角的平分線的性質(zhì)PPT第1頁，共27頁。舊知回顧一條射線把一個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的平分線.oBCA12符號語言：∵射線OC是∠AOB的角平分線∴∠1=∠21.角平分線的定義：第2頁，共27頁。

2、點(diǎn)到直線距離:從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做這個(gè)點(diǎn)到直線的距離.OPAB點(diǎn)P到直線AB的距離就是垂線段PO的長度舊知回顧第3頁，共27頁。舊知回顧

3.三角形的角平分線：

在三角形中，一個(gè)角的平分線與它的對邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．如何做角平分線呢？第4頁，共27頁。第5頁，共27頁。1、如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?情境問題

如果前面活動中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？活動2ADBC第6頁，共27頁。2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應(yīng)角相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE第7頁，共27頁。尺規(guī)作角的平分線AＢＯＭＮＣ畫法：

１．以Ｏ為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．２．分別以Ｍ，Ｎ為圓心．大于1/2ＭＮ的長為半徑作弧．兩弧在∠ＡＯＢ的內(nèi)部交于Ｃ．３．作射線OC．射線ＯＣ即為所求．

根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個(gè)角的平分線？（不用角平分儀或量角器）老師提示:作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,這種方法要確實(shí)掌握.第8頁，共27頁。AＢＭＮＣ為什么OC是角平分線呢？OＯ想一想：已知：OM=ON，MC=NC求證：OC平分∠AOB證明：在△OMC和△ONC中，

OM=ON，

MC=NC，

OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC=∠NOC

即：OC平分∠AOB第9頁，共27頁。1〉平分平角∠AOB2〉通過上面的步驟，得到射線OC以后，把它反向延長得到直線CD，直線CD與直線AB是什么關(guān)系？

3〉結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線的方法。ABOCD實(shí)踐應(yīng)用第10頁，共27頁。

角平分線有什么性質(zhì)呢？OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是射線OC上的任意一點(diǎn)，

1.操作測量：取點(diǎn)P的三個(gè)不同的位置，分別過點(diǎn)P作PD⊥OA，PE⊥OB,點(diǎn)D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數(shù)據(jù)填入下表：2.觀察測量結(jié)果，猜想線段PD與PE的大小關(guān)系，寫出結(jié)論：____________

PDPE第一次第二次第三次

COBAPD=PEpDE第11頁，共27頁。角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.求證：PD=PE.AOBPED猜想：C數(shù)學(xué)符號表示已知和求證：即第12頁，共27頁。注意特別是文字性敘述的幾何證明題第13頁，共27頁。PAOBCED12已知：如圖，OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E求證:PD=PE第14頁，共27頁。證明：∵OC平分∠AOB（已知）∴∠1=∠2（角平分線的定義）∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）∴∠PDO=∠PEO（垂直的定義）在△PDO和△PEO中∠PDO=∠PEO（已證）∠1=∠2（已證）

OP=OP（公共邊）∴△PDO≌△PEO（AAS）∴PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）

PAOBCED12你還可以得到其他什么結(jié)論？1.先證所缺條件2.寫齊條件：一個(gè)中心三個(gè)基本點(diǎn)1.OD=OE2.PO是∠DPE的平分線第15頁，共27頁。ODEPP到OA的距離P到OB的距離角平分線上的點(diǎn)幾何語言描述：∵OC平分∠AOB，且PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PEACB

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。角平分線的性質(zhì)：不必再證全等作用：判斷線段相等的依據(jù).第16頁，共27頁?！呷鐖D，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷正誤：練習(xí)1第17頁，共27頁?！呷鐖D，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）第18頁，共27頁?！逜D平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等第19頁，共27頁。如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC4隨課鞏固第20頁，共27頁。例1:如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝8,BD＝5，則點(diǎn)D到AB的距離為？ACDBEEDE=CD=BC-BD=8-5=3第21頁，共27頁。在△OAB中，OE是它的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D.求證：AC=BD.OABECD課堂練習(xí)提示：有角平分線的條件，?？紤]角平分線性質(zhì)要證∴△AEC≌△BED有哪些條件？需要先證嗎？請寫出證明過程第22頁，共27頁。例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等。ABCPEDFMN例題講解NDNABCPDNABCPDNEFABCPDNABCPABCP點(diǎn)撥：有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段第23頁，共27頁。證明：過點(diǎn)P作PD、PE、PF分別垂直于AB、BC、CA，垂足為D、E、F∵BF是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上

∴PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）同理PE=PF.∴PD=PE=PF.

即點(diǎn)P到邊AB、BC、

CA的距離相等ABCPDEF結(jié)論：兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等第24頁，共27頁。練習(xí)：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ第25頁，共27頁。ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ證明：過點(diǎn)P作PG、PF、PH分別垂直于AB、BC、CA，垂足為G、