第03講三角形內(nèi)容導航串講知識：思維導圖串講知識點，有的放矢重點速記：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺舉一反三：核心考點能舉一反三，能力提升復習提升：真題感知+提升專練，全面突破知識點01三角形的概念及分類1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形.2.三角形的分類(1)按邊分類可以分為；(2)按角分類可以分為知識點02三角形基本元素角與邊的有關定理(1)三角形的內(nèi)角和等于.(2)直接三角形兩個銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識點03三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點與垂足之間的線段；三角形的中線：聯(lián)結(jié)三角形一個頂點與對邊中點的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．這點稱為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個內(nèi)角的角平分線與對邊相交于一點頂點與交點之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點．知識點04全等三角形的概念和性質(zhì)能夠完全重合的兩個三角形稱為全等三角形．兩個全等的三角形，經(jīng)過變換而重合，相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．邊、角分別對應相等的兩個三角形全等．知識點05全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對應相等的兩個三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對應相等的兩個三角形全等．（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）.判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個角的對邊對應相等的兩個三角形全等．（可以寫成“角角邊”或“AAS”）知識點06全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．全等三角形的對應邊相等，對應角相等．邊、角分別對應相等的兩個三角形全等．考點一：三角形的穩(wěn)定性例1．（24-25七年級下·四川成都·期中）2023年8月2日，成都大運會射擊項目中國隊選手頂住壓力，包攬10米氣步槍和10米氣手槍混合團體兩枚金牌，為他們的大運會之旅畫上圓滿的句號，射擊隊員在瞄準目標時，手、肘、肩構成托槍三角形，這種方法應用的幾何原理是（

）A．三角形具有穩(wěn)定性 B．兩點之間，線段最短C．兩點確定一條直線 D．垂線段最短【答案】A【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題考查三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形的穩(wěn)定性進行作答即可．【詳解】解：這種方法應用的幾何原理是三角形的穩(wěn)定性；故選：A．【變式1-1】（24-25七年級下·吉林長春·期中）三角形結(jié)構在生活中有著廣泛的應用，如圖所示，利用三角形支架固定手機，其蘊含的數(shù)學道理是（

）A．兩點之間，線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性C．三角形的內(nèi)角和等于180° D．三角形的任意兩邊之和大于第三邊【答案】B【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題考查了三角形的穩(wěn)定性，由三角形的穩(wěn)定性，即可得到答案，掌握三角形的穩(wěn)定性是解題的關鍵．【詳解】解：如圖所示的利用三角形支架固定手機，其蘊含的數(shù)學道理是三角形的穩(wěn)定性故選：B．【變式1-2】（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，師傅安裝空調(diào)在墻上時，一般都會增加一邊固定，這種應用方法的幾何原理是（

）A．兩點確定一點直線 B．三角形具有穩(wěn)定性C．兩點之間線段最短 D．垂線段最短【答案】B【知識點】三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題考查三角形的穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，進行判斷即可．【詳解】解：由題意，應用方法的幾何原理是三角形具有穩(wěn)定性；故選B．【變式1-3】（24-25八年級上·福建廈門·期中）下列生活實物圖形中，不是運用三角形的穩(wěn)定性的是（

）A．B．C．D．【答案】D【知識點】四邊形的不穩(wěn)定性、三角形的穩(wěn)定性及應用【分析】本題主要考查了三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性，根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性解答即可．【詳解】解：由題意得，A、B、C三個選項中的圖形都運用了三角形的穩(wěn)定性，D選項中的圖形具有伸縮功能，不運用三角形的穩(wěn)定性，故選：D．考點二：判斷三邊是否能構成三角形例2.（24-25七年級下·上海松江·期中）下列長度的三根鐵條能首尾順次連接做成三角形框架的是（

）A．23、10、8 B．15、23、8C．18，10、23 D．18、10、8【答案】C【知識點】構成三角形的條件【分析】本題考查三角形三邊關系，掌握任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵．根據(jù)三角形三邊關系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊逐個判斷即可．【詳解】解：A、，不能做成三角形框架，不符合題意；B、，不能做成三角形框架，不符合題意；C、，能做成三角形框架，符合題意；D、，不能做成三角形框架，不符合題意；故選：C．【變式2-1】（24-25七年級下·河南周口·階段練習）以下列各組長度的線段為邊，能組成三角形的是（

）A．1，1，2 B．1，2，3 C．3，4，5 D．3，3，9【答案】C【知識點】構成三角形的條件【分析】本題主要考查了三角形的三邊關系，根據(jù)三角形的三邊滿足兩邊之和大于第三邊來進行判斷．【詳解】解：A、，不能構成三角形，故此選項不符合題意；B、，不能構成三角形，故此選項不符合題意；C、，能構成三角形，故此選項符合題意；D、，不能構成三角形，故此選項不符合題意；故選：C．【變式2-2】（2025·江蘇南通·二模）下列長度的三條線段能組成三角形的是（

）A．3，4，9 B．3，4，8 C．3，4，7 D．3，4，6【答案】D【知識點】構成三角形的條件【分析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊判斷即可．本題考查了三角形三邊關系定理，熟練掌握定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵，與兩邊之和大于第三邊不一致，∴A不符合題意；∵，與兩邊之和大于第三邊不一致，構不成三角形，∴B不符合題意；∵,與兩邊之和大于第三邊不一致，構不成三角形，∴C不符合題意；∵，與兩邊之和大于第三邊一致，構成三角形，∴D符合題意；故選：D．【變式2-3】（24-25八年級下·黑龍江綏化·期中）下列長度的三條線段能首尾相接能構成三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【知識點】構成三角形的條件【分析】此題考查了三角形的三邊關系．解題的關鍵是看較小的兩個數(shù)的和是否大于第三個數(shù)．根據(jù)三角形的三邊關系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，逐一判斷即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關系，知：A、，不能夠組成三角形，故此選項不符合題意；B、，不能組成三角形，故選項此不符合題意；C、，能組成三角形，故此選項符合題意；D、，不能組成三角形，故此選項不符合題意；故選：C．考點三：已知三角形的兩邊長，求第三邊的取值范圍例3.（2025·廣東·二模）一個三角形的兩邊長分別為2和3，則第三邊的長可以是（

）A．1 B．2 C．6 D．9【答案】B【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關系可得第三邊長，再解可得第三邊的范圍，然后可得答案．【詳解】解：設第三邊長為，由題意得：，解得：．故選：B．【變式3-1】（24-25七年級下·河南南陽·階段練習）已知三角形的三邊長分別為，，，則不可能是（

）A．2 B．5 C．7 D．8【答案】A【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題考查三角形三邊關系，關鍵是掌握三角形三邊關系定理．三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊，由此求出第三邊長的取值范圍，即可得到答案．【詳解】∵三角形三邊的長度分別為，，，∴，∴，∴第三邊長不可能是2．故選：A．【變式3-2】（24-25七年級下·上海閔行·階段練習）一個三角形的兩邊長分別為和，那么第三邊的長可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】此題主要考查了三角形的三邊關系，關鍵是掌握三角形兩邊之和大于第三邊；三角形的兩邊之差小于第三邊．根據(jù)三角形的三邊關系，第三邊的長應大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．【詳解】解：設第三邊的長為，由三角形的三邊關系可得，即，所以它的第三邊的長可能是．故選：B．【變式3-3】（24-25七年級下·寧夏中衛(wèi)·期中）下列長度的四根木棒中，能與、長的兩根木棒釘成一個三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查了構成三角形的條件，三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，據(jù)此求出第三根木棒釘?shù)拈L的取值范圍即可得到答案．【詳解】解：由題意得，第三根木棒釘?shù)拈L，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選：C．考點四：判斷是否三角形的高線例4．（24-25七年級下·吉林長春·期中）在中，邊的高說法中正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識點】畫三角形的高【分析】根據(jù)高的定義，過三角形一個頂點向?qū)呑鞔咕€，垂線段即為三角形的高．本題考查了三角形的高，正確理解定義是解題的關鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，是符合題意的，A，B，D都不符合題意，故選C．【變式4-1】（24-25七年級下·河北秦皇島·期中）用三角板畫點到所在直線的垂線段，下列三角板的擺放位置正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查了畫過一點畫已知直線的垂線；畫圖時，三角板的直角一邊與邊重合，點A在直角的另一邊上；按此畫圖步驟判斷即可．【詳解】解：根據(jù)畫垂線段的步驟知，選項A符合題意；故選：A．【變式4-2】（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）如圖，在中，邊上的高是（

）A．線段 B．線段 C．線段 D．線段【答案】C【知識點】畫三角形的高【分析】本題主要考查了三角形高的定義，在中，邊上的高是過點A向直線所作的垂線段，據(jù)此可得答案．【詳解】解：在中，邊上的高是線段，故選：．【變式4-3】（24-25七年級下·四川甘孜·期中）如圖，在中，關于高的說法正確的是（）A．線段是邊上的高 B．線段是邊上的高C．線段是邊上的高 D．線段是邊上的高【答案】B【知識點】畫三角形的高【分析】本題考查了三角形的角平分線、中線、高的定義：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高，是基礎題，熟記概念是解題的關鍵．根據(jù)三角形的一個頂點到對邊的垂線段叫做三角形的高對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】解：于點，中，是邊上的高，故A不符合題意，，線段是邊上的高，B選項符合題意；于點，是邊上的高，故C選項不符合題意，D選項不符合題意．故選：B．考點五：根據(jù)三角形的中線求解例5.（24-25七年級下·四川成都·階段練習）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則．【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)三角形中線的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形周長計算公式推出，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵是的邊上的中線，∴，∵的周長比的周長多，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【變式5-1】（24-25八年級上·廣東汕頭·階段練習）如圖，中，，，是的中線，則的周長比的周長大．【答案】【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形的中線，三角形的周長，根據(jù)中線的定義可得，再根據(jù)三角形的周長即可求解，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：∵是的中線，∴，∴的周長的周長，故答案為：．【變式5-2】（24-25七年級下·吉林長春·期中）如圖，在中，點、、分別是、、的中點，若的面積為16，則．【答案】4【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查的是三角形的面積，熟知三角形底邊的中線把三角形的面積分為相等的兩部分是解答此題的關鍵．根據(jù)點、、分別是、、的中點，得到，，，繼而得到，，再根據(jù)三角形底邊的中線把三角形的面積分為相等的兩部分即可得出結(jié)論．【詳解】解：根據(jù)點、、分別是、、的中點，得到，，，∴，∴，故答案為：4．【變式5-3】（24-25八年級下·湖北黃石·階段練習）如圖，，，分別是的邊，，的中點，連接，，交于點，的面積為6，設的面積為，的面積為，則．【答案】2【知識點】根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，解題的關鍵是利用三角形中線性質(zhì)找出各部分三角形面積之間的關系．利用三角形中線平分面積性質(zhì)，得出．根據(jù)中點及等底等高三角形面積相等，得到，．分別表示出，，將二者相加構建關于的等式并求解．【詳解】∵，分別是的邊，的中點，的面積為6，∴，．∵是中點，是中點，的面積為，的面積為，∴，∴．∴，即，解得．故答案為：2．考點六：在網(wǎng)格中畫三角形的中線、高線及求三角形的面積例6.（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖所示的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1，點A，B，C均在小正方形的頂點上，請利用格點解決下列問題：(1)畫出的邊上的高；(2)畫出的邊上的中線；(3)過點B作的平行線；(4)線段，直接寫出點C到直線的距離______．【答案】(1)圖見解析(2)圖見解析(3)圖見解析(4)【知識點】用直尺、三角板畫平行線、畫三角形的高、根據(jù)三角形中線求長度、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】本題考查作圖—應用與設計作圖、三角形的中線和高、平行線的判定、三角形的面積．（1）根據(jù)三角形的高的定義畫圖即可．（2）根據(jù)三角形的中線的定義畫圖即可．（3）運用網(wǎng)格特征，觀察，且結(jié)合平行線的判定，即可作圖．（4）由題意可得，再根據(jù)三角形面積公式列式計算得點C到直線AB的距離，即可作答．【詳解】（1）解：如圖，即為所求；（2）解：如圖，即為所求；（3）解：過點B作的平行線，如圖所示：（4）解：依題意，，∵線段，∴點C到直線的距離．故答案為：．【變式6-1】（24-25七年級下·山西·期中）如圖，正方形網(wǎng)格中所有小正方形的邊長都為1，規(guī)定每個小正方形的頂點格點，點，，都在格點上．(1)只利用無刻度的直尺按要求畫出下列圖形：①；②的高，垂足為點；(2)的面積為________；【答案】(1)①見解析；②見解析(2)【知識點】利用網(wǎng)格求三角形面積、畫三角形的高、用直尺、三角板畫平行線【分析】本題主要考查了畫平行線，畫三角形的高和網(wǎng)格中求三角形面積，熟知相關知識是解題的關鍵．（1）①根據(jù)網(wǎng)格的特點和平行線的定義作圖即可；②根據(jù)三角形高的定義作圖即可；（2）利用割補法求解即可．【詳解】（1）解：①如圖所示，即為所求；②如圖所示，即為所求；（2）解：由題意得【變式6-2】（24-25八年級上·安徽安慶·期中）在下面的網(wǎng)格圖中，每個小正方形的邊長為1，的三個頂點都在格點上．(1)畫出邊上的高和中線；(2)畫出邊上的高，并直接寫出的長（提示：的長等于5）．【答案】(1)見解析(2)見解析，【知識點】畫三角形的高、根據(jù)三角形中線求長度、利用網(wǎng)格求三角形面積【分析】此題考查了作三角形的高線和中線，等面積法求三角形高，（1）取格點D，連接即為邊上的高；取格點H，連接交于點E，中線即為所求；（2）取格點G，連接交的延長線于點F，高即為所求，然后根據(jù)面積法求解即可．【詳解】（1）如圖所示，高和中線即為所求；（2）如圖所示，邊上的高即為所求；∵的長等于5∴∴∴．【變式6-3】（2025·浙江金華·二模）的頂點都在正方形網(wǎng)格格點（圖中網(wǎng)格線的交點）上，每個小正方形邊長為1．請借助網(wǎng)格和無刻度直尺按要求作圖．(1)在圖①中，作出的中線；(2)在圖②中，作出的重心，記為點．【答案】(1)見解析(2)見解析【知識點】根據(jù)三角形中線求長度、重心的概念、格點作圖題【分析】本題考查作圖，三角形的中線與三角形的重心的定義，解題的關鍵是理解題意，正確作出圖形．（1）根據(jù)三角形中線的定義以及網(wǎng)格的特點找到的中點，即可求解；（2）根據(jù)網(wǎng)格的特點作出上的中線，交點即為所求；【詳解】（1）解：如圖，點為所求作點．（2）如圖，點為所求作點考點七：利用三角形的中線、高線、角平分線求解例7．（24-25七年級下·江西吉安·階段練習）如圖，在中，，于，平分(1)若，求的度數(shù)．(2)若，求的長．【答案】(1)(2)4.8【知識點】與三角形的高有關的計算問題、與角平分線有關的三角形內(nèi)角和問題【分析】本題考查與角平分線有關的三角形的內(nèi)角和問題，與三角形的高有關的計算.（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出的度數(shù)，角平分線求出的度數(shù)，再根據(jù)角的和差關系進行求解即可；（2）等積法求出的長即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∵，平分∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，∴．【變式7-1】（24-25八年級上·北京·期中）如圖，在中，是中線，，．(1)求與的周長差．(2)點E在邊上，連接，若與四邊形的周長相等，求線段的長．【答案】(1)(2)【知識點】根據(jù)三角形中線求長度【分析】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，三角形周長的計算，掌握相關知識點是解題的關鍵．（1）的周長，的周長，由中線的定義可得，即可解答；（2）由圖可知的周長，四邊形的周長，，所以，則可解得長．【詳解】（1）解：的周長，的周長，∵是中線，∴，∴與的周長差：；（2）解：由圖可知：的周長，四邊形的周長，又∵的周長與四邊形的周長相等，D是的中點，∴，，∴，又∵，，，∴，∴，∴．【變式7-2】（24-25八年級上·安徽安慶·期中）如圖，是的中線，是的中線．(1)求證：；(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見解析；(2)．【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、根據(jù)三角形中線求面積【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：由圖可知，是的一個外角，∴，∴，∵是的一個外角，∴，∴，∴；（2）解：∵是的中線，，∴，∵是的中線，∴．【變式7-3】（24-25八年級上·山東臨沂·期末）等面積法是一種常用的、重要的數(shù)學解題方法．(1)如圖1，在中，，，，，，垂足為點，則的長是______________；(2)如圖2，在中，，，則的高與的比是____________；(3)如圖3，在中，，，點，分別在邊，上，且，，，垂足分別為點，．若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)5【知識點】與三角形的高有關的計算問題【分析】本題主要考查了求三角形的面積，熟練掌握等面積法求線段的長是解題的關鍵．（1）根據(jù)題意可得，即可求解；（2）根據(jù)題意可得，即可求解；（3）根據(jù)可得，再由，可得，即可求解．【詳解】（1）解：∵在中，，，∴，∵，，，∴；故答案為：；（2）解：∵，，∴，∴，∴；故答案為：；（3）解：∵，且，∴，又∵，∴，∵，，∴．考點八：利用全等三角形的性質(zhì)求解例8.（24-25七年級下·重慶·期中）如圖，，若，，則．【答案】2【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)．利用全等三角形的性質(zhì)“全等三角形的對應邊相等”即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，∴，故答案為：2．【變式8-1】（2025·浙江臺州·二模）如圖，，點D在邊上，若，，則．【答案】5【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形得到，，最后根據(jù)求解即可．【詳解】解：∵，，，∴，，∴，故答案為：．【變式8-2】（24-25七年級下·甘肅蘭州·期中）如圖：、是的邊、上的點，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（填序號）．【答案】①②③④【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，逐項分析判斷，即可求解．【詳解】，，，，，故①正確，，，，，故③④正確是的中點，，又，；所以②正確故答案為：①②③④．【變式8-3】（24-25七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，已知長方形的邊長，點E在邊上，．如果點P從點B出發(fā)在線段上以的速度向點C運動，同時，點Q在線段上由點D向點C運動，那么當與全等時，運動時間t的值為．【答案】1或3【知識點】全等三角形的性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，屬于全等三角形的動點問題，解題關鍵是分和兩種情況分別計算．首先根據(jù)題意得到，然后分兩種情況討論求解即可．【詳解】解：∵，∴，當時，則有，即，解得，當時，則，即，解得，故答案為：1或3．考點九：全等三角形判定和性質(zhì)多結(jié)論問題例9.（24-25七年級下·河南周口·階段練習）如圖，已知，，，以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤，其中正確的個數(shù)為（）A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【知識點】全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．利用“”證，依據(jù)全等三角形對應角相等，得．分析線段關系，判斷不成立．由全等得，進而推出．根據(jù)全等三角形面積相等，得，統(tǒng)計正確結(jié)論個數(shù)．【詳解】∵，∴，即．∵，，∴，∴①正確．∵，∴，∴②正確．由前面已證，僅根據(jù)已知條件無法得出，∴③錯誤．∵，∴．∵，，∴，∴④正確．由于，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)：全等三角形面積相等，∴，∴⑤正確．綜上，①②④⑤正確，正確的個數(shù)是4個，故選：B．【變式9-1】（24-25八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在中，，的角平分線，相交于點P，過P作交的延長線于點F，交于點H．有下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的個數(shù)是（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．0個【答案】B【知識點】三角形角平分線的定義、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、三角形的外角的定義及性質(zhì)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線定義，三角形外角的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關鍵．根據(jù)三角形內(nèi)角和以及角平分線的定義得繼而得出的度數(shù)，即可判斷①；推出根據(jù)證明即可，即可判斷②；證明，得，根據(jù)外角的性質(zhì)可判斷③；通過等量代換可判斷④；證明三角形全等是解題的關鍵．【詳解】解：在中，，∴，∵、分別平分、，，，∴，故結(jié)論①正確；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，故結(jié)論②正確；∴，∴，在和中，，∴，∴，∵是的外角，∴，∴，故結(jié)論③錯誤；又∵，∴，即，故結(jié)論④正確，∴正確的個數(shù)是個．故選：B．【變式9-2】（24-25八年級上·湖北十堰·期末）如圖，在中，為中線，過點B作于點E，過點C作于點F．延長至點G，使得，連接．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（

）①；②；③；④．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．先利用證明，可得，，可判斷①；再利用證明，得到，再利用三角形的外角性質(zhì)可得，可判斷②；利用全等三角形的性質(zhì)可得，，可判斷③；由得到，再利用三角形的面積公式可判斷④，即可得出結(jié)論．【詳解】解：為中線，，，，，又，，，故①正確；，又，，，，由于與不一定相等，故②不正確；由全等三角形的性質(zhì)可得：，，，故③正確；，，，，，，故④正確；綜上所述，結(jié)論中正確的有①③④，共3個．故選：C．【變式9-3】（23-24八年級上·四川南充·階段練習）如圖，在中，，以為邊，作，滿足，點E為上一點，連接，，連接．下列結(jié)論：①；②；③若，則；④．其中正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關鍵．延長至G，使，從而得出，進一步證明，且，利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可判斷②；根據(jù)線段的等量代換推導即可判斷④；設，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)，及角的計算即可得出即可判斷③；當時，可得出；時，則無法說明，即可判斷①．【詳解】解：如圖，延長至G，使，設與交于點M，，，垂直平分，，，，，，，，在和中，，，，，②是正確；，，平分，當時，，則；當時，，則無法說明；①是錯誤的；設，則，，，，，，，③是正確的；，，，，④是正確的；故選C．考點十：全等三角形的性質(zhì)和判定綜合問題例10．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，，，垂足分別是點B、C，點E是線段上一點，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析；(2)4．【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，同角的余角相等．（1）利用同角的余角相等求出，，根據(jù)證即可；（2）推出，求出，把代入求出即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴.（2）解：∵，由（1）得：，∴，，∴，∵，∴，∴．【變式10-1】（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，點B、E、C、F在同一直線上，，，(1)求證：．(2)，，求當中邊的取值范圍．【答案】(1)證明見結(jié)論(2)【知識點】確定第三邊的取值范圍、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關系，熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．（1）由得出，再利用證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先利用全等三角形的結(jié)論得到，再結(jié)合三角形三邊關系列出關于的不等式，最后代入數(shù)值求出取值范圍．【詳解】（1）證明：，，即，在和中，，，∴；（2）∵∴，在中，∵，∵，，∴，即．【變式10-2】（24-25七年級下·上?！るA段練習）如圖，在中，已知，平分，，(1)若的面積是，求的面積；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【知識點】角平分線的有關計算、根據(jù)三角形中線求面積、全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】（）延長交于點，可證，可得，進而由中線性質(zhì)可得，，即得，即可求解；（）過點作于，過點作的延長線于，可證，可得，又由（）得，即可得，即可求證；本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，角平分線的定義，正確作出輔助線是解題的關鍵．【詳解】（1）解：延長交于點，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∴，∴；（2）證明：過點作于，過點作的延長線于，則，∵，平分，∴，又∵，∴，∴，∵，，∴，即，∴．【變式10-3】（24-25七年級下·山東青島·階段練習）已知點C為線段上一點，分別以，為邊在線段同側(cè)作和，且，，，直線與交于點F．(1)如圖1，求證：；(2)若，則；(3)如圖2，若，則．（用含a的式子表示）【答案】(1)見詳解(2)(3)【知識點】三角形的外角的定義及性質(zhì)、全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等；（1）由可判定，即可得證；（2）由全等三角形的性質(zhì)得，由三角形的外角性質(zhì)得，即可求解；（3）由全等三角形的性質(zhì)得，由三角形的外角性質(zhì)得，即可求解；掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】（1）證明：，，，在和中，（）；（2）解：，，，，，，故答案為：；（3）解：，，，，，，故答案為：．一、單選題1．（2025年湖南省長沙市初中學業(yè)水平考試數(shù)學試卷（二））下列各組數(shù)中，能構成三角形三邊長的是（

）A．1，1，2 B．2，3，6 C．1，2，2 D．3，4，7【答案】C【知識點】構成三角形的條件【分析】本題考查了三角形的三邊關系，屬于基礎題型，熟知三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關鍵；根據(jù)三角形的三邊關系逐項判斷即可得解.【詳解】解：A、因為，所以1，1，2的三個數(shù)不能構成三角形三邊長；B、因為，所以2，3，6的三個數(shù)不能構成三角形三邊長；C、因為，所以1，2，2的三個數(shù)能構成三角形三邊長；D、因為，所以3，4，7的三個數(shù)不能構成三角形三邊長；故選：C.2．（2025·廣東深圳·二模）如圖，已知，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、垂線的定義理解、直角三角形的兩個銳角互余【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)和直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，掌握相關的性質(zhì)是解題的關鍵．先根據(jù)平行線性質(zhì)求出，再在直角三角形中利用直角三角形兩銳角互余求出．【詳解】解：，，，，，故選：C．3．（2025·福建三明·二模）如圖，網(wǎng)格中每個小正方形的邊長相等，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】全等的性質(zhì)和SAS綜合（SAS）【分析】本題考查的知識點是全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．利用“邊角邊”證得，由全等三角形的性質(zhì)即可得解．【詳解】解：設小正方形的邊長為，依題得：，，，在和中，，，，，．故選：．4．（2025·湖南衡陽·二模）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線的兩側(cè)，且，，，若，，則的長為（

）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【知識點】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，先題意得到，再證明得到，據(jù)此根據(jù)線段的和差關系可得答案．【詳解】解：∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，故選：C．5．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖，對面積為的逐次進行以下操作：第一次操作，分別延長、、至點、、，使得，，，順次連接、、，得到，記其面積為；第二次操作，分別延長、、至點、、，使得，，，順次連接、、，得到，記其面積為；…；按此規(guī)律繼續(xù)下去，可得到，則其面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】圖形類規(guī)律探索、與三角形的高有關的計算問題【分析】本題主要考查了三角形的面積，正確判斷相鄰的兩個三角形面積之間的關系是解題關鍵．根據(jù)等高的三角形推出，，推出，可得，依此類推可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，過點作于點，，，，，，，，，，，同理可得：，，同理可得：，依此類推：．故選：D．二、填空題6．（24-25七年級下·貴州貴陽·期中）在中，的補角是，則是三角形．【答案】鈍角【知識點】求一個角的補角、三角形的分類【分析】本題考查了補角的定義、三角形的分類，熟練掌握補角的定義是解題的關鍵．根據(jù)補角的定義和三角形的分類即可解答．【詳解】解：的補角是，，，是鈍角三角形．故答案為：鈍角．7．（2025七年級下·全國·專題練習）已知三角形的三條邊長分別為2，7，x，則x的取值范圍是．【答案】【知識點】確定第三邊的取值范圍【分析】本題主要考查三角形三邊關系，熟練掌握三角形三邊關系是解題的關鍵；因此此題可根據(jù)“三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”進行求解．【詳解】解：由題意得：x的取值范圍是，即；故答案為：．8．（2025·山東濟南·二模）現(xiàn)有下列長度的四根木棒：3，6，9，11，從中任取三根，可以組成三角形的概率為．【答案】【知識點】構成三角形的條件、根據(jù)概率公式計算概率【分析】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．根據(jù)三角形三邊之間的關系與概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：有四根木棒，長度分別為3，6，9，11，從中任取三根木棒，共有4種等可能出現(xiàn)的結(jié)果：3，6，9；3，6，11；6，9，11；3，9，11；根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，能組成三角形的有6，9，11；3，9，11，共2種，組成三角形的概率為，故答案為：．9．（24-25七年級下·四川雅安·期中）如圖，在中，、兩點分別在、邊上，且，現(xiàn)增加一個條件，使得一定成立，則該條件可以是下列中的．①；②；③；④．【答案】①②③【知識點】添加條件使三角形全等（全等三角形的判定綜合）【分析】本題考查全等三角形的判定，由全等三角形的判定方法，即可判斷．關鍵是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．根據(jù)全等三角形的判定方法結(jié)合添加的條件逐一分析即可．【詳解】解：①由，，得到，又，由判定，故①符合題意；②由，推出，而，可得，結(jié)合，由判定，故②符合題意；③如圖，記交點為，∵，，，∴，∴，，∴，∵，，∴由判定，故③符合題意；④增加添加，不能判定，故④不符合題意．增加一個條件，使得一定成立，則該條件可以是①②③．故答案為：①②③．10．（24-25七年級下·廣東深圳·期中）如圖所示，已知四邊形中，，，，，點E為線段的中點，點P在線段上以的速度由點B向點C運動，同時，點Q在線段上由點C向點D運動．當點Q的運動速度為cm/s時，能夠使與全等．【答案】或【知識點】全等三角形綜合問題【分析】本題考查了全等三角形的判定：熟練掌握全等三角形的判定方法是解決問題的關鍵．設點的運動速度為，運動的時間為，則，，由點為線段的中點得到，由于，根據(jù)全等三角形的判定得到當，時，，即，；當，時，，即，，然后分別求出即可．【詳解】解：設點的運動速度為，運動的時間為，則，，點為線段的中點，，，當，時，，即，，解得，，即此時點的運動速度為；當，時，，即，，解得，，即此時點的運動速度為；綜上所述，點的運動速度為或．故答案為：或．三、解答題11．（24-25八年級上·河北滄州·階段練習）如圖，中，為的高線，，，．(1)畫出中邊上的高線．(2)求的長．【答案】(1)見解析(2)【知識點】畫三角形的高、與三角形的高有關的計算問題【分析】此題考查了三角形高的定義，三角形面積公式，根據(jù)三角形的高求三角形面積是解決本題關鍵．（1）根據(jù)三角形高的定義，過點C作交延長線于點E即可；（2）根據(jù)三角形面積公式得到的面積，然后代數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；（2）解：∵為的高線，，，，∴的面積，∴，∴．12．（24-25七年級下·遼寧沈陽·期中）如圖，已知：，，．(1)求證：．(2)判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)見詳解(2)，理由見詳解【知識點】內(nèi)錯角相等兩直線平行、全等的性質(zhì)和SSS綜合（SSS）【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，正確掌握相關性質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵．（1）先由，得，再結(jié)合，，即可證明；（2）由全等三角形的對應角相等得，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，得，即可作答．【詳解】（1）解：∵，∴,∴，∵，，∴．（2）解：，理由如下：由（1）得，∴，∴．13．（24-25七年級下·河南南陽·階段練習）已知的三邊長分別為，，，且，，都是整數(shù)．(1)若，，且為奇數(shù)，求的周長．(2)化簡：．【答案】(1)12(2)【知識點】三角形三邊關系的應用、帶有字母的絕對值化簡問題、整式加減的應用【分析】（1）根據(jù)三角形存在的條件，解答即可．（2）根據(jù)三角形三邊關系，化簡解答即可．本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的存在性條件是解題的關鍵．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵第三邊長c為奇數(shù)，，∴．的周長為．（2）解：∵，，是三角形的三邊長，故，∴，，∴．14．（24-25八年級上·湖北武漢·期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，已知點A，B，C均為格點，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中按下列步驟完成畫圖，并回答問題（格線的交點稱為格點，保留畫圖過程的痕跡