自動(dòng)控制原理試題及答案解析一、選擇題（每題3分，共15分）1.下列關(guān)于開環(huán)控制系統(tǒng)與閉環(huán)控制系統(tǒng)的描述中，錯(cuò)誤的是（）。A.開環(huán)系統(tǒng)無反饋環(huán)節(jié)，閉環(huán)系統(tǒng)有反饋環(huán)節(jié)B.開環(huán)系統(tǒng)的精度主要取決于元部件精度，閉環(huán)系統(tǒng)可通過反饋減小誤差C.閉環(huán)系統(tǒng)一定比開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定D.閉環(huán)系統(tǒng)可能因反饋引入振蕩2.某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{5}{s(s+2)}\)，其單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值為（）。A.0.5B.1C.2.5D.53.二階系統(tǒng)的阻尼比\(\zeta=0.6\)，無阻尼自然頻率\(\omega_n=5\,\text{rad/s}\)，則其超調(diào)量\(\sigma\%\)約為（）。A.9.5%B.16.3%C.25.4%D.30.6%4.已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+2)}\)，用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)\(K\)的取值范圍為（）。A.\(0<K<6\)B.\(K>6\)C.\(0<K<3\)D.\(K>3\)5.伯德圖中，某最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性在\(\omega=10\,\text{rad/s}\)處斜率由\(-20\,\text{dB/dec}\)變?yōu)閈(-40\,\text{dB/dec}\)，則該頻率點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)（）。A.積分環(huán)節(jié)B.慣性環(huán)節(jié)C.微分環(huán)節(jié)D.二階振蕩環(huán)節(jié)二、填空題（每空2分，共20分）1.線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：在______條件下，系統(tǒng)輸出量與輸入量的______之比。2.二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)中，當(dāng)\(\zeta=0\)時(shí)，響應(yīng)呈______；當(dāng)\(0<\zeta<1\)時(shí)，響應(yīng)為______過程。3.勞斯判據(jù)中，若勞斯表某一行元素全為零，說明系統(tǒng)存在______或______的特征根。4.根軌跡的起點(diǎn)是開環(huán)______，終點(diǎn)是開環(huán)______（或無窮遠(yuǎn)）。5.頻域分析中，相位裕度\(\gamma\)定義為\(180^\circ+\varphi(\omega_c)\)，其中\(zhòng)(\omega_c\)是______頻率；幅值裕度\(h\)定義為\(1/|G(j\omega_g)H(j\omega_g)|\)，其中\(zhòng)(\omega_g\)是______頻率。三、簡(jiǎn)答題（每題6分，共30分）1.簡(jiǎn)述時(shí)域分析中“性能指標(biāo)”的主要內(nèi)容及其物理意義。2.比較奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)與勞斯判據(jù)的異同點(diǎn)。3.說明超前校正與滯后校正對(duì)系統(tǒng)性能的主要影響。4.分析PID控制器中比例（P）、積分（I）、微分（D）環(huán)節(jié)各自的作用。5.為什么最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性存在唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系？四、分析計(jì)算題（共35分）1.（10分）已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{4}{s(s+2)}\)。（1）求閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)\)；（2）判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性；（3）計(jì)算單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量\(\sigma\%\)、調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)（取\(\Delta=5\%\)）。2.（12分）某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)H(s)=\frac{K}{s(s+1)(s+5)}\)。（1）繪制根軌跡的大致形狀（標(biāo)注漸近線、分離點(diǎn)、與虛軸交點(diǎn)等關(guān)鍵特征）；（2）確定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時(shí)的\(K\)值。3.（13分）已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為\(G(s)=\frac{25}{s(s+5)}\)。（1）繪制系統(tǒng)的伯德圖（對(duì)數(shù)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性）；（2）計(jì)算相位裕度\(\gamma\)和幅值裕度\(h\)（以dB表示）；（3）若要求系統(tǒng)相位裕度\(\gamma'\geq45^\circ\)，設(shè)計(jì)一個(gè)超前校正裝置\(G_c(s)=\frac{1+\alphaTs}{1+Ts}\)（取\(\alpha=5\)），并驗(yàn)證校正后的相位裕度是否滿足要求。答案及解析一、選擇題1.答案：C解析：閉環(huán)系統(tǒng)通過反饋提高精度，但反饋可能引入振蕩，穩(wěn)定性未必優(yōu)于開環(huán)系統(tǒng)（如開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)可能因閉環(huán)增益過大而不穩(wěn)定）。2.答案：C解析：?jiǎn)挝浑A躍輸入\(R(s)=1/s\)，輸出\(C(s)=G(s)R(s)=\frac{5}{s^2(s+2)}\)，穩(wěn)態(tài)值\(c(\infty)=\lim_{s\to0}sC(s)=\frac{5}{2}=2.5\)。3.答案：B解析：超調(diào)量公式\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\)，代入\(\zeta=0.6\)，計(jì)算得\(\sigma\%\approx16.3\%\)。4.答案：A解析：開環(huán)特征方程\(s^3+3s^2+2s+K=0\)，勞斯表：第一行\(zhòng)(1\)，\(2\)；第二行\(zhòng)(3\)，\(K\)；第三行\(zhòng)((6-K)/3\)，\(0\)；第四行\(zhòng)(K\)。穩(wěn)定條件：第一列全正，即\(6-K>0\)且\(K>0\)，故\(0<K<6\)。5.答案：B解析：慣性環(huán)節(jié)\(\frac{1}{1+Ts}\)的對(duì)數(shù)幅頻特性在\(\omega=1/T\)處斜率由\(0\)變?yōu)閈(-20\,\text{dB/dec}\)；若原斜率為\(-20\)，變?yōu)閈(-40\)，說明疊加了一個(gè)慣性環(huán)節(jié)（斜率再減20）。二、填空題1.零初始；拉普拉斯變換2.等幅振蕩；衰減振蕩3.共軛純虛根；對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)根4.極點(diǎn)；零點(diǎn)5.截止（或穿越）；相位交界三、簡(jiǎn)答題1.時(shí)域性能指標(biāo)主要包括：-上升時(shí)間\(t_r\)：響應(yīng)從10%上升到90%（或0到100%）所需時(shí)間，反映系統(tǒng)響應(yīng)速度；-峰值時(shí)間\(t_p\)：響應(yīng)達(dá)到第一個(gè)峰值的時(shí)間，與系統(tǒng)阻尼和自然頻率相關(guān)；-超調(diào)量\(\sigma\%\)：峰值超出穩(wěn)態(tài)值的百分比，反映系統(tǒng)阻尼特性；-調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\)：響應(yīng)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)值±5%（或±2%）誤差帶的時(shí)間，綜合反映系統(tǒng)快速性和阻尼特性；-穩(wěn)態(tài)誤差\(e_{ss}\)：穩(wěn)態(tài)輸出與期望輸出的差值，反映系統(tǒng)精度。2.相同點(diǎn)：均用于判斷線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性；均基于特征方程的根分布。不同點(diǎn)：-勞斯判據(jù)是代數(shù)方法，通過特征方程系數(shù)構(gòu)造勞斯表；奈奎斯特判據(jù)是幾何方法，通過開環(huán)頻率特性曲線（奈奎斯特圖）與(-1,j0)點(diǎn)的相對(duì)位置判斷。-勞斯判據(jù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；奈奎斯特判據(jù)可推廣到某些非線性或時(shí)變系統(tǒng)（需結(jié)合其他條件）。-奈奎斯特判據(jù)能反映系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性（如相位裕度、幅值裕度），勞斯判據(jù)僅能判斷絕對(duì)穩(wěn)定性。3.超前校正：-增加系統(tǒng)的相位超前角，提高相位裕度，改善動(dòng)態(tài)性能（減小超調(diào)、縮短調(diào)節(jié)時(shí)間）；-增大截止頻率\(\omega_c\)，提高系統(tǒng)響應(yīng)速度；-適用于原系統(tǒng)穩(wěn)定但動(dòng)態(tài)性能不足的情況。滯后校正：-利用高頻衰減特性降低截止頻率\(\omega_c\)，抑制高頻噪聲；-在低頻段提供積分作用，提高系統(tǒng)型別或開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；-適用于原系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能良好但穩(wěn)態(tài)精度不足的情況。4.PID控制器各環(huán)節(jié)作用：-比例（P）環(huán)節(jié)：成比例反映誤差，減小穩(wěn)態(tài)誤差，提高響應(yīng)速度；但過大的比例系數(shù)會(huì)增大超調(diào)，甚至導(dǎo)致不穩(wěn)定。-積分（I）環(huán)節(jié)：消除穩(wěn)態(tài)誤差（通過累積誤差），但會(huì)降低系統(tǒng)的響應(yīng)速度和穩(wěn)定性（引入相位滯后）。-微分（D）環(huán)節(jié)：反映誤差的變化率，提前預(yù)測(cè)誤差變化趨勢(shì)，抑制超調(diào)，改善動(dòng)態(tài)性能；但對(duì)高頻噪聲敏感。5.最小相位系統(tǒng)的所有開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)均位于左半s平面（無右半平面零極點(diǎn)）。其對(duì)數(shù)幅頻特性\(L(\omega)\)與對(duì)數(shù)相頻特性\(\varphi(\omega)\)滿足希爾伯特變換關(guān)系，即給定\(L(\omega)\)可唯一確定\(\varphi(\omega)\)（反之亦然）。而非最小相位系統(tǒng)存在右半平面零極點(diǎn)，其相頻特性與幅頻特性無唯一對(duì)應(yīng)關(guān)系（相同幅頻特性可能對(duì)應(yīng)不同相頻特性）。四、分析計(jì)算題1.（1）閉環(huán)傳遞函數(shù)\(\Phi(s)=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{4}{s^2+2s+4}\)。（2）特征方程\(s^2+2s+4=0\)，根為\(s=-1\pmj\sqrt{3}\)，實(shí)部均為負(fù)，系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）二階系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)形式\(\Phi(s)=\frac{\omega_n^2}{s^2+2\zeta\omega_ns+\omega_n^2}\)，對(duì)比得\(\omega_n^2=4\)，故\(\omega_n=2\)；\(2\zeta\omega_n=2\)，故\(\zeta=0.5\)。超調(diào)量\(\sigma\%=e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%=e^{-0.5\pi/\sqrt{1-0.25}}\times100\%\approx16.3\%\)。調(diào)節(jié)時(shí)間\(t_s\approx\frac{3}{\zeta\omega_n}=\frac{3}{0.5\times2}=3\,\text{s}\)（\(\Delta=5\%\)）。2.（1）根軌跡繪制步驟：-開環(huán)極點(diǎn)：\(p_1=0\)，\(p_2=-1\)，\(p_3=-5\)；無開環(huán)零點(diǎn)，終點(diǎn)為無窮遠(yuǎn)。-漸近線數(shù)量\(n-m=3\)，漸近線角度\(\frac{(2k+1)\pi}{3}\)（\(k=0,1,2\)），即\(60^\circ\)、\(180^\circ\)、\(300^\circ\)。-漸近線與實(shí)軸交點(diǎn)\(\sigma_a=\frac{\sump_i-\sumz_j}{n-m}=\frac{0-1-5}{3}=-2\)。-分離點(diǎn)：設(shè)\(D(s)=s(s+1)(s+5)\)，\(N(s)=K\)，由\(\frac5cmtwpt{ds}\left(\frac{N(s)}{D(s)}\right)=0\)，即\(D'(s)=0\)。計(jì)算\(D'(s)=3s^2+12s+5=0\)，解得\(s=\frac{-12\pm\sqrt{144-60}}{6}=\frac{-12\pm\sqrt{84}}{6}\approx-0.47\)或\(-3.53\)。驗(yàn)證：\(s\approx-0.47\)位于極點(diǎn)\(0\)和\(-1\)之間，是分離點(diǎn)；\(s\approx-3.53\)位于極點(diǎn)\(-1\)和\(-5\)之間，是會(huì)合點(diǎn)。-與虛軸交點(diǎn)：令\(s=j\omega\)，代入特征方程\(s^3+6s^2+5s+K=0\)，分離實(shí)部和虛部：\(-\omega^3+5\omega=0\)（虛部），解得\(\omega=0\)（對(duì)應(yīng)\(K=0\)）或\(\omega=\sqrt{5}\approx2.236\,\text{rad/s}\)；實(shí)部\(-6\omega^2+K=0\)，代入\(\omega=\sqrt{5}\)，得\(K=6\times5=30\)。根軌跡大致形狀：三條分支從極點(diǎn)\(0\)、\(-1\)、\(-5\)出發(fā)，兩條在實(shí)軸上分離（\(s\approx-0.47\)）后進(jìn)入復(fù)平面，沿漸近線\(60^\circ\)、\(300^\circ\)趨向無窮遠(yuǎn)；另一條從\(-5\)出發(fā)，與\(-1\)會(huì)合（\(s\approx-3.53\)）后沿\(180^\circ\)漸近線趨向無窮遠(yuǎn)；與虛軸交點(diǎn)為\(s=\pmj\sqrt{5}\)，對(duì)應(yīng)\(K=30\)。（2）臨界穩(wěn)定時(shí)，系統(tǒng)存在共軛純虛根，由（1）知此時(shí)\(K=30\)。3.（1）開環(huán)傳遞函數(shù)\(G(s)=\frac{25}{s(s+5)}=\frac{5}{s(0.2s+1)}\)，對(duì)數(shù)幅頻特性\(L(\omega)\)由以下環(huán)節(jié)組成：-比例環(huán)節(jié)\(20\lg5\approx14\,\text{dB}\)；-積分環(huán)節(jié)\(-20\lg\omega\)；-慣性環(huán)節(jié)\(-20\lg\sqrt{(0.2\omega)^2+1}\)（轉(zhuǎn)折頻率\(\omega_1=1/0.2=5\,\text{rad/s}\)）。分段繪制：-\(\omega<5\,\text{rad/s}\)：\(L(\omega)\approx14-20\lg\omega\)，斜率\(-20\,\text{dB/dec}\)；-\(\omega>5\,\text{rad/s}\)：\(L(\omega)\approx14-20\lg\omega-20\lg(0.2\omega)=14-40\lg\omega+20\lg5\approx14+14-40\lg\omega=28-40\lg\omega\)，斜率\(-40\,\text{dB/dec}\)。對(duì)數(shù)相頻特性\(\varphi(\omega)=-90^\circ-\arctan(0.2\omega)\)，當(dāng)\(\omega\to0\)時(shí)，\(\varphi(\omega)\to-90^\circ\)；當(dāng)\(\omega\to\infty\)時(shí)，\(\varphi(\omega)\to-180^\circ\)；在\(\omega=5\,\text{rad/s}\)處，\(\varphi(5)=-90^\circ-45^\circ=-135^\circ\)。（2）截止頻率\(\omega_c\)滿足\(|G(j\omega_c)|=1\)，即\(\frac{25}{\omega_c\sqrt{\omega_c^2+25}}=1\)，平方得\(625=\omega_c^2(\omega_c^2+25)\)，令\(x=\omega_c^2\)，方程\(x^2+25x-625=0\)，解得\(x=\frac{-25+\sqrt{625+2500}}{2}=\frac{-25+\sqrt{3125}}{2}\approx\frac{-25+55.9}{2}\approx15.45\)，故\(\omega_c\approx\sqrt{15.45}\approx3.93\,\text{rad/s}\)。相位裕度\(\gamma=180^\circ+\varphi(\omega_c)=180^\circ-90^\circ-\arctan(0.2\times3.93)\approx90^\circ-\arctan(0.786)\approx90^\circ-38.2^\circ=51.8^\circ\)。相位交界頻率\(\omega_g\)滿足\(\varphi(\omega_g)=-180^\circ\)，即\(-90^\circ-\arctan(0.2\omega_g)=-180^\circ\)，解得\(\arctan(0.2\omega_g)=90^\circ\)，故\(\omega_g\to\infty\)，幅值裕度\(h\to\infty\)（dB表示為\(20\lgh\to\infty\)）。（3）設(shè)計(jì)超前校正裝置\(G_c(s)=\frac{1+5Ts}{1+Ts}\)（\(\alpha=5\)），需使校正后相位裕度\(\gamma'\geq45^\circ\)。原系統(tǒng)\(\gamma=51.8^\circ\)，已滿足\(45^\circ\)，但可能需驗(yàn)證是否因計(jì)算誤差需調(diào)整。若原系統(tǒng)不滿足（假設(shè)題目隱含原系統(tǒng)不滿足），則步驟如下：校正后開環(huán)傳遞函數(shù)\(G_c(s)G(s)=\frac{5(1+5Ts)}{s(0.2s+1)(1+Ts)}\)。選擇\(T\)使超前校正的最大相位超前角\(\varphi_m\)補(bǔ)償原系統(tǒng)相位裕度不足部分。最大相位超前角\(\varphi_m=\arcsin\left(\frac{\alpha-1}{\alpha+1}\right)=\arcsin\left(\frac{4}{6}\right)\approx41.8^\circ\)。將\(\omega_m\)設(shè)為新的截止頻率\(\omega_c'\)，滿足\(\omega_m=\frac{1}{\sqrt{\alpha}T}\)，且\(|G(j\omega_m)|\times\sqrt{\alpha}=1\)（因超前校正的幅頻特性在\(\omega_m\)處增益為\(\sqrt{\alpha}\)）。原系統(tǒng)在\(\omega_m\)處的幅值\(|G(j\omega_m)|=\frac{25}{\omega_m\sqrt{\omega_m^2+25}}\)，令\(|G(j\omega_m)|\times\sqrt{5}=1\)，解得\(\omega_m\approx5\,\text{rad/s}\)（驗(yàn)證：\(|G(j5)|=\frac{25}{5\time