專(zhuān)題19角內(nèi)容導(dǎo)航——預(yù)習(xí)三步曲第一步：學(xué)析教材學(xué)知識(shí)：教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)練題型強(qiáng)知識(shí)：8大核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練第二步：記串知識(shí)識(shí)框架：思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)復(fù)核內(nèi)容掌握第三步：測(cè)過(guò)關(guān)測(cè)穩(wěn)提升：小試牛刀檢測(cè)預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升知識(shí)點(diǎn)01角的概念1.角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊．如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線OA、OB．（2）定義二：一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部．如圖2所示，射線OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊．注意：（1）兩條射線有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)．（2）平角與周角：如圖1所示射線OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角．2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“∠”表示，角的表示法通常有以下四種：注意：用數(shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字或小寫(xiě)希臘字母．3.角的畫(huà)法（1）用三角板可以畫(huà)出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角．（3）利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于已知角．知識(shí)點(diǎn)02角度制及其換算角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的為1分，記作“1′”，1′的為1秒，記作“1″”．這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制．1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″．注意：在進(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于60時(shí)要向高一位進(jìn)位．知識(shí)點(diǎn)03鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30°，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)04方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角．例如，圖中射線OA的方向是北偏東60°；射線OB的方向是南偏西30°．這里的“北偏東60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角．注意：（1）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示．（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60°”一般不說(shuō)成“東偏北30°”．（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向．（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(射線)都必須以O(shè)為端點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)05角平分線從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB．注意：由角平分線的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線段中點(diǎn)的思維框架一樣．知識(shí)點(diǎn)06角的運(yùn)算如圖所示，∠AOB是∠1與∠2的和，記作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB與∠2的差，記作：∠1＝∠AOB-∠2．注意：(1)用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：①對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；②重合(一邊與刻度尺上的零度線重合)；③讀數(shù)(讀出另一邊所在線的度數(shù))．(2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．知識(shí)點(diǎn)07角的比較角的大小比較與線段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種：方法1：度量比較法．先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大?。椒?：疊合比較法．把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較．如比較∠AOB和∠A′O′B′的大?。喝缦聢D，由圖（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由圖(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由圖(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．【題型1角的概念和表示】例題：（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形就是角B．角是由始邊繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形C．角是由兩條直線相交形成的圖形D．角的兩邊是射線【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】角的概念理解【分析】本題考查了角的定義，由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形叫做角，也可以看作由一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形，根據(jù)定義逐一判斷，即可解題．【詳解】解：A、由兩條具有公共端點(diǎn)的射線組成的圖形就是角，正確，不符合題意；B、角是由始邊繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形，正確，不符合題意；C、角是由兩條直線相交形成的圖形，說(shuō)法錯(cuò)誤，兩條相交直線可以形成四個(gè)角，符合題意；D、角的兩邊是射線，正確，不符合題意；故選：C．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)上·貴州六盤(pán)水·期末）下列四個(gè)圖形中，能用，，三種方法表示同一個(gè)角的是（

）A．B．C．D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角的表示方法【分析】本題考查了角的表示方法的應(yīng)用，根據(jù)角的表示方法和圖形逐個(gè)判斷即可，解題的關(guān)鍵正確理解角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表示，其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．【詳解】解：、因?yàn)轫旤c(diǎn)處有四個(gè)角，所以這個(gè)角不能用，，表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、因?yàn)轫旤c(diǎn)處只有一個(gè)角，所以這個(gè)角能用，，表示，故本選項(xiàng)正確；、因?yàn)轫旤c(diǎn)處有三個(gè)角，所以這個(gè)角不能用，，表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；、因?yàn)轫旤c(diǎn)處有兩個(gè)角，所以這個(gè)角不能用，，表示，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：．2.（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期末）下列圖中的也可以用表示的是（）A．B．C．D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】角的表示方法【分析】本題考查了角的表示方法；角可以用一個(gè)大寫(xiě)字母表示，也可以用三個(gè)大寫(xiě)字母表示．其中頂點(diǎn)字母要寫(xiě)在中間，唯有在頂點(diǎn)處只有一個(gè)角的情況，才可用頂點(diǎn)處的一個(gè)字母來(lái)記這個(gè)角，否則分不清這個(gè)字母究竟表示哪個(gè)角．角還可以用一個(gè)希臘字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯?dāng)?shù)字（，…）表示，據(jù)此進(jìn)行分析即可．【詳解】解：A.可以用表示，符合題意；B.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；C.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；D.可以用表示，但不能用表示，不符合題意；故選：A．3.（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期中）如圖所示，能用，，三種方法表示同一個(gè)角的圖形是（）A．B．C．D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角的表示方法【分析】本題考查了角的概念．解題的關(guān)鍵是掌握角的表示方法的運(yùn)用．根據(jù)角的表示方法和圖形逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：A、不能用，，三種方法表示同一個(gè)角，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、能用，，三種方法表示同一個(gè)角，故B選項(xiàng)正確；C、不能用，，三種方法表示同一個(gè)角，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不能用，，三種方法表示同一個(gè)角，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B．【題型2角的單位與角度制】例題：（23-24六年級(jí)下·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）用度、分、秒表示′″【答案】341048【知識(shí)點(diǎn)】角的單位與角度制【分析】本題考查了度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算．進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以為進(jìn)制．，．【詳解】解：．故答案為：34；10；48．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)上·天津河西·期末）．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】角的單位與角度制【分析】角的單位換算計(jì)算即可．本題考查了角的單位換算，熟練掌握換算進(jìn)制是階梯的關(guān)鍵．【詳解】解：，故答案為：．2.（23-24七年級(jí)下·山東淄博·期中）度分秒．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】角的單位與角度制【分析】本題考查了度分秒的換算，掌握度分秒的進(jìn)制關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．先把化為分，再把小數(shù)分化為秒即可．【詳解】解：，，．故答案為：，，．3.（23-24七年級(jí)上·江西吉安·期末）；°【答案】1218【知識(shí)點(diǎn)】角的單位與角度制【分析】此題主要考查度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，進(jìn)行度、分、秒的轉(zhuǎn)化運(yùn)算，注意以60為進(jìn)制．根據(jù)大單位化小單位乘以進(jìn)率，小單位化大單位除以進(jìn)率可得答案．【詳解】解：，．故答案為：12，18，．【題型3鐘面角】例題：（24-25七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）自習(xí)課上，一名同學(xué)抬頭看見(jiàn)掛在黑板上方的時(shí)鐘顯示為，此時(shí)時(shí)針與分針的夾角是．【答案】/75度【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角【分析】本題考查鐘面角，理解鐘面角為把圓分成12等分是解題的關(guān)鍵，根據(jù)題意當(dāng)時(shí)鐘顯示為，時(shí)針與分針的夾角由兩部分組成，分別是之間的兩格和之間的半格，求出它們的度數(shù)即可得到答案．【詳解】解：如圖，∴時(shí)針與分針的夾角為.【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)上·湖南永州·期末）若此時(shí)時(shí)鐘表上的時(shí)間是分，則時(shí)針與分針的夾角為度．【答案】90【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角【分析】本題主要考查了鐘面角的計(jì)算，先求出時(shí)鐘上相鄰數(shù)字之間的度數(shù)，再根據(jù)時(shí)，時(shí)針指向數(shù)字3，分鐘指向數(shù)字12進(jìn)行求解即可．【詳解】解：，∴此時(shí)時(shí)針與分針的夾角為90度，故答案為：90．2.（23-24七年級(jí)下·山東日照·開(kāi)學(xué)考試）2點(diǎn)分鐘時(shí)，鐘表的時(shí)針與分針形成的夾角的度數(shù)是．【答案】/度【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角【分析】本題考考查了鐘面角度的計(jì)算和時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度．熟練掌握鐘面角度的計(jì)算和時(shí)針、分針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度是解題的關(guān)鍵．鐘面被平均分成了個(gè)大格，每個(gè)大格的角度是；時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn)，分針每分鐘轉(zhuǎn)．先求出2點(diǎn)時(shí)，時(shí)針與分針的初始夾角，再根據(jù)時(shí)針和分針的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，計(jì)算分鐘后它們的夾角即可．【詳解】解：2點(diǎn)分鐘時(shí)，鐘表的時(shí)針與分針形成的夾角的度數(shù)為：．故答案為：．3.（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖是一個(gè)時(shí)鐘的鐘面，此時(shí)鐘面上的時(shí)間是下午1點(diǎn)30分，時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角的度數(shù)為度．【答案】135【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角【分析】本題考查鐘面角，整個(gè)圓分為12個(gè)大格，每個(gè)大格30度，下午1點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻拟g角含4.5個(gè)大格，由此可解．【詳解】解：下午1點(diǎn)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻拟g角含4.5個(gè)大格，每個(gè)大格30度，因此時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)傻拟g角的度數(shù)為：（度），故答案為：135．【題型4與方位角有關(guān)的計(jì)算題】例題：（23-24七年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，已知輪船在燈塔的北偏東方向，輪船在燈塔的南偏東方向，則的度數(shù)為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題【分析】本題考查了方向角，根據(jù)題意即可求解，掌握方向角的定義是解題的關(guān)鍵【詳解】解：如圖所示標(biāo)注字母，由題意知：，，∴，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)下·廣西欽州·期中）如圖，李華同學(xué)從點(diǎn)沿北偏東的方向行走到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)沿南偏西方向行走到點(diǎn)，則的大小為．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題【分析】本題考查了方位角．畫(huà)圖正確表示出方位角，利用角的和與差計(jì)算即可求解．【詳解】解：如圖，由題意得，，．故答案是：40．2.（23-24七年級(jí)下·北京·期中）如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)先沿北偏東方向航行，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)前方有冰山，緊急向左進(jìn)行了90°的轉(zhuǎn)彎，然后沿著方向航行，則．【答案】【知識(shí)點(diǎn)】與方向角有關(guān)的計(jì)算題【分析】本題考查方向角、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的．利用平行線的性質(zhì)求得即可求解．【詳解】解：如圖，∵，，∴，∵，∴，故答案為：．3.（23-24七年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，射線的方向是北偏東，射線的方向是北偏西，，射線是的反向延長(zhǎng)線．(1)射線的方向是________；(2)求的度數(shù)；(3)若射線平分，求的度數(shù)．【答案】(1)北偏東(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】方向角的表示、與方向角有關(guān)的計(jì)算題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、鄰補(bǔ)角的定義理解【分析】此題主要考查了方向角的表達(dá)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）先求出，再求得的度數(shù)，即可確定的方向；（2）根據(jù)，，得出，進(jìn)而求出的度數(shù)；（3）根據(jù)射線平分，即可求出再利用求出答案即可．【詳解】（1）解：如圖，的方向是北偏西，的方向是北偏東，，，，，，，的方向是北偏東；故答案為：北偏東；（2）解：如圖，，，．又射線是的反向延長(zhǎng)線，．．（3）解：如圖，，平分，．．．【題型5角的比較】例題：（23-24七年級(jí)上·江蘇揚(yáng)州·期末）如圖，用同樣大小的三角板此較和的大小，下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．沒(méi)有量角器，無(wú)法確定【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】角的比較【分析】本題考查了角的大小比較，根據(jù)圖中的三角尺為等腰直角三角形得，，利用中間角比較角的大小是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵圖中的三角尺為等腰直角三角形，∴，，∴，故選：A．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，下列各式中不一定正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角的比較【分析】此題考查了角的比較大小與和差，根據(jù)圖形進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵在的內(nèi)部，∴，選項(xiàng)A正確，不符合題意；∵，∴選項(xiàng)B正確，不符合題意；根據(jù)題意，無(wú)法比較和的大小，選項(xiàng)C不一定正確，符合題意；∵，∴選項(xiàng)D正確，不符合題意；故選：C．2.（23-24七年級(jí)下·山東濰坊·期中）如圖，已知是內(nèi)部的一條射線，下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．C．可以用表示 D．與表示同一個(gè)角【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】角的比較、角的表示方法【分析】本題主要考查角的大小比較及角的概念，根據(jù)角的大小比較及角的概念進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．∵是內(nèi)部的一條射線而不是角平分線，∴，故本選項(xiàng)不符合題意；B．可能大于，也可能小于，也有可能等于，故本選項(xiàng)不符合題意；C．不可以用表示，故本選項(xiàng)不符合題意；D．與表示同一個(gè)角，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．3.（23-24六年級(jí)下·山東淄博·期中）如圖，正方形網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，則與的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無(wú)法比較【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】角的比較【分析】本題考查了角的大小比較，利用平移的方法是解題的關(guān)鍵．將平移，讓與兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，即可解答．【詳解】解：將平移，讓與兩個(gè)角的頂點(diǎn)重合，如圖：可得：在的內(nèi)部，所以．故選：A．【題型6三角板中角度計(jì)算問(wèn)題】例題：（23-24七年級(jí)上·重慶·期末）如圖，將一副三角尺疊放在一起，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，若，為的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角板中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算和角平分線的定義，找出角度之間的數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵．設(shè)，則，得到，則，解得，則，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：設(shè)，則，由題意可知，，，∴解得，，∴，∵為的角平分線，∴，∴故選：D．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)下·遼寧鞍山·開(kāi)學(xué)考試）如圖，將一副三角板擺成如圖形狀，如果，那么的度數(shù)是．

【答案】22°/度【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．利用即可求解．【詳解】解：由圖可知：，，，．故答案為：．2.（23-24七年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期末）將一副直角三角尺按如圖1方式疊放，．如圖2，現(xiàn)將三角尺固定，令三角尺繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．若要使，則的度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題、根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角板的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到的度數(shù)．【詳解】如圖，當(dāng)時(shí)，，，，；如圖，當(dāng)時(shí)，，，；綜上所述，要使，則的度數(shù)為或，故答案為：或3.（24-25八年級(jí)上·河北邢臺(tái)·開(kāi)學(xué)考試）直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)O在直線上，．(1)如圖1，三角板在直線上方．①若，則；②若平分，則；(2)若三角板在直線下方，．求的度數(shù)；(3)類(lèi)比探究：如圖3，在數(shù)軸上，點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)是，，線段在數(shù)軸上移動(dòng)，且（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），當(dāng)時(shí)，求出點(diǎn)表示的數(shù)．【答案】(1)①；②(2)(3)4或16【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段的和與差【分析】本題考查三角板中角度的計(jì)算，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，線段的和與差．（1）①利用平角的定義，進(jìn)行計(jì)算即可；②根據(jù)角平分線平分角，求出的度數(shù)，再根據(jù)平角的定義，求解即可；（2）根據(jù)，結(jié)合，得到，求解即可；（3）分線段在線段上，線段在線段右側(cè)與線段在線段左側(cè)，三種情況進(jìn)行討論求解即可．正確的識(shí)圖，找準(zhǔn)角度之間的和差關(guān)系，線段之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：①∵，，∴；故答案為：；②∵平分，∴，∴，故答案為：60°；（2）由圖2可知，，，，，，；（3）點(diǎn)A表示的數(shù)是，，點(diǎn)B表示的數(shù)為10，①當(dāng)線段在線段上時(shí)，如圖，由圖可知，，，，，，，點(diǎn)C表示的數(shù)為4；②當(dāng)線段在線段右側(cè)時(shí)，如圖，由圖可知，，，，，，，點(diǎn)表示的數(shù)為16；③當(dāng)線段在線段左側(cè)時(shí)，此種情況不成立．綜上，點(diǎn)表示的數(shù)為4或16．【題型7角平分線的有關(guān)計(jì)算】例題：（23-24七年級(jí)上·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)A，O，B在一條直線上，，，是的平分線．(1)求和的度數(shù)；(2)是的平分線嗎？為什么？【答案】(1)，(2)是的平分線，理由見(jiàn)詳解【知識(shí)點(diǎn)】求一個(gè)角的補(bǔ)角、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角的和差，補(bǔ)角的定義，角平分線的定義；（1）由角的和差得，由角的平分線及角的和差得，即可求解；（2）由補(bǔ)角的定義得，由角平分線的定義即可求解；理解補(bǔ)角的定義，角平分線的定義，能用角的和差表示出所求的角是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，；是的平分線，，；（2）解：是的平分線；理由如下：，，，，是的平分線．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)上·廣東惠州·期末）（1）如圖1，射線在的內(nèi)部，平分，平分，若，求的度數(shù)；（2）射線，在的內(nèi)部，平分，平分，若，，求的度數(shù)；（3）在（2）中，，，其他條件不變，請(qǐng)用含，的代數(shù)式表示的度數(shù)（不用說(shuō)理）．

【答案】（1）；（2），（3）【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題是有關(guān)角的計(jì)算，考查了角平分線的定義及角的和差倍分，注意利用數(shù)形結(jié)合的思想．（1）根據(jù)角平分線的定義可得：，，相加可得的度數(shù)；（2）根據(jù)角平分線的定義可得：，，將分成三個(gè)角相加，并等量代換可得結(jié)論；（3）同理可得結(jié)論．【詳解】解：（1）平分，，同理，，；（2）平分，，同理可得：，，，，，，，，，（3）平分，，同理可得：，，，，，，，，．2.（23-24七年級(jí)上·四川達(dá)州·期末）如圖①，已知射線、在的內(nèi)部在右側(cè)），，．(1)如果射線平分，，如圖②，則；(2)如果射線、分別平分、，如圖③，求的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了角的運(yùn)算，利用角的和差得出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合可得答案；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角的和差，數(shù)形結(jié)合可得答案；（3）根據(jù)角的和差，可得，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得，根據(jù)角的和差可得答案．【詳解】（1）解：，，，平分，，故答案為：；（2）解：平分，，，，；（3）解：平分，，，由，得，，，平分，，由角的和差可得．3.（23-24七年級(jí)上·廣西貴港·期末）劉星對(duì)幾何中角平分線等興趣濃厚，請(qǐng)你和他一起探究下面問(wèn)題吧．已知，射線，分別是和的角平分線．(1)如圖1，若射線在的內(nèi)部，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若射線在的內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，求的度數(shù)(3)若射線在的外部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中，均指小于的角），其余條件不變，請(qǐng)借助圖3探究的大?。敬鸢浮?1)(2)(3)或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查的是角的計(jì)算，角平分線的定義，熟知從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線是解答此題的關(guān)鍵．注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．（1）先求出度數(shù)，根據(jù)角平分線定義求出和度數(shù)，求和即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可；（3）分兩種情況：①射線，只有1個(gè)在外面，根據(jù)角平分線定義得出，，求出；②射線，個(gè)都在外面，根據(jù)角平分線定義得出，，求出，代入求出即可．【詳解】（1）解：是的平分線，，是的平分線，，；（2）解：，，，；（3）解：是的平分線，是的平分線，，，①延長(zhǎng)至點(diǎn)，當(dāng)在的內(nèi)部，；②延長(zhǎng)至點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，當(dāng)在內(nèi)部，，；③延長(zhǎng)至點(diǎn)，當(dāng)在內(nèi)部，，，，綜上，度數(shù)為或．【題型8角n等分線的有關(guān)計(jì)算】例題：（23-24七年級(jí)上·山西大同·期末）在的內(nèi)部作射線，射線把分成兩個(gè)角，分別為和，若或，則稱(chēng)射線為的三等分線．若，射線為的三等分線，則的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算【分析】根據(jù)題意得出或，再根據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，得出，綜合即可得出答案．【詳解】解：∵，射線為的三等分線．∴或，∴，∴的度數(shù)為或．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角度的計(jì)算，理解題意，分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1.（23-24七年級(jí)上·江西撫州·期中）定義：從的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引一條射線，把分成的兩部分，射線叫做的三等分線．若在中，射線是的三等分線，射線是的三等分線，設(shè)，則用含x的代數(shù)式表示為．【答案】或或【知識(shí)點(diǎn)】角n等分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查角的計(jì)算．解題關(guān)鍵是做出圖形，列方程計(jì)算．注意要分類(lèi)討論．【詳解】如圖，∵射線是的三等分線，∴把分成的兩部分，∴或，∵射線是的三等分線，∴把分成的兩部分，∴或，∵，∴或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，故答案為：或或．一、單選題1．（2025九年級(jí)下·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）如圖，為內(nèi)部的一條射線，下列各式正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了角的大小比較，掌握角的和差關(guān)系及整體和部分的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．利用角的平分線的定義及角的和差關(guān)系可得結(jié)論．【詳解】解：∵是角內(nèi)的一條射線，不是角的平分線，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；∵，由于部分小于整體，所以選項(xiàng)B、C錯(cuò)誤，不符合題意；由于整體大于部分，所以選項(xiàng)D正確，符合題意．故選：D．2．（24-25七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）鐘表8時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕堑亩葦?shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】鐘面角【分析】本題考查了鐘面角，理解鐘表上12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為解題的關(guān)鍵．利用鐘表表盤(pán)的特征解答．【詳解】解：8點(diǎn)30分，時(shí)針和分針中間相差2.5個(gè)大格．∵鐘表12個(gè)數(shù)字，每相鄰兩個(gè)數(shù)字之間的夾角為，∴點(diǎn)30分，分針與時(shí)針的夾角是．故選：B．3．（24-25七年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）在航行、測(cè)繪等工作中，經(jīng)常以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體的運(yùn)動(dòng)方向，如圖所示，射線的方向是（

）．A．北偏西 B．東北方向 C．北偏東 D．北偏東5【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】方向角的表示【分析】本題考查方向角，連接方向角的定義是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)方向角的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由方向角的定義可知，的方向?yàn)楸逼珫|，故選：D．4．（2025·河北唐山·二模）在學(xué)?？梢钥吹揭环N現(xiàn)象，有同學(xué)不由自主地轉(zhuǎn)動(dòng)手中的筆．同學(xué)的轉(zhuǎn)筆過(guò)程可以看成一條直線繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，其示意圖如圖所示，若，恰好平分，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了角平分線的定義，直接根據(jù)角平分線的定義即可得到答案．【詳解】解：∵，恰好平分，∴，故選：B．5．（24-25七年級(jí)下·山東青島·期中）將三張直角三角形紙片按如圖所示的方式放置，使它們的直角頂點(diǎn)重合，則，，三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了三角板中的角度計(jì)算，熟練掌握三角板中的角度計(jì)算是解題關(guān)鍵．如圖（見(jiàn)解析），根據(jù)題意可得，，，再求出，由此即可得．【詳解】解：如圖，由題意得：①，②，③，由②③得：，∴④，將④代入①得：，∴，故選：C．6．（24-25七年級(jí)上·天津?qū)幒印て谀┤鐖D，點(diǎn)為線段外一點(diǎn)，，，，為上任意四點(diǎn)，連接，，，，下列結(jié)論：①以為頂點(diǎn)的角有15個(gè)；②若平分，平分，，則③若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則；④若，，則．其中正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、角的表示方法、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題綜合考查了角平分線和線段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算．根據(jù)角的表示方法可得以O(shè)為頂點(diǎn)的角的個(gè)數(shù)，判斷①；根據(jù)角平分線的定義，以及角之間的和差關(guān)系，進(jìn)行求解，判斷②；根據(jù)線段的中點(diǎn)，進(jìn)行求解，判斷③；根據(jù)，，得到，判斷④．【詳解】解：以O(shè)為頂點(diǎn)的角有個(gè)，故①正確；由角平分線的定義可得：，，∵，∴∴，∴，，∴，故②正確；由中點(diǎn)定義可得：，，∴，∵,∴，故③正確；∵，，∴，∴，即，故④錯(cuò)誤；故選：C.二、填空題7．（2025·浙江湖州·一模）把角度轉(zhuǎn)化成度的形式：【答案】【知識(shí)點(diǎn)】角的單位與角度制【分析】本題考查了角度的單位制，熟練掌握角度單位制的換算是解題關(guān)鍵．根據(jù)可得，由此即可得．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．8．（24-25七年級(jí)上·浙江金華·期末）比較大?。海ㄓ?，或連結(jié)）【答案】【知識(shí)點(diǎn)】角的度數(shù)大小比較、角的單位與角度制【分析】此題考查了角度的換算和比較大小，熟練掌握角度的換算是解題得關(guān)鍵．求出，即可得到答案．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：9．（24-25七年級(jí)下·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖所示，兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，如果，那么．【答案】/55度【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查角的計(jì)算，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，根據(jù)兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，，從而可推出，，結(jié)合兩個(gè)式子即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵兩個(gè)直角三角形的直角頂點(diǎn)重合，且，∴，，∴,故答案為：．10．（24-25七年級(jí)上·江蘇宿遷·期末）如圖，O，A，B，C，D都為格點(diǎn)（方格紙中小正方形的頂點(diǎn)），的度數(shù)為，的度數(shù)為，則的度數(shù)可以表示為．（用含、的式子表示）【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題主要考查了角的和差關(guān)系，先根據(jù)格點(diǎn)圖得出，再根據(jù)代入計(jì)算即可．【詳解】解：根據(jù)格點(diǎn)圖可知：，∴，故答案為：．11．（24-25七年級(jí)下·河南洛陽(yáng)·期中）已知，以為頂點(diǎn)作射線，．若，，且，在直線同側(cè)，則的度數(shù)為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了幾何圖形中角度的計(jì)算，分情況討論：當(dāng)在直線上方，在直線下方，再根據(jù)角的和差計(jì)算即可．【詳解】解：在直線同側(cè)，當(dāng)在直線上方時(shí)，如圖，，，，，，．當(dāng)在直線下方時(shí)，如圖，，，，，，故答案為：或．12．（24-25七年級(jí)上·四川成都·期末）定義：過(guò)一個(gè)角的頂點(diǎn)在角的內(nèi)部作一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)小角，且這兩個(gè)小角的度數(shù)滿(mǎn)足倍關(guān)系，則稱(chēng)這條射線為這個(gè)角的“倍分線”．已知射線為的“倍分線”，若，則．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了角的和差倍分關(guān)系，角的和差，分和兩種情況解答即可求解，運(yùn)用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，∴；當(dāng)時(shí)，，∴；綜上，或，故答案為：或．三、解答題13．（24-25七年級(jí)上·湖北孝感·期末）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】角度的四則運(yùn)算【分析】本題是考查了角度制中的度分秒計(jì)算，解題關(guān)鍵是掌握度分秒是六十進(jìn)制．（1）兩個(gè)度數(shù)相加，度與度，分與分對(duì)應(yīng)相加，分的結(jié)果若滿(mǎn)60，則轉(zhuǎn)化為度；（2）兩個(gè)度數(shù)相減時(shí)，度與度，分與分對(duì)應(yīng)相減，應(yīng)先算最后一位，后面的位上的數(shù)不夠減時(shí)向前一位借數(shù)；【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式．14．（23-24七年級(jí)上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，已知，是內(nèi)的一條射線，且．(1)求的度數(shù)；(2)過(guò)點(diǎn)O在的內(nèi)部作射線，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題【分析】本題考查了角的計(jì)算，掌握角的特點(diǎn)及比例的意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)，即可求解；（2）利用求得，即可解答．【詳解】（1）解：，，；（2）解：如圖，當(dāng)在內(nèi)部時(shí)，，，，15．（24-25六年級(jí)下·山東泰安·階段練習(xí)）如圖，是平角，分別是的平分線．(1)當(dāng)時(shí)，；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)若設(shè)度時(shí)，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角平分線的定義，角的和差，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案；（2）根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案；（3）根據(jù)平角，角平分線的意義，即可求出答案．【詳解】（1）解：，，分別是的平分線，，；故答案為：（2）解：，分別是的平分線，，，；（3）解：，，分別是的平分線，，，．16．（24-25八年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡(jiǎn)單地圖，已知，C為的中點(diǎn)，回答下列問(wèn)題：(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？(2)商場(chǎng)、學(xué)校、公園、停車(chē)場(chǎng)分別在小明家的什么方位？哪兩個(gè)地方的方位是相同的？(3)若學(xué)校距離小明家，那么商場(chǎng)和停車(chē)場(chǎng)分別距離小明家多少米？【答案】(1)學(xué)校和公園(2)商場(chǎng)在小明家北偏西方向上，學(xué)校在小明家北偏東方向上，公園在小明家南偏東方向上，停車(chē)場(chǎng)在小明家南偏東方向上；公園和停車(chē)場(chǎng)的方位相同(3)；【知識(shí)點(diǎn)】方向角的表示、與方向角有關(guān)的計(jì)算題【分析】本題主要考查了用方位角和距離確定位置，正確讀懂圖示是解題的關(guān)鍵．（1）求出的長(zhǎng)，得到即可得到答案；（2）根據(jù)圖示結(jié)合方位角的表示方法求解即可；（3）根據(jù)題意可知地圖上表示實(shí)際，據(jù)此列式求解即可．【詳解】（1）解：∵C為的中點(diǎn)，，∴，∴，∴圖中距小明家距離相同的是學(xué)校和公園；（2）解：由題意得，商場(chǎng)在小明家北偏西方向上，學(xué)校在小明家北偏東方向上，公園在小明家南偏東方向上，停車(chē)場(chǎng)在小明家南偏東方向上，∴公園和停車(chē)場(chǎng)的方位相同．（3）解：∵學(xué)校距離小明家，∴商場(chǎng)距離小明家，停車(chē)場(chǎng)距離小明家．17．（24-25七年級(jí)上·陜西渭南·期末）【問(wèn)題背景】如圖，已知內(nèi)部有三條互不重合的射線OD，OC，OE，且在同一個(gè)平面內(nèi)，，射線OD始終在射線OE的上方．若，．【問(wèn)題探究】（1）①則的度數(shù)為_(kāi)_______；②如圖1，當(dāng)OE平分時(shí)，OC是否平分，請(qǐng)說(shuō)明理由；【問(wèn)題拓展】（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）①；②OC平分，理由見(jiàn)解析（2）的度數(shù)為或．【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問(wèn)題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】此題考查了角的