31第一節(jié)高斯消元法_第1頁
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文檔簡介

直接方法若在計算過程中沒有舍入誤差，經(jīng)過有限次的算術(shù)運算，可求得方程組Ax=b（|A|0）的精確解的方法，稱為直接方法。它主要用于解系數(shù)矩陣是低階稠密矩陣的線性方程組。這里的基本思想是：把一般線性方程組化為等價的系數(shù)矩陣為三角矩陣的線性方程組來求解。（為什么？）第三章解線性方程組的數(shù)值方法解為例如：上三角矩陣所對應(yīng)的線性方程組下三角矩陣所對應(yīng)的線性方程組計算量（乘除法的主要部分）為n2/2.解為因為計算量少，故需要化為這種形狀.記Ax=b為A(1)x=b(1)

，即第一節(jié)消元法一、Gauss順序消元—按自然順序進行的消元法

1、基本思想：將其化為與之等價的三角形方程組來求解，具體步驟如下：

若a11(1)0，記li1=ai1(1)/a11(1),

i=2,3,…,n,第i個方程加上第一個方程乘以-

li1得

若用矩陣表示，相當于用一個初等矩陣L1左乘A(1)

和b(1),即L1A(1)

=A(2),L1b(1)=b(2)，其中若akk(k)0,

記lik=aik(k)/akk(k),

i=k+1,k+2,…,n第i個方程加上第k個方程乘以-lik，用矩陣表示，b(k)

,

分別得到LkA(k)=A(k+1),Lkb(k)=b(k+1)，其中相當于用一個初等矩陣Lk

左乘A(k)和方程組的的解為：前面稱為消元的過程，后面稱為回代的過程。最后得即A(n)x=b(n)L為單位下三角矩陣令以上n-1步消元過程就是U為上三角矩陣即有A=LU其中L為單位下三角矩陣,U為上三角矩陣。從而得求矩陣行列式的計算公式其中l(wèi)ik=aik(k)/akk(k),

k=1,2,…,n,i=k+1,k+2,…,n,計算量為n3/3。2.高斯消元法可用矩陣表示為：例1

用高斯消元法求解方程組解用第一個方程消去后兩個方程中的得再用第1個方程消去第2個方程中的得最后，經(jīng)過回代求得原方程組的解為例2

解方程組解：消元回代得解為引理

A的主元素(k=1,2,…,n)的充要條件是矩陣A的各階順序主子式不為零，即定理1

如果在消元過程中A的主元素(k=1,2,…,n),則可通過高斯消元法求出Ax=b

的解.二、高斯

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