北京高三數(shù)學(xué)考試卷子及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{x|x^2-3x+2=0\}\)，\(B=\{1,2\}\)，則\(A\)與\(B\)的關(guān)系是（）A.\(A=B\)B.\(A\subsetneqqB\)C.\(B\subsetneqqA\)D.\(A\neqB\)2.函數(shù)\(y=\log_2(x+1)\)的定義域是（）A.\((-1,+\infty)\)B.\([-1,+\infty)\)C.\((0,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(-4\)4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_5\)的值為（）A.\(9\)B.\(10\)C.\(11\)D.\(12\)5.已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，則\(\cos\alpha\)的值為（）A.\(\frac{4}{5}\)B.\(-\frac{4}{5}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(-\frac{3}{4}\)6.圓\(x^2+y^2-2x+4y=0\)的圓心坐標(biāo)是（）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((1,2)\)D.\((-1,-2)\)7.若直線\(l_1\)：\(ax+2y+6=0\)與直線\(l_2\)：\(x+(a-1)y+a^2-1=0\)平行，則\(a\)的值為（）A.\(2\)B.\(-1\)C.\(2\)或\(-1\)D.\(-2\)或\(1\)8.已知函數(shù)\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(1)=0\)，\(f^\prime(1)=0\)，則\(a+b\)的值為（）A.\(-3\)B.\(-2\)C.\(-1\)D.\(0\)9.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這\(5\)個(gè)數(shù)中任取\(2\)個(gè)數(shù)，則這\(2\)個(gè)數(shù)之和為偶數(shù)的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)10.已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則該雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{4}{5}\)二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的函數(shù)有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\lgx\)D.\(y=2^x\)2.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則下列結(jié)論正確的有（）A.\(ab\leqslant\frac{1}{4}\)B.\(\frac{1}{a}+\frac{1}\geqslant4\)C.\(a^2+b^2\geqslant\frac{1}{2}\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leqslant\sqrt{2}\)3.下列命題中，真命題有（）A.\(\forallx\inR\)，\(x^2-2x+1\geqslant0\)B.\(\existsx\inR\)，\(x^2+x+1\lt0\)C.\(\forallx\inR\)，\(\sinx\leqslant1\)D.\(\existsx\inR\)，\(\cosx=2\)4.一個(gè)正方體的棱長為\(a\)，則以下說法正確的有（）A.正方體的表面積為\(6a^2\)B.正方體的體積為\(a^3\)C.正方體的外接球半徑為\(\frac{\sqrt{3}}{2}a\)D.正方體的內(nèi)切球半徑為\(\frac{a}{2}\)5.已知函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(0\lt\varphi\lt\pi)\)，若\(f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=\frac{\pi}{6}\)對(duì)稱，則\(\varphi\)的值可以為（）A.\(\frac{\pi}{6}\)B.\(\frac{\pi}{3}\)C.\(\frac{2\pi}{3}\)D.\(\frac{5\pi}{6}\)6.設(shè)\(z_1\)，\(z_2\)為復(fù)數(shù)，則下列說法正確的有（）A.\(|z_1+z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|\)B.\(|z_1-z_2|\leqslant|z_1|+|z_2|\)C.\(|z_1z_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)D.\(\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}(z_2\neq0)\)7.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_n\)，且\(S_n=2a_n-1\)，則下列說法正確的有（）A.\(a_1=1\)B.\(a_n=2^{n-1}\)C.\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列D.\(S_n=2^n-1\)8.已知直線\(l\)過點(diǎn)\((1,2)\)，且與圓\(x^2+y^2=5\)相切，則直線\(l\)的方程可以為（）A.\(x-2y+3=0\)B.\(2x-y=0\)C.\(x+2y-5=0\)D.\(2x+y-4=0\)9.已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的左、右焦點(diǎn)分別為\(F_1\)，\(F_2\)，點(diǎn)\(P\)在橢圓上，若\(\angleF_1PF_2=90^{\circ}\)，則下列說法正確的有（）A.\(|PF_1|^2+|PF_2|^2=4c^2\)B.\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)C.\(S_{\triangleF_1PF_2}=b^2\)D.離心率\(e\geqslant\frac{\sqrt{2}}{2}\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，且當(dāng)\(x\gt0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)，則下列說法正確的有（）A.\(f(0)=0\)B.當(dāng)\(x\lt0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x\)C.\(f(x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間為\((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)D.\(f(x)\)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是\(2\pi\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.直線\(y=kx+b\)在\(y\)軸上的截距為\(b\)。（）5.若向量\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow\)。（）6.拋物線\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{p}{2},0)\)。（）7.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^2=ac\)。（）8.函數(shù)\(f(x)=x^3\)是偶函數(shù)。（）9.已知\(A\)，\(B\)，\(C\)為三角形的三個(gè)內(nèi)角，則\(\sin(A+B)=\sinC\)。（）10.若\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(x+y=1\)，則\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geqslant4\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leqslant2x-\frac{\pi}{6}\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{3},k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}],k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)的通項(xiàng)公式。答案：公差\(d=\frac{a_5-a_3}{5-3}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-2\times2=1\)，所以\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。3.已知\(x\gt0\)，\(y\gt0\)，且\(2x+y=1\)，求\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)的最小值。答案：\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})(2x+y)=2+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}+1=3+\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\)，由基本不等式得\(\frac{y}{x}+\frac{2x}{y}\geqslant2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{2x}{y}}=2\sqrt{2}\)，所以最小值為\(3+2\sqrt{2}\)。4.求曲線\(y=x^3\)在點(diǎn)\((1,1)\)處的切線方程。答案：對(duì)\(y=x^3\)求導(dǎo)得\(y^\prime=3x^2\)，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y^\prime=3\)，即切線斜率為\(3\)，由點(diǎn)斜式得切線方程為\(y-1=3(x-1)\)，即\(3x-y-2=0\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)的性質(zhì)。答案：定義域?yàn)閈(x\neq0\)。是偶函數(shù)，圖象關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱。在\((-\infty,0)\)上單調(diào)遞增，在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞減。值域?yàn)閈((0,+\infty)\)，當(dāng)\(x\)趨近于\(0\)或\(\pm\infty\)時(shí)，\(y\)有相應(yīng)變化趨勢。2.在解析幾何中，如何根據(jù)給定條件求圓的方程？答案：若已知圓心坐標(biāo)\((a,b)\)和半徑\(r\)，可直接用標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)。若已知圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，一般設(shè)圓的一般方程\(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\)，將點(diǎn)代入求解\(D\)、\(E\)、\(F\)。3.分析數(shù)列的通項(xiàng)公式與前\(n\)項(xiàng)和公式的關(guān)系。答案：已知通項(xiàng)公式\(a_n\)，可通過\(S_n=a_1+a_2+\cdots+a_n\)求前\(n\)項(xiàng)和。已知\(S_n\)，則\(a_1=S_1\)，\(n\geqslant2\)時(shí)，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)。二者相互關(guān)聯(lián)，可相互推導(dǎo)以研究數(shù)列性質(zhì)。4.對(duì)于不等式\(ax^2+bx+c\gt0\)，如何討論其解集情況？答案：先看\(a\)的正負(fù)，\(a\gt0\)時(shí)，拋物線開口向上；\(a\lt0\)時(shí)，開口向下。再看判別式\(\Delta=b^2-4ac\)，\(\Del