專題05利用勾股定理解決折疊問(wèn)題內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：6大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01長(zhǎng)方形中折痕過(guò)對(duì)角線模型【模型解讀】沿著長(zhǎng)方形的對(duì)角線所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以對(duì)角線AC為折痕，折疊ABC，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEC是等腰三角形。知識(shí)點(diǎn)02長(zhǎng)方形中折痕過(guò)一頂點(diǎn)模型【模型解讀】沿著長(zhǎng)方形的一個(gè)頂點(diǎn)和一邊上的點(diǎn)的線段所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以AE為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：AEF是等腰三角形。知識(shí)點(diǎn)03長(zhǎng)方形中折痕過(guò)任意兩點(diǎn)模型【模型解讀】沿著長(zhǎng)方形邊上的任意兩點(diǎn)所在直線進(jìn)行翻折。已知矩形ABCD中，以E，F(xiàn)為折痕，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C’.折在矩形內(nèi)結(jié)論1：≌；結(jié)論2：折痕EF垂直平方BB’。折在矩形邊上結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’。折在矩形外結(jié)論1：四邊形≌四邊形；結(jié)論2：折痕AC垂直平方BB’；結(jié)論3：GC’F是直角三角形。知識(shí)點(diǎn)04直角三角形中過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)所在直線（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型【模型解讀】（1）沿過(guò)點(diǎn)A的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為AD；（2）沿過(guò)點(diǎn)C的直線翻折使得點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B’落在斜邊AC上，折痕為CD；（3）沿過(guò)點(diǎn)B的直線翻折使得點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E落在BC邊上，折痕為BD。知識(shí)點(diǎn)05直角三角形中過(guò)斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型【模型解讀】（1）沿直線MN（N為斜邊中點(diǎn)）翻折使得點(diǎn)A與點(diǎn)C重合；（2）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，連結(jié)AF，F(xiàn)C，AF與BE交于點(diǎn)O.（3）沿中線BE翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)AD，CD.知識(shí)點(diǎn)06直角三角形中過(guò)任意兩點(diǎn)所在直線（落在其中一邊）翻折模型【模型解讀】（1）沿直線MN翻折，使得點(diǎn)C落在點(diǎn)D處，連結(jié)CD.（2）沿直線DE翻折使得點(diǎn)C與邊AB上的點(diǎn)F重合；【題型1長(zhǎng)方形中折痕過(guò)對(duì)角線模型】例題：（23-24八年級(jí)下·北京海淀·期中）如圖所示，把一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，若，求的長(zhǎng)．【答案】3【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，等角對(duì)等邊，由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案．【詳解】解：∵一張長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線折疊，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得，∴．【變式訓(xùn)練】1．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，，將△ABD沿對(duì)角線BD對(duì)折，得到△EBD，DE與BC交于F，，則（

）A． B．3 C． D．6【答案】A【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知BF=DF=-EF，在Rt中，由勾股定理得：，由此即可求得EF值．【詳解】解：∵，，∴AD=，，由折疊可知，AB=BE=6，AD=ED=，，，∵，∴∠BDF=∠DBF∴BF=DF=-EF，∴在Rt中，由勾股定理得：，∴，解得：EF=，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是勾股定理的應(yīng)用，靈活利用折疊進(jìn)行發(fā)掘條件是解題的關(guān)鍵．2．如圖，在長(zhǎng)方形紙片中，，.把長(zhǎng)方形紙片沿直線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件可證△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折疊知AE=AB=8cm，設(shè)AF=xcm，則DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.【解析】∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴∠B=∠D=900，BC=AD,由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD又∵∠CFE=∠AFD∴△CFE≌△AFD∴EF=DF設(shè)AF=xcm，則DF=（8-x）cm在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，故選擇A.【點(diǎn)睛】此題是翻折問(wèn)題，利用勾股定理求線段的長(zhǎng)度.3．如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，，如果將該長(zhǎng)方形沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，那么圖中陰影部分的面積是______．【答案】【分析】要求陰影部分的面積就要先求得它的底和高，這個(gè)三角形的高就是，，由此關(guān)系就可利用勾股定理求出AE及EF的長(zhǎng)，從而求三角形的面積．【詳解】解：四邊形ABCD是矩形，，，，，由折疊的性質(zhì)，可得，，，，，設(shè)，則，，即，解得，．故答案為．【點(diǎn)睛】此題考查翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求三角形的底和高，從而求三角形的面積．【題型2長(zhǎng)方形中折痕過(guò)一頂點(diǎn)模型】例題：（23-24八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片中，已知，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為，且．(1)求的長(zhǎng)；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，掌握折疊的性質(zhì)，利用勾股定理進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，利用勾股定理進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵長(zhǎng)方形紙片中，，折疊紙片使邊與對(duì)角線重合，∴，∴，，∴；（2）∵折疊，∴，設(shè)，則：，在中，，∴，∴，∴．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)南·期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片折疊，使邊落在對(duì)角線上，折痕為，且D點(diǎn)落在對(duì)角線上處，若，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】本題考查矩形的折疊，勾股定理，熟練掌握運(yùn)用勾股定理解決長(zhǎng)方形的折疊是解題的關(guān)鍵．首先利用勾股定理計(jì)算出的長(zhǎng)，再根據(jù)折疊可得，設(shè)，則，再根據(jù)勾股定理可得方程，再解方程即可．【詳解】∵，∴，∴根據(jù)勾股定理得，根據(jù)折疊可得：，∴，設(shè)，則，在中：，即，解得：，故答案為：B．2．（23-24七年級(jí)下·重慶·期末）如圖，將長(zhǎng)方形沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊的F點(diǎn)上，已知，，則．【答案】10【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理得出，求出，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)折疊的性質(zhì)，，長(zhǎng)方形中，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，∴，故答案為：10．3．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）如圖所示，有一張長(zhǎng)方形紙片，，．現(xiàn)折疊該紙片使得邊與對(duì)角線重合，折痕為，點(diǎn)落在處，求．【答案】3【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題；先利用勾股定理求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，即可求出．【詳解】解：∵，，，∴，由折疊得：，，，∴，，在中，，∴，∴，故答案為：3．【題型3長(zhǎng)方形中折痕過(guò)任意兩點(diǎn)模型】例題：（23-24七年級(jí)下·山東濟(jì)南·期末）如圖，長(zhǎng)方形紙片中，，，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，折痕為，則的長(zhǎng)度為(

)A．6 B．10 C．24 D．48【答案】B【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題；由折疊可知，設(shè)利用勾股定理進(jìn)行分析計(jì)算即可．【詳解】解：由折疊可知，設(shè)由勾股定理可得，即，解得，，故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·江西贛州·期中）如圖，將長(zhǎng)方形紙片沿折疊，使頂點(diǎn)C恰好落在邊的中點(diǎn)上．若，，求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理與折疊問(wèn)題，由折疊的性質(zhì)得到，設(shè)，則，由線段中點(diǎn)的定義得到，再由勾股定理建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，設(shè)，則，∵是邊的中點(diǎn)，∴，由長(zhǎng)方形的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知，如圖長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，求的面積．

【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由四邊形是長(zhǎng)方形和折疊知，再用平行線的性質(zhì)和勾股定理即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，四邊形是長(zhǎng)方形四邊形是矩形設(shè)，由折疊知，，在中，解得，，，又，，，∴的面積為【點(diǎn)睛】此題考查了折疊的性質(zhì)、長(zhǎng)方形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．3．（23-24八年級(jí)上·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形中，邊，．將此長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處．

(1)證明；(2)求的面積．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)10【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等，可得，通過(guò)即可證明，可得結(jié)論；（2）設(shè)，則，在中，利用勾股定理列出方程，即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：證明：四邊形是長(zhǎng)方形，，，將此長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)落在點(diǎn)處，，，，，，，，在和中，，，；（2）設(shè)，則，在中，由勾股定理得，，解得，，，的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，運(yùn)用勾股定理列方程是解題的關(guān)鍵．【題型4直角三角形中過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)所在直線（落點(diǎn)在一邊上）翻折模型】例題：（23-24八年級(jí)下·湖北十堰·階段練習(xí)）如圖，有一塊的紙片，，，，將沿折疊，使點(diǎn)落在上的處，連接，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查勾股定理，折疊的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于求得的長(zhǎng).由題意可得，，由勾股定理即可求得的長(zhǎng)，則可得的長(zhǎng)，然后設(shè)，則，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案．【詳解】解：點(diǎn)是沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接，，，在中，，，，，，設(shè)，則，在中，，即：，解得：，．故選：A．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·安徽蕪湖·期中）如圖所示，有一塊直角三角形紙片，，，，將斜邊翻折，使得點(diǎn)B恰好落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E處，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查勾股定理，折疊的性質(zhì)，先根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，根據(jù)折疊前后對(duì)應(yīng)邊相等得出，，再用勾股定理解即可．【詳解】解：，，，，設(shè)，則，由折疊的性質(zhì)可得，，，在中，由勾股定理得，，解得，，故選B．2．（22-23八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖，在等腰直角三角形中，，，點(diǎn)P是邊上任意一點(diǎn)，連接，將沿翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，當(dāng)有一邊與垂直時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或1或2【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，分三種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，利用勾股定理建立方程求解即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，如圖，在等腰直角三角形中，，，∴，，設(shè)，則，，∵將沿翻折，∴，，∴，即，解得；∴當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，；當(dāng)時(shí)，如圖，此時(shí)，點(diǎn)A，B，在同一直線上，；綜上，當(dāng)有一邊與垂直時(shí)，的長(zhǎng)為或1或2．故答案為：或1或2．3．（23-24八年級(jí)下·江西南昌·期中）如圖是一張直角三角形紙片，，，．(1)在圖1中，將直角邊沿折疊，使點(diǎn)落在斜邊上的點(diǎn)處，求的長(zhǎng)；(2)在圖2中，將沿折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查的是翻折變換以及勾股定理的應(yīng)用；熟練掌握翻折的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．（1）由勾股定理可得，由折疊可知，，，設(shè)，則，，在中，根據(jù)，列出方程即可求解；（2）由折疊知，設(shè)，則，在中，根據(jù)，列出方程即可求解．【詳解】（1）解：在中，，，．由題意知，，．．設(shè)，則，．在中，，．解得．．（2）由題意知，設(shè)，則．在中，，．解得．．【題型5直角三角形中過(guò)斜邊中點(diǎn)所在直線翻折模型】例題：（23-24八年級(jí)下·河南安陽(yáng)·期末）如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長(zhǎng)分別為6，8，現(xiàn)將如圖那樣折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為．則的長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及勾股定理，先設(shè)，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理求出的值．【詳解】解：設(shè)，則，是翻折而成，，在中，，即，解得．故選：C．【變式訓(xùn)練】1．（23-24八年級(jí)下·四川廣安·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中，C點(diǎn)在線段上，D點(diǎn)在線段上，將沿直線折疊后，B點(diǎn)與A重合，則點(diǎn)C坐標(biāo)是．【答案】【分析】本題考查勾股定理的折疊問(wèn)題，設(shè)，由折疊可知，，在中，根據(jù)列出方程求解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)，則，由折疊可知，，在中，，即：，解得：，即，∴點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．2．（23-24八年級(jí)下·河南漯河·階段練習(xí)）如圖，在中，，，．將按如圖所示的方式折疊，使B，C兩點(diǎn)重合，折痕為．求的長(zhǎng)．【答案】【分析】本題考查的是勾股定理和圖形折疊的性質(zhì)，在中由于，，，所以根據(jù)勾股定理可求出的長(zhǎng)，由折疊可知，，設(shè)，則在中，由即可求出x的值，故可得出結(jié)論．【詳解】解：在中由于，，，由勾股定理得：，∵由折疊可知，，設(shè)，則．在中，，即，解得，∴．3．（23-24八年級(jí)下·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖、為一塊直角三角形紙片，．【問(wèn)題初探】：直角三角形紙片的對(duì)折問(wèn)題，可以通過(guò)全等變換把所求線段轉(zhuǎn)化成直角三角形的邊，進(jìn)而通過(guò)勾股定理來(lái)解決，體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化思想．（1）如圖1，現(xiàn)將紙片沿直線折疊，使直角邊落在斜邊上，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，若，求的長(zhǎng)．【學(xué)以致用】（2）如圖2，若將直角沿折疊，點(diǎn)與中點(diǎn)重合，點(diǎn)分別在，上，則之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【答案】（1），（2），理由見(jiàn)解析．【分析】本題考查了翻折的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出，由由翻折的性質(zhì)可得，，再進(jìn)一步得到即可求解．（2）過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，先證明，得到，進(jìn)一步即可得到．【詳解】（1）解：在中，，由翻折的性質(zhì)可知：，，∵，∴，∴，又∵，∴，∴．（2），理由如下：過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，如圖：∴，在和中，，∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴．【題型6直角三角形中過(guò)任意兩點(diǎn)所在直線（落在其中一邊）翻折模型】例題：在中，，將沿直線折疊，使B落在的三等分點(diǎn)處，求的長(zhǎng)．【答案】的長(zhǎng)度為或3【分析】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記性質(zhì)并表示出的三邊的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論，設(shè)，則，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，然后分兩種情況求出，再利用勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)，則，沿直線折疊B落在處，，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)，，或，當(dāng)時(shí)，在中，，即，解得：；當(dāng)時(shí)，在中，，即，解得：，綜上所述，的長(zhǎng)度為或3．【變式訓(xùn)練】1．（2024·山東濱州·三模）如圖，在中，，，．將折疊，使點(diǎn)落在的中點(diǎn)處，折痕為，則線段的長(zhǎng)為（

）A． B． C．5 D．4【答案】C【分析】本題主要考查的是翻折的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理的運(yùn)用，從而列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)，由翻折的性質(zhì)可知，在中利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【詳解】解：設(shè)，由翻折的性質(zhì)可知，∵D是的中點(diǎn)，，在中，由勾股定理得：即，解得：，∴，故選：C．2．（23-24八年級(jí)下·廣東中山·期中）如圖，在中，，，，將它的銳角翻折，使得點(diǎn)落在邊的中點(diǎn)處，折痕交邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A．3 B．4 C． D．【答案】D【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，由題意得出，由折疊的性質(zhì)可得，則，再勾股定理計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由折疊的性質(zhì)可得：，設(shè)，則，由勾股定理可得：，，解得：，，故選：D．3．（23-24八年級(jí)下·貴州遵義·階段練習(xí)）在中，，，，分別是斜邊和直角邊上的點(diǎn)．把沿著直線折疊，頂點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)和頂點(diǎn)重合，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)落在直角邊的中點(diǎn)上，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)．【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理是解此題的關(guān)鍵．（1）由折疊可得，設(shè)，則，再由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得出答案；（2）由題意得，由折疊的性質(zhì)可得：，設(shè)，則，再由勾股定理計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：若點(diǎn)和頂點(diǎn)重合，由折疊的性質(zhì)可得：，設(shè)，則，由勾股定理得：，，解得：，；（2）解：點(diǎn)落在直角邊的中點(diǎn)上，，由折疊的性質(zhì)可得：，設(shè)，則，由勾股定理可得：，，解得：，∴．一、單選題1．（24-25八年級(jí)下·安徽合肥·期中）如圖，長(zhǎng)方形紙片中，，將此長(zhǎng)方形紙片折疊，使點(diǎn)重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)H的位置，折痕為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】設(shè)，則，根據(jù)勾股定理可求得，的長(zhǎng)，從而不難求得的面積，本題考查了利用勾股定理與折疊的問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)，由折疊可知：，在中，，故選：A．2．（24-25八年級(jí)下·北京·期中）如圖，在中，，，，是的中點(diǎn)，是上一點(diǎn)，連接、．將沿翻折，點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題，勾股定理求出的長(zhǎng)，折疊得到，，設(shè)，在中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵，，，D是邊的中點(diǎn)，∴，∴，∵將沿翻折，點(diǎn)C落在上的點(diǎn)F處，∴，，∴，設(shè)，則：，在中，由勾股定理，得：，解得：；∴；故選：A．3．（24-25八年級(jí)下·山東德州·期中）如圖，在中，，D、E分別是斜邊和直角邊上的點(diǎn)．把沿著直線折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．若點(diǎn)落在直角邊的中點(diǎn)上，則的長(zhǎng)是（

）A． B．4 C．5 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】根據(jù)題意，得，，則，根據(jù)勾股定理，得，解答即可．本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握定理和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，沿著直線折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)．且點(diǎn)落在直角邊的中點(diǎn)上，∴，，則，根據(jù)勾股定理，得，解得，則，故選：D．4．（24-25八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．1 D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】全等的性質(zhì)和ASA（AAS）綜合（ASA或者AAS）、勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，理解折疊的性質(zhì)，掌握勾股定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)可證，得，設(shè)，則，在中運(yùn)用勾股定理得到，由此列式求解即可．【詳解】解：∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，，∵折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，，∴，解得，，∴，故選：D．5．（24-25八年級(jí)上·河南鄭州·期中）小明在幫妹妹完成手工作業(yè)的時(shí)候發(fā)現(xiàn)了其中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如圖，在中，，，，沿過(guò)點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，再次折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕交于點(diǎn)E，則的長(zhǎng)度為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意可得，，，，可得，繼而設(shè)，則，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：∵沿過(guò)點(diǎn)A的直線將紙片折疊，使點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)D處，，∴，，∵折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，∴，∵，∴，∴，∴，∴，設(shè)，，則，∴，解得，即，故選：B．二、填空題6．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期末）如圖是一張直角三角形的紙片，兩直角邊，，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)重合．折痕為，則的長(zhǎng)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查了折疊問(wèn)題和勾股定理的綜合運(yùn)用，由折疊得，設(shè)，則，在直角三角形中，利用勾股定理即可求得長(zhǎng)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由折疊得，，設(shè)，則，∵，∴，∴，解得，即，故答案為：．7．（24-25八年級(jí)上·江西撫州·期末）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，將此長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，則的長(zhǎng)度為．

【答案】【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查勾股定理與折疊問(wèn)題．折疊得到，設(shè)，利用勾股定理進(jìn)行求解即可，掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵將此長(zhǎng)方形沿折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，∴，設(shè)，∵在長(zhǎng)方形中，，，∴，由勾股定理得，∴，∴，∴．故答案為：．8．（23-24八年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）如圖所示，有一張長(zhǎng)方形紙片，，．現(xiàn)折疊該紙片使得邊與對(duì)角線重合，折痕為，點(diǎn)落在處，求．【答案】3【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查了勾股定理與折疊問(wèn)題；先利用勾股定理求出，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，，，求出，然后在中，利用勾股定理構(gòu)建方程，即可求出．【詳解】解：∵，，，∴，由折疊得：，，，∴，，在中，，∴，∴，故答案為：3．9．（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為8的正方形紙片折疊，折痕為，點(diǎn)，分別在邊，上，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，當(dāng)點(diǎn)為三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】用勾股定理解三角形、勾股定理與折疊問(wèn)題、折疊問(wèn)題【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．連接，過(guò)點(diǎn)N作于H，由折疊的性質(zhì)可知：，，，，，當(dāng)點(diǎn)E是靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，可得，，利用勾股定理可求得，，，再利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)；同理可求得，當(dāng)點(diǎn)E為靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)即可．【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)N作于H，則，，由折疊的性質(zhì)可知：，，，，，當(dāng)點(diǎn)E是靠近點(diǎn)D的三等分點(diǎn)時(shí)，，，在中，，在中，，，即，解得：，，設(shè)，則，在中，，由勾股定理得：，，解得，，，；當(dāng)E為靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)時(shí)，如圖，同理，，綜上所述，的長(zhǎng)為或，故答案為：或．10．（24-25八年級(jí)下·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方形中，，，，沿邊所在直線翻折，與重合，點(diǎn)F在上，則的長(zhǎng)是．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題【分析】本題考查了長(zhǎng)方形的性質(zhì)，勾股定理與折疊問(wèn)題，連接．證明垂直平分得．在中，由勾股定理求出，然后根據(jù)求解即可．【詳解】解：如圖，連接．∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴．根據(jù)題意，，．∵，∴，∴，∴垂直平分，∴．∵，，，∴，∴．在中，，在中，．∵，∴，∴，解得．故答案為：．三、解答題11．（24-25八年級(jí)上·浙江金華·期中）如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊，將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為．(1)求的周長(zhǎng)．(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理與折疊問(wèn)題、折疊問(wèn)題【分析】（1）由翻折易得，則的周長(zhǎng)；（2）由翻折易得，利用直角三角形，勾股定理即可求得長(zhǎng)．本題考查了折疊性質(zhì)以及勾股定理，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，∴，則的周長(zhǎng)；（2）解：由題意得；設(shè)，則，，在中，根據(jù)勾股定理得：，即，解得；即．12．（23-24八年級(jí)上·寧夏銀川·期中）如圖，在中，，，，按圖中所示方法將沿折疊，使點(diǎn)落在邊的點(diǎn)．

(1)求的長(zhǎng)度；(2)求的面積．【答案】(1)3(2)15【知識(shí)點(diǎn)】與三角形的高有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題、勾股定