第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省株洲二中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(?1,3)，則z的共軛復(fù)數(shù)zA.1+3i B.1?3i2.在△ABC中，已知BC=6，A=π3，B=π4，則A.23 B.32 C.3.已知空間中非零向量a，b，且|a|=1，|b|=2，<a，b>=60°A.1 B.2 C.2 D.4.已知一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐的底面半徑和高分別相等，圓柱的軸截面是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的側(cè)面積和圓錐的側(cè)面積的比值是(

)A.54 B.455 5.若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=2x?4，則不等式f(x)≥0的解集為A.[?2,2] B.[?2,0]∪[2,+∞)

C.[?2,0)∪[2，+∞) D.(?∞,?2]∪[2,+∞)6.若點(diǎn)A在點(diǎn)O的正北方向，點(diǎn)B在點(diǎn)O的南偏西60°方向，且|OA|=|OB|=2km，則向量OA+OB表示(

)A.從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西60°方向移動(dòng)23kmB.從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西75°方向移動(dòng)23km

C.從點(diǎn)O出發(fā)，朝北偏西60°方向移動(dòng)2kmD.7.已知△ABC中，點(diǎn)P滿足PA+PB=CP，點(diǎn)Q在△PBC內(nèi)(含邊界)，其中AQA.若x=13，y=23，則CQBQ=12B.若P，Q兩點(diǎn)重合，則AQ=13AB+13AC

C.8.如圖，在△ABC中，已知∠ACB=120°，將△ABC以AC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為V1，以BC為軸旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積為V2，若V1=2V2A.12 B.1C.14 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法不正確的是(

)A.隨機(jī)試驗(yàn)的頻率與概率相等

B.如果一事件發(fā)生的概率為99.9999%，說明此事件必然發(fā)生

C.只有不確定事件有概率

D.若事件A發(fā)生的概率為P(A)，則0≤P(A)≤110.下列說法正確的是(

)A.z?z?=|z|2，z∈C

B.若a+bi=1+i(a,b∈C)，則a=b=1

C.若|z|=1，z∈C，則|z?2|的最小值為1

D.若?4+3i是關(guān)于11.已知四棱錐P?ABCD如圖，AB//CD且AB=2CD，M，N分別是AP，AB的中點(diǎn)，則下列說法正確的有(

)A.PC//平面DMN

B.四棱錐P?ABCD的體積為V1，三棱錐D?AMN的體積為V2，則V1V2=92

C.平面PCD與平面PAB的交線記為l1，則直線l1//平面ABCD

D.平面PDA與平面PBC的交線記為l2，則直線12.若i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=2+i1+i的虛部為______．13.如圖所示，一個(gè)平面圖形在斜二測(cè)畫法下的直觀圖為直角梯形O′A′B′C′(上底為2，下底為4，高為2)，則原平面圖形的面積為______．14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若asinA+bsinB?csinCasinB=2sinC，則∠C的大小為______．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(4,0)，B(1,m)，C(0,3)．

(1)若A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)m的值；

(2)若點(diǎn)M滿足OM=xOA+(2?x)OC16.(本小題15分)

在①ca+b=1?ab+c，②3asinC=2csinAsinB，③(2a?c)cosB=bcosC這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中并作答．

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足_____．

(1)求角B的大??；

(2)若17.(本小題15分)

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2，在三角形內(nèi)挖去一個(gè)半圓(圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點(diǎn)C，M，與BC交于點(diǎn)N)，將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體．

(1)求該旋轉(zhuǎn)體中間一個(gè)空心球的表面積的大?。?/p>

(2)求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．18.(本小題17分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)AB=2，M為DD1的中點(diǎn)．

(1)求證：BD1//平面AMC；

(2)設(shè)E為BD1上的動(dòng)點(diǎn)，問在棱CC1上是否存在一點(diǎn)N，使得EN//平面19.(本小題17分)

我們知道，正弦定理和余弦定理可以準(zhǔn)確地刻畫三角形中的邊角關(guān)系.由于四邊形可以分割為三角形，從而正余弦定理也可以解決有關(guān)四邊形的問題.圓內(nèi)接四邊形作為一類特殊的四邊形，有著非常好的性質(zhì)，比如對(duì)角互補(bǔ).如圖，△AOB中，OA=2，OB=4，點(diǎn)C是△AOB外接圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)O，C在直線AB兩側(cè))，記∠AOB=θ．

(1)若OC=3OA+OB，求θ的值；

(2)若OA?OB=?2，求|OC|的最大值；

(3)

參考答案1.D

2.C

3.C

4.B

5.B

6.C

7.C

8.A

9.ABC

10.ACD

11.ACD

12.?113.1214.π415.解：(1)因?yàn)锳(4,0)，B(1,m)，C(0,3)，

所以AB=(1,m)?(4,0)=(?3,m)，AC=(0,3)?(4,0)=(?4,3)，

又A，B，C三點(diǎn)共線，所以AB//AC，

所以?3×3=?4m，解得m=94；

(2)因?yàn)锳(4,0)，C(0,3)，

所以O(shè)A=(4,0)，OC=(0,3)，

所以O(shè)M=xOA+(2?x)OC16.(1)若選①，由ca+b=1?ab+c，所以ca+b=b+c?ab+c，

所以b2=a2+c2?ac，由余弦定理b2=a2+c2?2accosB，所以cosB=12，因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π3；

若選②3asinC=2csinAsinB，則3ac=2casinB，所以sinB=32，因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=π3或2π3；

若選③(2a?c)cosB=bcosC，由正弦定理可得(2sinA?sinC)cosB=sinBcosC，

所以2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB，所以2sinAcosB=sin17.解：(1)連接OM，則OM⊥AB，

設(shè)OM=r，OB=2?r，

在△BMO中，sin∠ABC=r2?r=12?r=23，

∴S=4πr2=169π；

18.解：(1)證明：如圖，連接BD，設(shè)BD∩AC=F，

連接MF，則F為BD中點(diǎn)，又M為DD1的中點(diǎn)，

所以BD1//MF，又BD1?平面AMC，MF?平面AMC，

所以BD1//平面AMC；

(2)如圖，當(dāng)E為BD1的中點(diǎn)時(shí)，可使得EN//平面AMC，理由如下：

當(dāng)E為BD1的中點(diǎn)時(shí)，又F為BD中點(diǎn)，所以EF//D1D，且EF=D1D，

又NC//D1D，且NC=D1D，

所以EF//NC，且EF=NC，

所以四邊形EFCN為平行四邊形，

所以EN//FC，又EN?平面AMC，F(xiàn)C?19.(1)因?yàn)镺C=3OA+OB，所以O(shè)C?OB=3OA，即BC=3OA，所以BC/?/OA，

因?yàn)镺A=3，所以BC=3OA=6，因?yàn)锽C/?/OA，所以∠OAC+∠BCA=π，

因?yàn)椤螦OB+∠BCA=π，所以∠OAC=∠AOB=θ，

所以四邊形OABC為等腰梯形，其BC邊上的高為42?(6?22)2=23，

則sinθ=sin(π?θ)=sin∠AOB=234=32，

因?yàn)?<θ<π，結(jié)合圖形可知，θ=2π3．

(2)因?yàn)镺A?OB=?2，所以|OA|?|OB|?cos∠AOB=2×4×cosθ=?2，所以cosθ=?14，

在△OAB中，由余弦定理可得，AB2=OA2+OB2?2OA?OB?cosθ=22+42?2×2×4×(?14)=24，所以AB=26，

因?yàn)?/p>