第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年江西省九江一中高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知平面向量a=(3,?2)，b=(1,λ?1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)A.52 B.12 C.252.已知復(fù)數(shù)z=2?i1?i，則z?的虛部為A.?12 B.12 C.?3.已知a，b是實(shí)數(shù)，則“3a<3b<1”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.唐山河頭老街景區(qū)近期持續(xù)火爆出圈，甲、乙2人暑假來此地旅游的概率分別為25,23，假定2人的行動(dòng)相互沒有影響，則暑假至少有1A.15 B.45 C.2155.已知(1,2)是角α終邊上一點(diǎn)，則tan2α=(

)A.?43 B.?34 C.6.如圖，A，B是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)圖象上的兩個(gè)最高點(diǎn)，點(diǎn)C是f(x)圖象上的一個(gè)對(duì)稱中心，若△ABC為直角三角形，則φ=(

)A.?π3 B.?π4 C.7.在△ABC中，∠BAC=2π3,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)N，M為BC的中點(diǎn).若AN=4，BC=6MN，則AM=A.32 B.33 C.8.已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(x)=6，f(5?x)?g(x?3)=2，若g(x)為奇函數(shù)，則使i=1nf(i)<0成立的n的最小值是A.5 B.6 C.7 D.8二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知復(fù)數(shù)z1=(1?i)(2?i)，z2=iA.z1=1?3i B.z1=z2? 10.下列關(guān)于函數(shù)f(x)=2cos2(x?πA.f(x)的最小正周期為π

B.f(x)的一條對(duì)稱軸為x=π3

C.f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[?π3+kπ,π6+kπ],k∈Z11.如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，E，F(xiàn)分別是AD，DDA.若FP//平面ABC1D1，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為35

B.若FP=57，則P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為233π

C.過B，三、填空題：本題共3小題，共15分。12.某校高一年級(jí)的學(xué)生共有800人，按性別進(jìn)行分層，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該年段的學(xué)生中按比例分配抽取100人進(jìn)行肺活量測(cè)試，這100人中有60人是女生，則該校高一年級(jí)女生共有______人.13.若向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，|a14.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為3和4，母線與高的夾角為π4，則此圓臺(tái)的高為______，圓臺(tái)的外接球的體積為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

記△ABC的面積為S，內(nèi)角A，B，C′的對(duì)邊分別為a，b，c，且頂點(diǎn)A，B，C均在半徑為1的圓上．

(1)求sin(A+B)c的值；

(2)若c=16.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，∠A1CA=45°．

(1)求直三棱柱ABC?A1B1C1的體積；17.(本小題15分)

已知向量a=(sinx,?cosx)，b=(3cosx,cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)=a?b+12．

(1)寫出函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心；

(2)若x∈[π418.(本小題17分)

已知甲、乙兩個(gè)袋子中各裝有形狀、大小、質(zhì)地完全相同的3個(gè)紅球和3個(gè)黑球，現(xiàn)設(shè)計(jì)如下試驗(yàn)：從甲、乙兩個(gè)袋子中各隨機(jī)取出1個(gè)球，觀察兩球的顏色，若兩球顏色不同，則將兩球交換后放回袋子中，并繼續(xù)上述摸球過程；若兩球顏色相同，則停止取球，試驗(yàn)結(jié)束．

(1)求第1次摸球取出的兩球顏色不同的概率；

(2)我們知道，當(dāng)事件A與B相互獨(dú)立時(shí)，有P(AB)=P(A)P(B).那么，當(dāng)事件A與B不獨(dú)立時(shí)，如何表示積事件AB的概率呢？某數(shù)學(xué)小組通過研究性學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)如下命題：P(AB)=P(A)P(B|A)，其中P(B|A)表示事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率，且對(duì)于古典概型中的事件A，B，有P(B|A)=n(AB)n(A).依據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，求“第19.(本小題17分)

設(shè)函數(shù)f(x)=cosπ3x,g(x)=lnx,?(x)=e2x?25ex?1．

(1)求函數(shù)y=f(x)在(0,10)上的單調(diào)區(qū)間；

(2)求證：函數(shù)φ(x)=f(x)?g(x)在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)x0，并求參考答案1.A

2.A

3.A

4.B

5.A

6.B

7.B

8.B

9.ACD

10.ACD

11.CD

12.480

13.1214.1

500π315(1)設(shè)△ABC的外接圓的半徑為R，由正弦定理csinC=2R=2，

所以sin(A+B)c=sinCc=12；

(2)由(1)知sinC=32,cosC=±12，

由S=34可得12absinC=34，

故ab=3；

若cosC=?12，則由余弦定理可得3=c2=a2+b2+ab≥3ab，故ab≤1，矛盾；

故cosC=12，則由余弦定理可得3=c2=a2+b2?ab≥ab，故ab≤3，符合；

由正弦定理得4R2sinAsinB=3，即sinAsinB=34，

而cosC=12，故cos(A+B)=?12，

即cosAcosB?sinAsinB=?12，

故cosAcosB=34?12．

16.解：(1)因?yàn)樵谥比庵鵄BC?A1B1C1中，AB=8，AC=6，∠BAC=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，∠A1CA=45°．

所以BC=10，S△ABC=12AB?AC=24，

所以直三棱柱ABC?A1B1C1的體積V=S△ABC?AA1=144．

(2)證明：連接A1B∩AB1=E，連接DE，由矩形ABB1A1，得E是A1B的中點(diǎn)，而D是BC邊的中點(diǎn)，

則DE//A1C，又A1C?平面AB1D，DE?平面AB1D，

所以A1C//平面AB1D.

(3)當(dāng)小蟲從點(diǎn)A1沿△A1B1C1爬到點(diǎn)D，把矩形ABB1A1與△A1B1C1置于同一平面內(nèi)，如圖，

連接A1D，過A1作A1F⊥BC于F，交17.解：(1)由題意可得，向量a=(sinx,?cosx)，b=(3cosx,cosx)，

f(x)=a?b+12=3sinxcosx?cos2x+12=32sin2x?1+cos2x2+12

=32sin2x?12cos2x=sin(2x?π6)，

令2x?π6=kπ,k∈Z，解得x=kπ2+π12,k∈Z，

所以函數(shù)f(x)的對(duì)稱中心為(kπ2+π12,0),k∈Z；

(2)由x∈[π4,π2]時(shí)，2x?π6∈[π3,56π]，

由正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，

則當(dāng)2x?π6=π2時(shí)，即x=π3時(shí)，f(x)取得最大值1，

當(dāng)2x?π6=5π6時(shí)，即x=π2時(shí)，f(x)取得最小值12；

(3)由題意可得f(x+m)=sin[2(x+m)?π6]=sin(2x+2m?π6)為奇函數(shù)，

則2m?π6=kπ,k∈Z，解得m=kπ2+π12，

又m∈[0,π]，當(dāng)k=0時(shí)，m=π12，

當(dāng)k=1時(shí)，m=712π．

18.解：設(shè)甲袋中的三個(gè)紅球?yàn)?，2，3，三個(gè)黑球?yàn)閍，b，c；

乙袋中的三個(gè)紅球?yàn)?，5，6，三個(gè)黑球?yàn)閐，e，f．

(1)設(shè)第1次摸球?qū)?yīng)的樣本空間為Ω1，則n(Ω1)=6×6=36．

設(shè)事件A=第1次摸球取出的兩球顏色不同，

則事件A={(1,d)，(1,e)，(1,f)，(2,d)，(2,e)，(2,f)，(3,d)，(3,e)，(3,f)，(a,4)，(a,5)，(a,6)，(b,4)，(b,5)，(b,6)，(c,4)，(c,5)19.解：(1)令?π+2kπ≤π3x≤2kπ,k∈Z，解得?3+6k≤x≤6k，k∈Z，

令2kπ≤π3x≤π+2kπ,k∈Z，解得6k≤x≤3+6k，k∈Z，

∴函數(shù)y=f(x)在(0,10)上的單調(diào)增區(qū)間是[3,6]和[9,10)，單調(diào)減區(qū)間是(0,3]和[6,9]；

證明：(2)由(1)