第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年福建省泉州市科技中學高一（下）期中數(shù)學試卷一、單選題1.已知i為虛數(shù)單位，則(2+3i)(4?i)=(

)A.10i B.11+10i C.11i D.10+11i2.已知向量a=(1,?2)，b=(cosα,sinα)，且a⊥b，則A.2 B.12 C.?123.用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖O′A′B′C′，如圖所示.已知OA′=2C′B′=4，O′C′=A′B′，則梯形OABC繞y軸旋轉一周形成的空間幾何體的側面積為(

)A.123π B.12π C.64.已知sin(π+α)=255，則A.45 B.?45 C.35.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若ab=cosAcosB，C=π3A.等腰三角形 B.等邊三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形6.已知函數(shù)f(x)=32sinωx+12cosωx(ω>0)在區(qū)間A.(23,56] B.(7.已知球O是正三棱柱ABC?A1B1C1的內切球，AB=23，PA.[?4,4] B.[?22,22]8.第七屆數(shù)字中國建設峰會在福建舉行，其中主題為“顯示+創(chuàng)意”的裸眼3D展臺引人關注.峰會上顯示屏的示意圖如圖所示，底面為等腰梯形ABCD，側面ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1均為矩形且垂直于底面，已知AB=CD=2，BC=1，AAA.1

B.2

C.3

二、多選題9.已知z為復數(shù)，則下列說法中正確的有(

)A.z+z?為實數(shù)

B.若復數(shù)z滿足z?z?=0，則z=0

C.|z|2=10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的圖象如下圖所示，下列正確的是(

)A.f(x)的解析式為f(x)=2sin(2x+π3)

B.函數(shù)y=f(x)的圖象關于點(π12,0)中心對稱

C.將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移π611.一圓錐的側面展開圖如圖所示，∠BAC=2π3，弧BC長為2π，M為線段AB的中點，N為弧BC中點，則(

)A.該圓錐的體積為22π3

B.在扇形ABC中，AN?MC=?9三、填空題12.已知向量a=(2,1)，b=(1,1)，則a與a+13.已知正四棱柱的底面邊長為2，高為6，則該正四棱柱的外接球的表面積為______．14.△ABC中，若AB=1，BC=2，則∠C的取值范圍是______．四、解答題15.(本小題12分)

如圖，在△ABC中，∠A=30°，D是邊AB上的點，CD=5，CB=7，DB=3

(1)求△CBD的面積；

(2)求邊AC的長．16.(本小題12分)

如圖，AB是圓柱下底面的直徑且長度為2，PA是圓柱的母線且PA=2，點C是圓柱底面圓周上的點．

(1)求圓柱的側面積和體積；

(2)若AC=1，點D在線段PB上，點E在線段PA上，求CE+ED的最小值，并求此時AE的長．17.(本小題12分)

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3bsinB+C2=asinB，邊BC上有一動點D．

(1)當D為邊BC中點時，若AD=3,b=2，求c的長度；

(2)當AD為18.(本小題12分)

如圖，圓C的半徑為3，其中A，B為圓C上兩點．

(1)若cos∠CAB=13，當k為何值時，AC+2AB與kAC?AB垂直？

(2)若G為△ABC的重心，直線l過點G交邊AB于點P，交邊AC于點Q，且AP=λAB,AQ=μAC

參考答案1.B

2.B

3.A

4.D

5.B

6.B

7.B

8.C

9.ABD

10.AD

11.ACD

12.813.44π

14.0<C≤30°

15.解：(1)在△CBD中，由余弦定理可得cosB=，

則，

所以sinB=1?cos2B=5314，

則三角形CBD的面積為：；

(2)在△ABC中，由正弦定理得，

16.解：(1)由AB是圓柱下底面的直徑且長度為2，

可得圓柱底面圓的半徑r=AB2=1，

因為PA是圓柱的母線且PA=2，

所以圓柱的高?=PA=2，

所以圓柱的側面積S側=2πr?=2π×1×2=4π，

圓柱的體積V=πr2?=π×12×2=2π；

(2)如圖，延長線段BA至C′，使得AC′=AC=1，

作C′D⊥PB，垂足為D，交PA與E，

由圓柱可得PA⊥AB，

則△EAC′?△EAC，

所以C′E=CE，

所以CE+ED=C′E+ED，

此時，C′E+ED=C′D取得最小值，

因為AB=2，PA=2，所以∠C′BD=45°，

所以在Rt△BDC′中，BC′=BA+AC′=2+1=3，

所以C′D=BC′sin45°=3×22=322，

所以CE+ED的最小值為317.解：(1)因為3bsinB+C2=asinB，

所以3bsinπ?A2=asinB，即3bcosA2=asinB．

由正弦定理，得3sinB?cosA2=sinA?sinB．

因為sinB≠0，

所以3cosA2=sinA=2sinA2cosA2．

因為cosA2≠0，

所以sinA2=32．

又因為0<A2<π2，

所以A2=π3，

所以A=2π3．

因為D為邊BC中點，

所以2AD=AB+AC，則4|AD|2=(AB+AC)2．

又AD=3,b=2,A=2π3，

所以12=c2+4+4c?cos2π3，

即c2?2c?8=0，即(c?4)(c+2)=0，

所以c=4．

18.解：(1)在△ABC中，AC=BC=3，cos∠CAB=13，

由余弦定理得BC2=AC2+AB2?2AC?ABcos∠CAB，

化簡得AB2?2AB=0，解得AB=2，可得AB?AC=|AB|?|AC|cos∠CAB=2×3×13=2．

若AC+2AB與kAC?AB垂直，則(AC+2AB)?(kAC?AB)=0，

即kAC2+(2k?