第2課時勾股定理的逆定理知識點勾股定理的逆定理如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．符號語言：在△ABC中，因為a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形，且∠C＝90°.【注意】運用勾股定理的逆定理時：(1)不能機械地認為Rt△ABC中，邊長為c的邊所對的角必是直角，應是最長邊所對的角是直角；(2)不要習慣性地驗證a2＋b2是否等于c2，而要看最長邊的平方是否等于另兩邊的平方和．考點1利用勾股定理判斷三角形的形狀典例1[2025·蚌埠期中]如圖，在△ABC中，AC＝15，BC＝25，點D在邊BC上，且AD⊥BC，AD＝12.(1)求AB的長；(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由．思路導析(1)在直角△ADC中利用勾股定理得CD＝9，進而求得BD＝16，在Rt△ABD中，運用勾股定理即可求解；(2)利用勾股定理的逆定理即可判斷．解：(1)因為AD⊥BC，所以△ADC是直角三角形，∠ADC＝∠ADB＝90°.所以DC2＝AC2－AD2＝152－122＝92.所以DC＝9，所以BD＝BC－CD＝25－9＝16，在Rt△ABD中，AB2＝AD2＋BD2＝122＋162＝202，所以AB＝20；(2)△ABC是直角三角形，理由如下：因為AB＝20，AC＝15，BC＝25，152＋202＝252，所以△ABC是直角三角形，∠BAC是直角．變式1[2025·邯鄲一模]五根小木棒的長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列圖形正確的是()變式2[2025·葫蘆島期中]在△ABC中，AC＝6，BC＝a，AB＝b，如果a，b滿足(a＋6)(a－6)＋b2＝0，則△ABC的形狀是____________．直角三角形考點2勾股定理及其逆定理的實際應用典例2[2025·長壽期中]如圖，某住宅小區(qū)在施工過程中留下了一塊空地(圖中的四邊形ABCD)，經(jīng)測量，在四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，AD＝5m，DC＝13m.(1)△ACD是直角三角形嗎？為什么？(2)小區(qū)為美化環(huán)境，欲在空地上鋪草坪，已知草坪每平方米80元，試問鋪滿這塊空地共需花費多少元？思路導析(1)先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AC＝12m，在△ACD中，AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠DAC＝90°；(2)分別利用三角形的面積公式求出S△ABC＋S△ADC，即四邊形ABCD的面積，再乘以80，即可求總花費．解：(1)△ACD是直角三角形，理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝15m，BC＝9m，所以AC2＋92＝152，AC＝12.在△ACD中，AD＝5m，DC＝13m，AC＝12m，所以AC2＋AD2＝122＋52＝132＝CD2，所以△ACD是直角三角形，∠DAC＝90°；變式1[2025·河池期中]3月29日，巴馬2025年“瑤風壯韻三月三·傳承巴馬民族風”系列活動在巴馬城東體育廣場開幕．活動前，工人師傅在搭建主會場時，想要兩塊直角三角形的鐵皮制作造型．現(xiàn)有一塊薄鐵皮ABCD，∠B＝90°，各邊的尺寸如圖所示．為盡量不浪費材料而合理利用，請你幫工人師傅設計，如何裁剪得到兩塊都是“直角三角形”的鐵皮？并說明理由．解：為盡量不浪費材料而合理利用，可以連接AC，沿著AC剪裁就得到兩個直角三角形．理由如下：連接AC．在△ABC中，因為∠B＝90°，所以△ABC為直角三角形；所以AC2＝AB2＋BC2＝8，又因為AD2＋AC2＝1＋8＝9，而DC2＝9，所以AC2＋AD2＝DC2，所以△ACD也為直角三角形．所以為盡量不浪費材料而合理利用，沿著AC剪裁就得到兩個直角三角形．變式2[2025·青島期中]如圖，某小區(qū)的兩個噴泉A，B位于小路AC的同側，兩個噴泉之間的距離AB為25m，噴泉的供水點M在小路AC上．現(xiàn)要為噴泉鋪設兩條互相垂直的供水管道AM和BM，已鋪管道AM長為20m，BM長為15m，供水點M到AB的距離是MN.(1)請判斷供水管道AM與BM是否符合鋪設要求；(2)求MN的長及AN的長．解：(1)符合要求，理由如下：因為在△ABM中，AM＝20m，BM＝15m，AB＝25m，