第2講任意角的正弦、余弦、正切、余切與誘導(dǎo)公式知識(shí)梳理1.任意角的正弦、余弦、正切、余切（1）平方關(guān)系：（2）商數(shù)關(guān)系：；；（3）倒數(shù)關(guān)系：；注意：“同角”的概念與角的表達(dá)形式無(wú)關(guān)，如：，.2）上述關(guān)系（公式）都必須在定義域允許的范圍內(nèi)成立.3）由一個(gè)角的任一三角函數(shù)值可求出這個(gè)角的其余各三角函數(shù)值，且因?yàn)槔谩捌椒疥P(guān)系”公式，最終需求平方根，會(huì)出現(xiàn)兩解，因此應(yīng)盡可能少用,若使用時(shí),要注意討論符號(hào).2.誘導(dǎo)公式第一組：第二組：第三組：第四組：第五組： 第六組： 誘導(dǎo)公式可概括為k·eq\f(π,2)±α(k∈Z)的各三角函數(shù)值的化簡(jiǎn)公式．記憶規(guī)律是“奇變偶不變，符號(hào)看象限”．其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變是指函數(shù)名稱的變化．【析】①以上誘導(dǎo)公式都是當(dāng)取使等式兩邊都有意義的任意值；②以上誘導(dǎo)公式的正負(fù)號(hào)的確定；將看成銳角時(shí)，等號(hào)左邊的角的三角比的正負(fù)，決定了等號(hào)的正負(fù)號(hào)；③利用以上五組誘導(dǎo)公式可將任意角的三角比轉(zhuǎn)化成銳角或零角的三角比，轉(zhuǎn)化的一般途徑是：負(fù)角正角內(nèi)的角銳角或零角，以上的轉(zhuǎn)化途徑不唯一。例題解析一、任意角的正弦、余弦、正切、余切 1、三角函數(shù)求值例1．（2021·上海市行知中學(xué)高一期末）是的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例2．（2021·上海浦東新區(qū)·華師大二附中高一期末）已知，，則等于________．例3．（2021·上海市行知中學(xué)高一期末）若θ是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且，則sinθ﹣cosθ的值為．例4．已知且為第四象限的角，求的其他三角比的值．例5．已知，求的值．例6．已知，求．例7．已知，求和的函數(shù)值．例8．（2021·上海普陀區(qū)·曹楊二中高一期末）已知，.（1）求的值；（2）求的值.鞏固練習(xí)1.已知，，求、的值．2.已知，求的值．3.已知，求和．4.已知（），求，的值．2、正余弦應(yīng)用例1.已知：是三角形的內(nèi)角，若的值．例2.已知是方程的兩個(gè)根，求和的值．例3.已知sinα+cosα＝eq\f(1,2)，求⑴sinαcosα;⑵sin3α+cos3α;⑶tanα+cotα;⑷tan2α+cot2α例4.如果滿足條件，則所在象限是________．例5.已知，，求、的值．【鞏固訓(xùn)練】1．＝_____________．2．已知3sinα＝－4cosα，求eq\f(sin2α－cos2α,1+cos2α)．3．若，則．4．已知，，求、的值．3、正切應(yīng)用例1.已知，求【鞏固訓(xùn)練】1．已知，求（1）；（2）的值．2．已知求下列各式的值（1），（2），（3）．二、誘導(dǎo)公式例1.求下列各三角比的值： （1）；（2）； （3）； （4）； （5）．例2.已知，求的值．例3.已知為的內(nèi)角，求證：，，．例4.化簡(jiǎn)．例5.已知：．例6.化簡(jiǎn)：．【鞏固訓(xùn)練】1．化簡(jiǎn)： （1）； （2）．2．已知，求，的值．3．化簡(jiǎn)．4．（2021·上海市建平中學(xué)高一期末）已知，則的值為（）．A． B． C． D．5．（2021·上海市行知中學(xué)高一期末）在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位圓上一點(diǎn)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸正半軸為始邊，為終邊的角為，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．6．（2021·上海普陀區(qū)·曹楊二中高一期末）化簡(jiǎn)：___________.7．（2021·上海市建平中學(xué)高一期末）（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．8．（2021·上海市行知中學(xué)高一期末）已知角是第三象限角，.（1）求的值；（2）求的值.9.若，求：的值．10．化簡(jiǎn)（1）；（2）11．的值是____________.12．在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，角和的終邊為OA和OB，OA過(guò)點(diǎn)M，OA與OB關(guān)于直線對(duì)稱，則角的的集合是；．三、化簡(jiǎn)與證明例1.化簡(jiǎn)．例2.化簡(jiǎn)．例3.已知，試確定使等式成立的角的集合．例4.求證：.例5.化簡(jiǎn)：（1）；（2）．例6.已知是第三象限角，化簡(jiǎn)：．例7.化簡(jiǎn)：．例8.化簡(jiǎn)．例9.求證：．例10.例11.求證：（1）；（2）．【鞏固訓(xùn)練】1．已知方程的兩根分別是，求的值．2．已知求：（1）的值（2）的值（3）的值．3．已知，求下列各式的值：(1)(2)(3)4．已知：，，求證：．5．已知，求：和的值.．6．已知，求證：．反思總結(jié)三角函數(shù)求值主要有三種類型，即(1)“給角求值”，一般給出的角都是非特殊角，從表面看較難，但仔細(xì)觀察這類問(wèn)題中的角與特殊角都有著一定的關(guān)系，如和或差為特殊角，當(dāng)然還有可能需要運(yùn)用誘導(dǎo)公式．(2)“給值求值”，即給出某些角的三角比式的值，求另外一些三角比的值，