2024-2025學(xué)年云南省普洱市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分。1．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是A． B． C． D．2．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為A． B． C． D．3．現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有A．120 B．60 C．30 D．204．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．5．在的展開式中，的系數(shù)是A．3 B．4 C．5 D．66．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C．或 D．7．如圖，將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D、E的五塊區(qū)域染上紅，黃，藍(lán)三種顏色，要求相鄰區(qū)域不同色，共有不同的染色方法有（）A．30種 B．36種 C．27種 D．18種8．定義在上的函數(shù)滿足，且（1），則A．有極大值無(wú)極小值 B．有極小值無(wú)極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值又無(wú)極小值二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)白球和2個(gè)黑球，下列說(shuō)法正確的是A．從中取3個(gè)球，則不同的取法種數(shù)是 B．從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是10 C．從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是 D．從中取3個(gè)球，則顏色相同的種數(shù)是（多選）10．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若存在，使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中，存在“巧值點(diǎn)”的是A． B． C． D．（多選）11．已知函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是A．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有最小值 C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)，則．13．若，則．14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。15．（1）解不等式：．（2）求證：．16．從包含甲、乙2人的7人中選4人參加米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答，否則無(wú)分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（2）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．17．某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”系列進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，隨機(jī)選擇了一個(gè)商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研，通過對(duì)該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（元千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為6元千克時(shí)，每日可售出系列15千克．（1）求函數(shù)的解析式．（2）若系列的成本為4元千克，試確定銷售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷售系列所獲得的利潤(rùn)最大．18．（17分）已知函數(shù)．（Ⅰ）過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程．（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）求在上的最大值和最小值．19．（17分）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)與在公共點(diǎn)處的切線方程；（2）求的最小值；（3）求證：當(dāng)時(shí)，．

參考答案一、單選題：共8小題，每小題5分，共40分。1．下列導(dǎo)數(shù)運(yùn)算錯(cuò)誤的是A． B． C． D．解：對(duì)于選項(xiàng)：，正確；對(duì)于選項(xiàng)：，正確；對(duì)于選項(xiàng)：，正確；對(duì)于選項(xiàng)：，故不正確．故選：．2．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為A． B． C． D．【答案】解：由題意，，則，又，所以的圖象在處的切線方程為，即．故選：．3．現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有A．120 B．60 C．30 D．20【答案】解：不妨記五名志愿者為，，，，，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：，，，連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有12種方法，恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種．故選：．4．設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是A． B． C． D．【答案】解：根據(jù)的圖象可得，原函數(shù)的單調(diào)性是：當(dāng)時(shí)，增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)性變化依次為減、增、減，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，的符號(hào)變化依次為、、，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故選：．5．在的展開式中，的系數(shù)是A．3 B．4 C．5 D．6【答案】解：二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，，1，2，3，4，令，解得，則的系數(shù)是．故選：．6．已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A． B． C．或 D．【答案】解：由曲線，可得，直線的斜率為，可得，則，即，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故選：．7．如圖，將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D、E的五塊區(qū)域染上紅，黃，藍(lán)三種顏色，要求相鄰區(qū)域不同色，共有不同的染色方法有（）A．30種 B．36種 C．27種 D．18種【答案】A解：由題意將標(biāo)號(hào)為A、B、C、D、E的五塊區(qū)域染上紅，黃，藍(lán)三種顏色，要求相鄰區(qū)域不同色，可從A開始涂色，A有3種方法，B有2種方法，①若E與B涂色相同，則C、D共有種涂色方法；②若E與B涂色不相同，則E有1種涂色方法，當(dāng)C、E涂色相同時(shí)，D有2種涂色方法；當(dāng)C、E涂色不相同時(shí)，C有1種涂法，D有1種涂色方法．共有種涂色方法．故選：A．8．定義在上的函數(shù)滿足，且（1），則A．有極大值無(wú)極小值 B．有極小值無(wú)極大值 C．既有極大值又有極小值 D．既無(wú)極大值又無(wú)極小值【答案】解：由，得，設(shè)函數(shù)，則，則，為常數(shù)，所以，又（1），則，，．設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即．所以在上單調(diào)遞增，既無(wú)極大值又無(wú)極小值．故選：．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的5個(gè)白球和2個(gè)黑球，下列說(shuō)法正確的是A．從中取3個(gè)球，則不同的取法種數(shù)是 B．從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是10 C．從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是 D．從中取3個(gè)球，則顏色相同的種數(shù)是【答案】解：從中取3個(gè)球，則有種取法，選項(xiàng)正確；從中取2個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是，選項(xiàng)正確；從中取3個(gè)球，則顏色不同的取法種數(shù)是，選項(xiàng)錯(cuò)誤；從中取3個(gè)球，則顏色相同的種數(shù)是，選項(xiàng)正確．故選：．（多選）10．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若存在，使得，則稱是的一個(gè)“巧值點(diǎn)”，則下列函數(shù)中，存在“巧值點(diǎn)”的是A． B． C． D．【答案】解：對(duì)于選項(xiàng)：易知，令，解得，所以函數(shù)有“巧值點(diǎn)”；對(duì)于選項(xiàng)：易知，令，作出函數(shù)，的圖象：可知方程有解，有“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：易知，令，即，解得，無(wú)解，不存在“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：易知，令，整理得，不妨設(shè)，函數(shù)定義域?yàn)?，得，所以函?shù)在上為增函數(shù)，又，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，即方程在上有解，則有“巧值點(diǎn)”，故選項(xiàng)正確．故選：．（多選）11．已知函數(shù)，，下列說(shuō)法正確的是A．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則 B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有最小值 C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增【答案】解：因?yàn)?，則．對(duì)于選項(xiàng)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，此時(shí)，△，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩個(gè)不等的實(shí)根分別為，，且，由韋達(dá)定理可得，必有，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上有最小值，故正確；對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，令，可得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以，函數(shù)的極大值為，極小值為（2），作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故正確．對(duì)于選項(xiàng)，當(dāng)且時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知函數(shù)，則1．【答案】1．解：，所以，所以．故答案為：1．13．若，則5．【答案】5．解：若，則，化簡(jiǎn)得，解得．故答案為：5．14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．解：函數(shù)，．，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立．，，．令，則在單調(diào)增函數(shù)．（1）．．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。15．（1）解不等式：．（2）求證：．【答案】（1），；（2）證明見解析．解：（1）由題意可得，，所以，，由，得，化簡(jiǎn)得：，解得，又因?yàn)?，所以或，所以的解集為，．?）證明：根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)有：，所以左邊右邊，等式得證．16．從包含甲、乙2人的7人中選4人參加米接力賽，求在下列條件下，各有多少種不同的排法？（結(jié)果用數(shù)字作答，否則無(wú)分）（1）甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒；（2）甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒；（3）甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒．【答案】（1）120；（2）120；（3）140．解：（1）要求甲、乙2人都被選中且必須跑相鄰兩棒，第一步：甲乙捆綁看作一個(gè)整體，從3個(gè)位置安排一個(gè)位置有，第二步：從剩下5人中，需兩人排在兩個(gè)位置，有，所有共有：；（2）要求甲、乙2人都被選中且不能相鄰兩棒，第一步，先從剩下5人中選2人排序，有，第二步，甲乙兩人從3個(gè)空中選2個(gè)空排序，有，所以共有：；（3）要求甲、乙2人都被選中且甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，從5人中選2人加上甲乙4人的全排列有：，其中甲跑第一棒的有：，乙跑第四棒的有：，甲跑第一棒，乙跑第四棒有：，所以共有：．17．某學(xué)校高二年級(jí)一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，決定對(duì)某“著名品牌”系列進(jìn)行市場(chǎng)銷售量調(diào)研，隨機(jī)選擇了一個(gè)商場(chǎng)進(jìn)行調(diào)研，通過對(duì)該品牌的系列一個(gè)階段的調(diào)研得知，發(fā)現(xiàn)系列每日的銷售量（單位：千克）與銷售價(jià)格（元千克）近似滿足關(guān)系式，其中，為常數(shù)．已知銷售價(jià)格為6元千克時(shí)，每日可售出系列15千克．（1）求函數(shù)的解析式．（2）若系列的成本為4元千克，試確定銷售價(jià)格的值，使該商場(chǎng)每日銷售系列所獲得的利潤(rùn)最大．解：（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，，即，解得，，（2）商場(chǎng)每日銷售系列所獲得的利潤(rùn)為，則，，即，令，解得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，（5），當(dāng)售價(jià)格5元千克時(shí)，該商場(chǎng)每日銷售系列所獲得的利潤(rùn)最大．18．（17分）已知函數(shù)．（Ⅰ）過點(diǎn)作曲線的切線，求此切線的方程．（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間．（Ⅲ）求在上的最大值和最小值．【答案】（Ⅰ）切線方程為或；（Ⅱ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ），．解：（Ⅰ）由題，設(shè)所求切線的切點(diǎn)為，則切線斜率：或，當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為，則切線方程為；當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)為時(shí)，切線斜率為24，則切線方程為即；綜上，所求切線方程為或；（Ⅱ）函數(shù)定義域?yàn)?，，所以，或，，所以函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）由（2）知函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以，．19．（17分）若函數(shù)與函數(shù)的圖象在公共點(diǎn)處