第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年福建省漳州市文龍一中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=15A.12 B.511 C.342.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是(

)A.(ax?1)′=ax B.(13.已知向量a=(λ+1,1,λ)，b=(2,μ?1,1)，若a//b，則A.4 B.3 C.2 D.14.若函數(shù)f(x)=x2?alnx+1在[1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最大值為A.?1 B.0 C.1 D.25.如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，G是BC1與B1C的交點(diǎn)，若A.12a+12b?12c6.若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,12)，且P(X=3)=P(X=4)>0，則CA.39 B.50 C.63 D.687.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，P，M分別為線(xiàn)段BC，A1B1的中點(diǎn)，Q，NA.10

B.6

C.58.已知函數(shù)f(x)=aex?x2(a∈R)A.(0,4e2) B.(0,2e二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是(

)A.?2是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，?1是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)

B.0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)

C.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+∞)

D.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(?2,?1)10.下列說(shuō)法中，正確的有(

)A.若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=2，則E(4X?2)=6

B.若隨機(jī)變量Y的方差DY=3，則D(3Y+6)=27

C.將一收正方體骰子拋擲5次，記1點(diǎn)向上的次數(shù)為X，則X服從兩點(diǎn)分布

D.從7男3女共10名學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生，記選出女生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為CD的中點(diǎn)，O是BD1的中點(diǎn)，PA.點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為263

B.三棱錐D?A1D1P體積是定值，定值為1

C.存在點(diǎn)P，使得三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a，b的夾角的余弦值為14，|a|=2，|b|=4，則13.已知P(A)=13,P(B|A)=12,P(14.函數(shù)f(x)=|2x?1|?2lnx的最小值為

．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2+x(a∈R)，且f′(1)=4．

(1)求f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)f(x)16.(本小題15分)

從甲地到乙地要經(jīng)過(guò)3個(gè)十字路口，設(shè)各路口信號(hào)燈工作相互獨(dú)立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12，13，14．

(1)設(shè)x表示一輛車(chē)從甲地到乙地遇到紅燈的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和均值．

(2)若有2輛車(chē)獨(dú)立地從甲地到乙地，求這217.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，∠ABC=120°，PA=PC，PB=PD，AC∩BD=O．

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

(2)若PA與平面ABCD所成的角為30°，求平面BPC與平面PCD夾角的余弦值．18.(本小題17分)

某校團(tuán)委開(kāi)展知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).現(xiàn)有兩組題目放在A，B兩個(gè)箱子中，A箱中有6道選擇題和3道論述題，B箱中有3道選擇題和2道論述題.參賽選手先在任一箱子中隨機(jī)選取一題，作答完后再在此箱子中選取第二題作答，答題結(jié)束后將這兩個(gè)題目放回原箱子．

(1)若同學(xué)甲從B箱中抽取了2題，求第2題抽到論述題的概率；

(2)若同學(xué)乙從A箱中抽取了2題，答題結(jié)束后誤將題目放回了B箱，接著同學(xué)丙從B箱中抽取題目作答，求丙取出的第一道題是選擇題的概率．19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=x?lnx?a．

(1)若f(x)≥0，求a的取值范圍；

(2)證明：若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，則x1答案解析1.【答案】C

【解析】解：∵P(A)=25，P(B)=411，P(B|A)=1522，

∴P(AB)=P(A)P(B|A)=25×1522=32.【答案】D

【解析】解：∵(ax?1)′=axlna，∴A錯(cuò)誤，

∵(1x2)′=?2xx4=?2x3，∴B錯(cuò)誤，

∵(lnx+3)′=13.【答案】B

【解析】解：因?yàn)閍//b，所以存在實(shí)數(shù)k，使得a//b，即(λ+1,1,λ)=k(2,μ?1,1)，

所以λ+1=2k1=k(μ?1)λ=k，解得k=λ=1，μ=2，

所以λ+μ=3．

故選：B．

利用空間向量平行的性質(zhì)得到關(guān)于4.【答案】D

【解析】解：f(x)=x2?alnx+1，求導(dǎo)得f′(x)=2x?ax，

由f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，得?x≥1，f′(x)≥0?a≤2x2，

又當(dāng)x∈[1,+∞)，2x2≥2，則a≤2，

又a=2時(shí)，f′(x)=2(x?1x)≥0,f(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增，

所以實(shí)數(shù)a的最大值為25.【答案】A

【解析】解：因?yàn)锳BC?A1B1C1為三棱柱，AB=a，AC=b，AA1=c，6.【答案】C

【解析】解：∵隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B(n,12)，且P(X=3)=P(X=4)>0，

∴Cn3×(12)n=Cn4×(12)n7.【答案】D

【解析】解：以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸，建系如圖，

因?yàn)镻，M分別為BC，A1B1的中點(diǎn)，所以P(1,2,0)，M(2,1,1)，

因?yàn)镼，N分別為線(xiàn)段D1C1，AD上的動(dòng)點(diǎn)，

所以可設(shè)Q(0,a,1)，N(b,0,0)(0≤a,b≤2)，

所以PQ=(?1,a?2,1)，MN=(b?2,?1,?1)．

由PQ⊥MN，得PQ?MN=0，即?(b?2)?(a?2)?1=0，即a+b=3，

由QN=(b,?a,?1)，

得|QN|=b2+a28.【答案】A

【解析】解：令f(x)=aex?x2=0，可得a=x2ex，

若g(x)=x2ex，則g′(x)=x(2?x)ex，

∴當(dāng)0<x<2時(shí)，g′(x)>0，g(x)遞增；

當(dāng)x<0或x>2時(shí)，g′(x)<0，g(x)遞減；

∴g(x)有極小值g(0)=0，極大值g(2)=4e2，

又x→?∞，g(x)→+∞；x→+∞，g(x)→0；可得g(x)圖象如下：

∴要使題設(shè)函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，則g(x)與y=a有三個(gè)不同交點(diǎn)，

∴0<a<4e2，

9.【答案】BC

【解析】解：由導(dǎo)函數(shù)圖象可得，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)?0，當(dāng)x>0時(shí)，f′(x)>0，

所以函數(shù)f(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，所以B，C正確，A，D錯(cuò)誤．

故選：BC．

由導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得極值點(diǎn)，逐項(xiàng)判斷即可得解．

本題主要考查里用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．10.【答案】ABD

【解析】解：對(duì)于A，隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=2，則E(4X?2)=4EX?2=4×2?2=6，故A正確；

對(duì)于B，若隨機(jī)變量Y的方差DY=3，則D(3Y+6)=32DX=9DX=9×3=27，故B正確；

對(duì)于C，一收正方體骰子拋擲5次，記1點(diǎn)向上的次數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，從7男3女共10名學(xué)生中隨機(jī)選取5名學(xué)生，記選出女生的人數(shù)為X，則X服從超幾何分布，故D正確．

故選：ABD．

根據(jù)期望的性質(zhì)可判斷A，根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)二項(xiàng)分布的定義可判斷C，根據(jù)超幾何分布的定義可判斷D11.【答案】ACD

【解析】解：因?yàn)樵诶忾L(zhǎng)為2的正方體中ABCD?A1B1C1D1，E為CD的中點(diǎn)，O是BD1的中點(diǎn)，P是側(cè)面BB1C1C內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)(不包含四個(gè)頂點(diǎn))，

所以建系如圖：

則D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(0,1,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，B1(2,2,2)，

所以AE=(?2,1,0),EC1=(0,1,2),D1C1=(0,2,0)，

設(shè)平面AEC1的法向量n=(x,y,z)，

則n?AE=?2x+y=0n?EC1=y+2z=0，取n=(1,2,?1)，

所以點(diǎn)D1到平面AEC1的距離為d=|D1C1?n||n|=46=263，所以A選項(xiàng)正確；

因?yàn)槿切蜠A1D1的面積為12×2×2=2，又P到平面DA1D1的距離為2，

所以三棱錐D?A1D1P的體積為13×2×2=43，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

設(shè)P(m,2,n)，0≤m≤2，0≤n≤2，

則DP=(m,2,n)，A(2,0,0)，

所以12.【答案】?2

【解析】解：向量a，b的夾角的余弦值為14，|a|=2，|b|=4，

則a?b=|a||b|cos13.【答案】518【解析】解：P(A)=13，

則P(A?)=1?13=23，

P(B|A?14.【答案】1

【解析】【分析】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．

求出函數(shù)定義域，對(duì)x分段去絕對(duì)值，當(dāng)0<x≤12時(shí)，直接利用單調(diào)性求最值；當(dāng)x>1【解答】

解：函數(shù)f(x)=|2x?1|?2lnx的定義域?yàn)?0,+∞)，

當(dāng)0<x≤12時(shí)，f(x)=|2x?1|?2lnx=?2x+1?2lnx，

此時(shí)函數(shù)f(x)在(0,12]上為減函數(shù)，

所以f(x)≥f(12)=?2×12+1?2ln12=2ln2；

當(dāng)x>12時(shí)，f(x)=|2x?1|?2lnx=2x?1?2lnx，

則f′(x)=2?2x=2(x?1)x，

當(dāng)x∈(12,1)時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，f′(x)>0，f(x)15.【答案】解：(1)由f(x)=lnx+ax2+x，得f′(x)=1x+2ax+1，

又f′(1)=4，所以1+2a+1=4，解得a=1，即f(x)=lnx+x2+x．

(2)由(1)，得f(x)=lnx+x2+x，f′(x)=1x+2x+1，

所以f(2)=ln2+6，即切點(diǎn)為(2,ln2+6)，

又切線(xiàn)的斜率為【解析】(1)將f′(1)=4代入f′(x)的表達(dá)式即可解出a，從而得到f(x)的解析式；

(2)由導(dǎo)數(shù)的定義可知所求直線(xiàn)為經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,f(2))且斜率為f′(2)的直線(xiàn)，然后將點(diǎn)斜式方程化為一般式即可．

本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)方程，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.【答案】解：(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3；

則P(X=0)=(1?12)×(1?13)(1?14)=14，

P(X=1)=1X0123P11111隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312；

(2)設(shè)Y表示第一輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，Z表示第二輛車(chē)遇到紅燈的個(gè)數(shù)，

則所求事件的概率為

P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)

=P(Y=0)?P(Z=1)+P(Y=1)【解析】(1)隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3，求出對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出它的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；

(2)利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式計(jì)算所求事件的概率值．

本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．17.【答案】見(jiàn)證明過(guò)程；

17．【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴O為AC，BD的中點(diǎn)，

又PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD，

∵AC∩BD=O，且AC，BD?平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)解：設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2t(t>0)，

∵∠ABC=120°，∴∠BAD=60°，則OA=3t，

由(1)知PO⊥平面ABCD，∴PA與平面ABCD所成角為∠PAO=30°，得到PO=t，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB，OP所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則B(0,t,0)，C(?3t,0,0)，P(0,0,t)，D(0,?t,0)，

得到BP=(0,?t,t)，CP=(3t,0,t)，CD=(3t,?t,0)，

設(shè)平面PBC與平面PCD的一個(gè)法向量分別為m=(x1,y1,z1)，n=(x2,y2,z2)，

由m?BP=?ty1+tz1=0m?CP=3tx1+tz1=0，取x1=1，得m=(1,?3,?3)，

由n?CP=3tx2+tz18.【答案】25；

1321【解析】(1)設(shè)事件Ai表示“甲第i次從B箱中取到論述題”，i=1，2，

則P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(A1?)P(A2|A1?)=25×14+35×24=25；

(2)設(shè)事件A為“丙從B箱中取出的第一道題是選擇題”，事件B1為“乙從A箱中取出2道選擇題”，

事件B2為“乙從19.【答案】(?∞,1]；

不妨設(shè)x1<x2，則由

知0<x1<1<x2，0<1x2<1，

構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)?f(1x)=x?1x?2lnx，

則g′(x)=1+1x2?2x=(x?1)2x2≥0，

所以函數(shù)g(x)【解析】(1)由題意知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，