5.3復(fù)數(shù)五年高考考點1復(fù)數(shù)的概念考點2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算目錄三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練五年高考考點1復(fù)數(shù)的概念1.(2024新課標(biāo)Ⅱ,1,5分,易)已知z=-1-i,則|z|=

()A.0

B.1

C.

D.2C解析

∵z=-1-i,∴|z|=

=

,故選C.2.(2023新課標(biāo)Ⅱ,1,5分,易)在復(fù)平面內(nèi),(1+3i)·(3-i)對應(yīng)的點位于()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限A解析

(1+3i)(3-i)=6+8i,對應(yīng)的點(6,8)位于第一象限,故選A.3.(2023全國乙文,1,5分,易)|2+i2+2i3|=()A.1

B.2

C.

D.5C解析

|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=

,故選C.4.(2023全國甲理,2,5分,易)設(shè)a∈R,(a+i)(1-ai)=2,則a=()A.-2

B.-1

C.1

D.2C解析

因為(a+i)(1-ai)=a-a2i+i-ai2=2a+(1-a2)i=2,所以

解得a=1,故選C.5.(2022全國乙理,2,5分,易)已知z=1-2i,且z+a

+b=0,其中a,b為實數(shù),則

()A.a=1,b=-2

B.a=-1,b=2C.a=1,b=2

D.a=-1,b=-2A解析

由題知

=1+2i,所以z+a

+b=1-2i+a(1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i,又z+a

+b=0,所以a+b+1+(2a-2)i=0,所以

解得

故選A.6.(2021新高考Ⅱ,1,5分,易)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)

對應(yīng)的點位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限A解析

=

=

=

+

i,此復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點的坐標(biāo)為

,該點在第一象限,故選A.7.(2020課標(biāo)Ⅱ理,15,5分,易)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=

+i,則|z1-z2|=

.2

解析

在復(fù)平面內(nèi),用向量思想求解,原問題等價于:平面向量a,b滿足|a|=|b|=2,且a+b=(

,1),求|a-b|.考慮到(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,故4+(a-b)2=16,故|a-b|=2

,故|z1-z2|=2

.考點2復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.(2024全國甲理,1,5分,易)若z=5+i,則i(

+z)=()A.10i

B.2i

C.10

D.2A解析

∵

=5-i,∴i(

+z)=i(5-i+5+i)=10i,故選A.2.(2020新高考Ⅱ,2,5分,易)(1+2i)(2+i)=

()A.-5i

B.5i

C.-5

D.5B解析

(1+2i)(2+i)=2+4i+i-2=5i,故選B.3.(2021新高考Ⅰ,2,5分,易)已知z=2-i,則z(

+i)=

()A.6-2i

B.4-2i

C.6+2i

D.4+2iC解析

z(

+i)=

z+zi=22+(-1)2+(2-i)i=5+2i-i2=6+2i.歸納總結(jié)設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

·z=a2+b2.4.(2024新課標(biāo)Ⅰ,2,5分,易)若

=1+i,則z=

()A.-1-i

B.-1+i

C.1-i

D.1+iC解析

依題意知z=(z-1)(1+i)=z(1+i)-1-i,則z=

=

=1-i.故選C.5.(2023全國甲文,2,5分,易)

=()A.-1

B.1

C.1-i

D.1+iC解析

=

=

=1-i.故選C.6.(2023全國乙理,1,5分,易)設(shè)z=

,則

=

()A.1-2i

B.1+2i

C.2-i

D.2+iB解析

z=

=

=

=-(2i-1)=1-2i,則

=1+2i,故選B.7.(2023新課標(biāo)Ⅰ,2,5分,易)已知z=

,則z-

=()A.-i

B.i

C.0

D.1A解析

z=

=

=

=-

i,∴

=

i,∴z-

=-i,故選A.8.(2022新高考Ⅰ,2,5分,易)若i(1-z)=1,則z+

=

()A.-2

B.-1

C.1

D.2D解析

由題意可知1-z=

=-i,所以z=1+i,所以z+

=(1+i)+(1-i)=2.故選D.9.(2022新高考Ⅱ,2,5分,易)(2+2i)(1-2i)=

()A.-2+4i

B.-2-4i

C.6+2i

D.6-2iD解析

(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i-4i2=6-2i,故選D.10.(2022全國甲理,1,5分,易)若z=-1+

i,則

=

()A.-1+

i

B.-1-

i

C.-

+

i

D.-

-

iC解析

因為z=-1+

i,所以

=

=

=-

+

i,故選C.三年模擬1.(2025屆廣東廣州三校期中聯(lián)考,2)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|+z=8+4i,則z=

()A.3+4i

B.3-4i

C.-3+4i

D.-3-4iA解析

設(shè)z=x+yi,x,y∈R,由|z|+z=8+4i得

+x+yi=8+4i,所以

解得x=3,y=4,∴z=3+4i.2.(2025屆廣東深圳中學(xué)開學(xué)考,2)若復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱,且z1=1+

2i,則

=

()A.-

+

i

B.-

+

iC.-

+

i

D.-

-

iB解析

∵z1=1+2i,且復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于x軸對稱,∴z2=1-2i,則

=

=

=

=-

+

i.故選B.3.(2024廣東七校聯(lián)合體第一次聯(lián)考,2)若復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=i+3(i是虛數(shù)單位),則i·

的模等于

()A.1

B.

C.

D.

D解析

由題意可知z=

=

=

=2-i,所以

=2+i,則i·

=i(2+i)=-1+2i,則|-1+2i|=

=

.故選D.4.(2024湖南邵陽二中模擬,1)已知復(fù)數(shù)z=

-3i,則

=

()A.

-

i

B.

+

iC.-

-

i

D.-

+

iD解析

z=

-3i=

-3i=

-3i=

-3i=-

-

i,因此

=-

+

i.故選D.5.(2024江蘇省揚(yáng)州中學(xué)模擬,2)若復(fù)數(shù)z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是純虛數(shù),則

的虛部為()A.-

B.-

i

C.

D.

iA解析

∵復(fù)數(shù)z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是純虛數(shù),∴a2-1=0,且a+1≠0,解得a=1,則z=2i,∴

=

=

-

i,因此

的虛部為-

.故選A.6.(2024湖北武漢武鋼三中月考,3)已知復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=

,z3=-1-2i在復(fù)平面上對應(yīng)的點是一個正方形的3個頂點,則這個正方形的第4個頂點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z4=

()A.2-i

B.-2+i

C.2+i

D.-2-iB解析

z2=

=

=

=2-i,設(shè)復(fù)數(shù)z1=1+2i,z2=2-i,z3=-1-2i在復(fù)平面上分別對應(yīng)的點為A(1,2),B(2,-1),C(-1,-2),設(shè)正方形的第四個頂點為D(x,y),則其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z4=x+yi,x,y∈

R,結(jié)合對應(yīng)點的位置特征知

=

,又

=(x-1,y-2),

=(-3,-1),∴(x-1,y-2)=(-3,-1),∴x-1=-3,y-2=-1,∴x=-2,y=1,故這個正方形的第四個頂點對應(yīng)的復(fù)數(shù)

z4=-2+i.故選B.7.(2025屆江蘇南通部分學(xué)校測評,7)設(shè)z∈C,且(z+5)(

+5)=4,則z2的實部的取值范圍為()A.[8,36]

B.[9,49]C.[10,64]

D.[11,81]B解析

設(shè)z=a+bi(a,b∈R),則

=a-bi,所以z+5=a+5+bi,

+5=a+5-bi,依題意得(z+5)(

+5)=(a+5)2+b2=4,設(shè)a=-5+2cosθ,b=2sinθ,z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,故z2的實部為a2-b2,所以a2-b2=(-5+2cosθ)2-(2sinθ)2=25-20cosθ+4cos2θ-4sin2θ=25-20cosθ+4cos2θ-4(1-cos2θ)=

8cos2θ-20cosθ+21,令t=cosθ,t∈[-1,1],則a2-b2=8t2-20t+21=8

+

,故a2-b2∈[9,49],即z2的實部的取值范圍為[9,49].故選B.8.(多選)(2024江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)學(xué)情檢測,9)已知i是虛數(shù)單位,z為復(fù)數(shù),則下列敘述正確的

是

()A.任意的z∈C,|z|=|

|B.若兩個復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|,則

=

C.z-

是純虛數(shù)D.滿足

=-z的z有兩個AD解析

對于A,令z=a+bi,a,b∈R,則

=a-bi,|z|=

=|

|,故A正確.對于B,|z1|=|z2|,如|3+4i|=|3-4i|,則

≠

,B錯誤.對于C,由A知z-

=a+bi-(a-bi)=2bi,b=0時,z-

不是純虛數(shù),C錯誤.對于D,

=-z,則z2=-1,所以z=±i,D正確,故選AD.9.(多選)(2025屆江西南昌開學(xué)考,9)虛數(shù)z1,z2是方程z3-8=0的兩個不同的根,則下列說法

正確的有

()A.

+2z1+4=0

B.

=z2C.z1z2=4

D.|z1|=2ACD解析

A.z3-8=(z-2)(z2+2z+4)=0,則z-2=0或z2+2z+4=0,z2+2z+4=0的判別式Δ=4-16=-12<0,由題意

得z1,z2為z2+2z+4=0的兩個根,則

+2z1+4=0,所以A正確;B.z2+2z+4=0的兩根為

=-1±

i,若z1=-1+

i,z2=-1-

i,則

=(-1+

i)2=1-2

i+3i2=-2-2

i≠z2,所以B錯誤;C.由根與系數(shù)的關(guān)系得z1z2=4,所以C正確;D.由B選項,知|z1|=|z2|=

=2,所以D正確.故選ACD.10.(多選)(2024山東新泰一中第一次質(zhì)檢,9)設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,i為虛數(shù)

單位,則下列說法正確的是

()A.若|z|=1,則z=±1或z=±iB.若z=

-2i,則z的虛部為-2iC.若1≤|z-2i|≤

,則點Z的集合所構(gòu)成的圖形的面積為πD.若點Z坐標(biāo)為(-1,3),且z是關(guān)于x的實系數(shù)方程x2+px+q=0的一個根,則p+q=12CD解析

A.若|z|=1,則點Z的軌跡是以原點為圓心,1為半徑的圓,圓上的點對應(yīng)的復(fù)數(shù)有無數(shù)個,

其中包含z=±1,z=±i,故A錯誤.B.若z=

-2i,則z的虛部為-2,故B錯誤.C.|z-2i|表示的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)的點Z到定點A(0,2)的距離,根據(jù)不等式1≤|z