)的值域是[1,3]得1≤f(x)≤3,所以1≤f(x+3)≤3,所以-3≤-f(x+3)≤-1,因此-2≤1-f(x+3)≤0,即函數(shù)F(x)=1-f(x+3)的值域是[-2,0].故選C.4.(2025屆四川南充閬中開學(xué)考,4)已知函數(shù)y=f(x+1)的定義域?yàn)閇-2,3],則y=

的定義域?yàn)?/p>

(

)A.[-5,5]

B.(1,5]C.

D.

C解析

由函數(shù)y=f(x+1)的定義域?yàn)閇-2,3]得f(x)的定義域?yàn)閇-1,4],在函數(shù)y=

中,

解得1<x≤

.故選C.5.(2025屆山東濰坊期中,7)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x-y+1)-f(x+y+1)=f(x)f(y),且f(1)=2,則f(2)+f(3)+f(4)=(

)A.2

B.0

C.-2

D.-4C解析

令x=y=1,則f(1)-f(3)=f(1)·f(1),f(3)=f(1)-f2(1)=2-4=-2,令x=1,y=0,則f(2)-f(2)=f(1)·f(0),則f(0)=0,令x=0,y=1,則f(0)-f(2)=f(0)f(1),則f(2)=0,令x=2,y=1,則f(2)-f(4)=f(2)f(1),則f(4)=0,所以f(2)+f(3)+f(4)=0+(-2)+0=-2.故選C.方法技巧

“賦值”是解決抽象函數(shù)問題的常用方法,解題時(shí)要依據(jù)條件與結(jié)論的關(guān)

系,對變量賦以適當(dāng)?shù)闹?6.(2025屆河北部分地區(qū)開學(xué)考,4)已知函數(shù)f(x)=

則不等式f(x)≥0的解集為

(

)A.(-∞,-1]∪[1,+∞)B.(-∞,-2]∪[0,+∞)C.[1,+∞)D.[0,+∞)B解析

因?yàn)閒(x)=

所以不等式f(x)≥0等價(jià)于

或

解得x≤-2或x=0或x>0,所以不等式的解集為(-∞,-2]∪[0,+∞).故選B.7.(2024江蘇鎮(zhèn)江階段測,1)若函數(shù)y=f(2x)的定義域?yàn)閇-2,4],則y=f(x)-f(-x)的定義域?yàn)?

)A.[-2,2]

B.[-2,4]C.[-4,4]

D.[-8,8]C解析

因?yàn)楹瘮?shù)y=f(2x)的定義域?yàn)閇-2,4],則-2≤x≤4,可得-4≤2x≤8,所以函數(shù)y=f(x)的定義域

為[-4,8],對于函數(shù)y=f(x)-f(-x),則有

解得-4≤x≤4,因此,函數(shù)y=f(x)-f(-x)的定義域?yàn)閇-4,4].故選C.8.(2024江蘇南通百校開學(xué)聯(lián)考,7)若函數(shù)y=

的值域?yàn)閇0,+∞),則a的取值范圍是

(

)A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.(-∞,0)∪[3,+∞)B解析

函數(shù)y=

是一個(gè)復(fù)合函數(shù),要使值域?yàn)閇0,+∞),則函數(shù)f(x)=ax2+2ax+3的值域要包括0(函數(shù)f(x)=ax2+2ax+3的最小值

要小于或等于0).當(dāng)a=0時(shí),顯然不成立;當(dāng)a≠0時(shí),則有

解得a≥3,所以a的取值范圍是[3,+∞).故選B.9.(多選)(2025屆山東臨沂一中檢測,10)下列命題中,正確的是

(

)A.函數(shù)v(x)=

與u(x)=

表示同一個(gè)函數(shù)B.函數(shù)v(x)=x2-2x+2與u(t)=t2-2t+2是同一個(gè)函數(shù)C.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=2024至多有一個(gè)交點(diǎn)D.函數(shù)f(x)=|x-1|-x,則f

=0BC解析

對于A,v(x)=

=

因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域不相同,所以不是同一個(gè)函數(shù),A錯(cuò)誤;對于B,函數(shù)v(x)=x2-2x+2與u(t)=t2-2t+2的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系相同,是同一個(gè)函數(shù),B正

確;對于C,根據(jù)函數(shù)的定義可知,y=f(x)的圖象與直線x=2024至多有一個(gè)交點(diǎn),C正確;對于D,因?yàn)閒(x)=|x-1|-x,所以f

=

-

=0,則f

=f(0)=|0-1|-0=1,D錯(cuò)誤.故選BC.10.(多選)(2024福建寧德一中第一次考試,9)已知函數(shù)f(x)=

則

(

)A.f(-1)=-2B.若f(a)=1,則a=0或a=2C.函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減D.函數(shù)f(x)在[-1,2]上的值域?yàn)閇1,3]BD解析

函數(shù)f(x)的圖象如圖所示.f(-1)=-2×(-1)+1=3,故A錯(cuò)誤.

當(dāng)a<0時(shí),f(a)=1?-2a+1=1?a=0,此時(shí)方程無解;當(dāng)a≥0時(shí),f(a)=1?-a2+2a+1=1?a=0或

a=2,故B正確.由圖象可得,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,故C錯(cuò)誤.由圖象可知當(dāng)x∈[-1,2]時(shí),f(x)min=min{f(0),f(2)}=1,f(x)max=max{f(-1),f(1)}=3,故f(x)在[-1,2]上的值域?yàn)閇1,3],D正確.故選BD.11.(2025屆福建莆田錦江中學(xué)月考,12)已知f(x)=

則f

=

.解析

f

=-

+1=-

+1=

,因此f

=f

=-

+1=-

+1=

.12.(2025屆廣東惠州第一次質(zhì)檢,12)若函數(shù)f(x)=

的定義域?yàn)閇-2,+∞),則實(shí)數(shù)a=

,實(shí)數(shù)b的取值范圍是

.2(-∞,-2)解析

要使函數(shù)f(x)=

有意義,則有

即

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

的定義域?yàn)閇-2,+∞),所以a=2,b<-2.故答案為2;(-∞,-2).13.(2024廣東潮州潮安鳳塘中學(xué)統(tǒng)測(一),13)函數(shù)f(x)=

+log2(x+1),則f(x)的定義域是

.

(-1,+∞)解析

由題意可得

解得x>-1,所以函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+∞).14.(2024廣東廣州六十五中摸底考,14)已知函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=f(x)+2,則f(x)的解析式可

以是

.(寫出滿足條件的一個(gè)解析式即可)f(x)=2x(答案不唯一)解析

由題意知,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移1個(gè)單位長度后與將f(x)的圖象向上平移2個(gè)單位

長度后的圖象重合.若設(shè)f(x)=ax(結(jié)合已知條件,可選擇一次函數(shù)模型),則由f(x+1)=f(x)+

2,得a(x+1)=ax+2,解得a=2,所以f(x)=2x,故答案為f(x)=2x(答案不唯一).15.(2023北京五十七中開學(xué)考,14)若函數(shù)f(x)=

的定義域和值域的交集為空集,則正數(shù)a的取值范圍是

.(0,1)解析

因?yàn)楫?dāng)x≤0時(shí),f(x)=2x+3∈(3,4],所以要使函數(shù)f(x)=

的定義域和值域的交集為空集,則0<a≤3,當(dāng)2≤a≤3,0<x≤a