精研題型明考向——利用空間向量求空間角、空間距離第2課時CONTENTS目錄123課前高考真題集中研究——明考情課堂?？碱}型逐一例析——贏高考課時跟蹤檢測課前高考真題集中研究——明考情01

2.(2023新課標Ⅰ卷·考查正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征、線線平行，由空間角求其他量)如圖，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4.點A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3.(1)證明：B2C2∥A2D2；(2)點P在棱BB1上，當二面角P-A2C2-D2為150°時，求B2P.

3.(2022全國乙卷·考查面面垂直、線面角)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD=CD，∠ADB=∠BDC，E為AC的中點.(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設AB=BD=2，∠ACB=60°，點F在BD上，當△AFC的面積最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值.解：(1)證明：因為AD=CD，∠ADB=∠CDB，DB=DB，所以△ADB≌△CDB，所以AB=BC.因為E為AC的中點，所以AC⊥BE，AC⊥DE，又BE∩DE=E，BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.

(2)取A1B的中點E，連接AE，則AE⊥A1B，因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，所以AE⊥平面A1BC，所以AE⊥BC，又AA1⊥平面ABC，所以AA1⊥BC，因為AA1∩AE=A，所以BC⊥平面ABB1A1，所以BC⊥AB.

常規(guī)角度1.求異面直線所成的角：以棱柱、棱錐等簡單幾何體為載體，考查應用定義法或向量法求兩異面直線所成的角.2.求直線與平面所成的角：以棱柱、棱錐或不規(guī)則的幾何體為載體，與線、面位置關(guān)系的證明相結(jié)合，考查直線與平面所成的角的求法.3.求二面角：以棱柱、棱錐或不規(guī)則的幾何體為載體，與線面位置關(guān)系的證明相結(jié)合，考查二面角的求法創(chuàng)新角度求空間角常與立體幾何中的翻折問題、探索性問題等交匯命題把脈考情課堂常考題型逐一例析——贏高考02

命題視角一異面直線所成的角√

方法技巧

針對訓練√

2.如圖，已知兩個正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2，AB=4，則異面直線AQ與PB所成角的余弦值為

.

[典例]

(2023·全國甲卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB=90°，AA1=2，A1到平面BCC1B1的距離為1.命題視角二直線與平面所成的角(1)證明：A1C=AC；[解]

證明：如圖，過A1作A1D⊥CC1，垂足為D.

∵A1C⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴A1C⊥BC.又∠ACB=90°，∴AC⊥BC.∵A1C，AC?平面ACC1A1，且A1C∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1.

∵A1D?平面ACC1A1，∴BC⊥A1D.又CC1，BC?平面BCC1B1，且CC1∩BC=C，∴A1D⊥平面BCC1B1，∴A1D=1.由已知條件易證△CA1C1是直角三角形，又CC1=AA1=2，A1D=1，∴D為CC1的中點.又A1D⊥CC1，∴A1C=A1C1.又在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=A1C1，∴A1C=AC.(2)已知AA1與BB1的距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.

方法技巧1.如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.(1)求證：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直線A1C

與平面BB1C1C所成角的正弦值.針對訓練解：(1)證明：取AB的中點O，連接OC，OA1，A1B.因為CA=CB，所以OC⊥AB.由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故△AA1B為等邊三角形，所以OA1⊥AB.因為OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C?平面OA1C，故AB⊥A1C.

2.一副標準的三角板(如圖1)中，∠ABC為直角，∠A=60°，∠DEF為直角，DE=EF，BC=DF.把BC與DF重合，拼成一個三棱錐(如圖2)，設M是AC的中點，N是BC的中點.(1)求證：平面ABC⊥平面EMN；(2)若AC=4，二面角E-BC-A為直二面角，求直線EM與平面ABE所成角的正弦值.解：(1)證明：∵M是AC的中點，N是BC的中點，∴MN∥AB，∵AB⊥BC，∴MN⊥BC.∵BE=EC，N是BC的中點，∴EN⊥BC.又MN∩EN=N，MN?平面EMN，EN?平面EMN，∴BC⊥平面EMN.又BC?平面ABC，∴平面ABC⊥平面EMN.

命題視角三平面與平面的夾角(1)若AD⊥PB，證明：AD∥平面PBC；[解]

證明：因為PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AD，又AD⊥PB，PB∩PA=P，PB，PA?平面PAB，所以AD⊥平面PAB，又AB?平面PAB，所以AD⊥AB.因為BC2+AB2=AC2，所以BC⊥AB，因為A，B，C，D四點共面，所以AD∥BC，又AD?平面PBC，BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.

[解]

法一

如圖所示，過點D作DE⊥AC于E，再過點E作EF⊥CP于F，連接DF，因為PA⊥平面ABCD，所以平面PAC⊥平面ABCD，而平面PAC∩平面ABCD=AC，

1.利用向量法解二面角問題的策略方法技巧找法向量法分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角的大小找與棱垂直的方向向量法分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小

針對訓練解：(1)證明：如圖，連接DE，AE.因為DC=DB，且E為BC的中點，所以DE⊥BC.因為∠ADB=∠ADC=60°，DA=DA，DB=DC，所以△ADB≌△ADC.可得AC=AB，故AE⊥BC.因為DE∩AE=E，DE，AE?平面ADE，所以BC⊥平面ADE.又DA?平面ADE，所以BC⊥DA.

2.如圖1所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形.過點A的平面與棱BB1，CC1，DD1分別相交于E，F(xiàn)，G三點，且CF=3，DG=2.(1)求BE的長；(2)若平行六面體ABCD-A1B1C1D1是側(cè)棱長為6的直四棱柱(如圖2)，求平面ABCD與平面AED1所成銳二面角的余弦值.解：(1)如圖，過點G作GH平行于DC，與棱CC1相交于點H，則四邊形GHCD為平行四邊形，所以CH=2，GH=DC，GH∥DC，又AB=DC，AB∥DC，所以GH=AB，GH∥AB，則四邊形ABHG為平行四邊形，所以AG∥BH.又因為平面BCC1B1∥平面ADD1A1，平面AEFG∩平面BCC1B1=EF，平面AEFG∩平面ADD1A1=AG，所以AG∥EF，所以BH∥EF，又BE∥HF，所以四邊形BEFH為平行四邊形，則BE=HF=1.

命題視角四求空間距離

(1)空間距離包括空間內(nèi)任意兩點之間的距離、點到平面的距離、直線與平面的距離以及兩平行平面之間的距離，其中兩點間的距離可以用向量的模長處理，其他三種距離的求解都可以轉(zhuǎn)化為點到平面的距離.方法技巧

針對訓練√

解：(1)取AB的中點M，連接DM，作EF∥BC交PB于點F，連接MF，則四邊形DMFE即為所求.如圖所示.

03課時跟蹤檢測1.把邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，則異面直線AD，BC所成的角為

(

)A.120° B.30°C.90° D.60°√

√

√√

所以EF⊥PE，EF⊥DE，又PE∩DE=E，PE，DE?平面PDE，所以EF⊥平面PDE，又PD?平面PDE，故EF⊥PD.

8.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C1的中點.(1)求證：EF∥平面A1CD；(2)若三棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱，求直線B