第2課時(shí)勾股定理的逆定理知識(shí)點(diǎn)勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．符號(hào)語言：在△ABC中，因?yàn)閍2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.【注意】運(yùn)用勾股定理的逆定理時(shí)：(1)不能機(jī)械地認(rèn)為Rt△ABC中，邊長(zhǎng)為c的邊所對(duì)的角必是直角，應(yīng)是最長(zhǎng)邊所對(duì)的角是直角；(2)不要習(xí)慣性地驗(yàn)證a2＋b2是否等于c2，而要看最長(zhǎng)邊的平方是否等于另兩邊的平方和．考點(diǎn)1利用勾股定理判斷三角形的形狀典例1[2025·蚌埠期中]如圖，在△ABC中，AC＝15，BC＝25，點(diǎn)D在邊BC上，且AD⊥BC，AD＝12.(1)求AB的長(zhǎng)；(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由．思路導(dǎo)析(1)在直角△ADC中利用勾股定理得CD＝9，進(jìn)而求得BD＝16，在Rt△ABD中，運(yùn)用勾股定理即可求解；(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷．解：(1)因?yàn)锳D⊥BC，所以△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°.所以DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.所以DC＝9，所以BD＝BC－CD＝25－9＝16，在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2＝122＋162＝202，所以AB＝20；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：因?yàn)锳B＝20，AC＝15，BC＝25，152＋202＝252，所以△ABC是直角三角形，∠BAC是直角．變式1[2025·邯鄲一模]五根小木棒的長(zhǎng)度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個(gè)直角三角形，下列圖形正確的是()變式2[2025·葫蘆島期中]在△ABC中，AC＝6，BC＝a，AB＝b，如果a，b滿足(a＋6)(a－6)＋b2＝0，則△ABC的形狀是____________．直角三角形考點(diǎn)2勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用典例2[2025·長(zhǎng)壽期中]如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地(圖中的四邊形ABCD)，經(jīng)測(cè)量，在四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，AD＝5m，DC＝13m.(1)△ACD是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費(fèi)多少元？思路導(dǎo)析(1)先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC＝12m，在△ACD中，AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°；(2)分別利用三角形的面積公式求出S△ABC＋S△ADC，即四邊形ABCD的面積，再乘以80，即可求總花費(fèi)．解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，所以AC2＋92＝152，AC＝12.在△ACD中，AD＝5m，DC＝13m，AC＝12m，所以AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，所以△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°；變式1[2025·河池期中]3月29日，巴馬2025年“瑤風(fēng)壯韻三月三·傳承巴馬民族風(fēng)”系列活動(dòng)在巴馬城東體育廣場(chǎng)開幕．活動(dòng)前，工人師傅在搭建主會(huì)場(chǎng)時(shí)，想要兩塊直角三角形的鐵皮制作造型．現(xiàn)有一塊薄鐵皮ABCD，∠B＝90°，各邊的尺寸如圖所示．為盡量不浪費(fèi)材料而合理利用，請(qǐng)你幫工人師傅設(shè)計(jì)，如何裁剪得到兩塊都是“直角三角形”的鐵皮？并說明理由．解：為盡量不浪費(fèi)材料而合理利用，可以連接AC，沿著AC剪裁就得到兩個(gè)直角三角形．理由如下：連接AC．在△ABC中，因?yàn)椤螧＝90°，所以△ABC為直角三角形；所以AC2＝AB2＋BC2＝8，又因?yàn)锳D2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9，所以AC2＋AD2＝DC2，所以△ACD也為直角三角形．所以為盡量不浪費(fèi)材料而合理利用，沿著AC剪裁就得到兩個(gè)直角三角形．變式2[2025·青島期中]如圖，某小區(qū)的兩個(gè)噴泉A，B位于小路AC的同側(cè)，兩個(gè)噴泉之間的距離AB為25m，噴泉的供水點(diǎn)M在小路AC上．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)兩條互相垂直的供水管道AM和BM，已鋪管道AM長(zhǎng)為20m，BM長(zhǎng)為15m，供水點(diǎn)M到AB的距離是MN.(1)請(qǐng)判斷供水管道AM與BM是否符合鋪設(shè)要求；(2)求MN的長(zhǎng)及AN的長(zhǎng)．解：(1)符合要求，理由如下：因?yàn)樵凇鰽BM中，AM＝20m，BM＝15m，AB＝25m，