山西省汾陽市中考數學真題分類（勾股定理）匯編達標測試考試時間：90分鐘；命題人：教研組考生注意：1、本卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試時間90分鐘2、答卷前，考生務必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級填寫在試卷規(guī)定位置上3、答案必須寫在試卷各個題目指定區(qū)域內相應的位置，如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用涂改液、膠帶紙、修正帶，不按以上要求作答的答案無效。第I卷（選擇題14分）一、單選題（7小題，每小題2分，共計14分）1、如圖所示，圓柱的高AB=3，底面直徑BC=3，現(xiàn)在有一只螞蟻想要從A處沿圓柱表面爬到對角C處捕食，則它爬行的最短距離是（）A． B． C． D．2、“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數學的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．63、已知點是平分線上的一點，且，作于點，點是射線上的一個動點，若，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．54、如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和1，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物．則這只螞蟻沿著臺階面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．155、下列各組數：①3、4、5

②4、5、6

③2.5、6、6.5

④8、15、17，其中是勾股數的有(

)A．4組 B．3組 C．2組 D．1組6、在△ABC中，，那么△ABC是（

）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形7、我國古代數學著作《九章算術》中有這樣一個問題：

“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．水深、葭長各幾何？”．其大意是：如圖，有一個水池，水面是一個邊長為10尺(丈、尺是長度單位，1丈＝10尺)的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度與這根蘆葦的長度分別是多少？若設這跟蘆葦的長度為x尺，根據題意，所列方程正確的是(

)A．102＋(x－1)2＝x2 B．102＋(x－1)2＝(x＋1)2C．52＋(x－1)2＝x2 D．52＋(x－1)2＝(x＋1)2第Ⅱ卷（非選擇題86分）二、填空題（8小題，每小題2分，共計16分）1、《九章算術》中有“折竹抵地”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原來高1丈（1丈=10尺），中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？如圖，設折斷處距離地面x尺，根據題意，可列方程為______．2、我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸（丈、尺是長度單位，1丈10尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，它高出水面1尺（即BC＝1尺）．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端B恰好到達池邊的水面D處，問水的深度是多少？則水深DE為_____尺．3、已知，在中，，，，則的面積為__．4、《九章算術》中記載著這樣一個問題：已知甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲的速度為7步/分，乙的速度為3步/分，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，那么相遇時，甲、乙各走了多遠？解：如圖，設甲乙兩人出發(fā)后x分鐘相遇．根據勾股定理可列得方程為______．5、如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，那么四邊形ABCD的面積是___________．6、如圖，在一次綜合實踐活動中，小明將一張邊長為的正方形紙片，沿著邊上一點與點的連線折疊，點是點的對應點，延長交于點，經測量，，則的面積為______．7、無蓋圓柱形杯子的展開圖如圖所示．將一根長為20cm的細木筷斜放在該杯子內，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．8、如圖，在中，，將線段繞點順時針旋轉至，過點作，垂足為，若，，則的長為__．三、解答題（7小題，每小題10分，共計70分）1、如圖，煙臺市正政府決定在相距50km的A、B兩村之間的公路旁E點，修建一個大櫻桃批發(fā)市場，且使C、D兩村到E點的距離相等，已知DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA＝30km，CB＝20km，那么大櫻桃批發(fā)市場E應建什么位置才能符合要求？2、如圖，將一個長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點B落在點E處，AE交DC于點F，已知AB=4，BC=2，求折疊后重合部分的面積．3、《算法統(tǒng)宗》是中國古代數學名著，作者是我國明代數學家程大位．在《算法統(tǒng)宗》中有一道“蕩秋千”的問題：“平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾．”(注：1步＝5尺)譯文：“有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺(水平距離)時，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，秋千的繩索始終拉得很直，問繩索有多長．”4、若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.5、如圖是“弦圖”的示意圖，“弦圖”最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作注時給出的，它標志著中國古代的數學成就．它由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形，每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c．請你運用此圖形證明勾股定理：a2+b2＝c2．6、如圖，點是正方形內一點，將繞點順時針旋轉到的位置，若，求的度數．7、設直角三角形的兩條直角邊長及斜邊上的高分別為a，b及h，求證：．-參考答案-一、單選題1、C【解析】【分析】要求最短路徑，首先要把圓柱的側面展開，利用兩點之間線段最短，然后利用勾股定理即可求解．【詳解】解：把圓柱側面展開，展開圖如圖所示，點A、C之間的最短距離為線段AC的長．在Rt△ADC中，∠ADC=90°，CD=AB=3，AD為底面半圓弧長，AD=π，∴AC=，故選C．【考點】本題考查了平面展開-最短路徑問題，解題的關鍵是會將圓柱的側面展開，并利用勾股定理解答．2、C【解析】【詳解】解：如圖所示，∵（a+b）2=21∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，即：a2+b2=13，∴2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面積為13﹣8=5．故選C．3、B【解析】【分析】根據垂線段最短可得PN⊥OA時，PN最短，再根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得PM=PN，再結合勾股定理求解即可．【詳解】解：當PN⊥OA時，PN的值最小，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB，∴PM=PN，∵，，，∴由勾股定理可知：PM=3，∴PN的最小值為3．故選B．【考點】本題考查了角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，垂線段最短的性質及勾股定理，熟記性質是解題的關鍵．4、D【解析】【分析】此類題目只需要將其展開便可直觀的得出解題思路．將臺階展開得到的是一個矩形，螞蟻要從B點到A點的最短距離，便是矩形的對角線，利用勾股定理即可解出答案．【詳解】解：如圖，將臺階展開，因為AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以螞蟻爬行的最短線路為15．故選：D．【考點】本題考查了勾股定理的應用，掌握勾股定理的應用并能得出平面展開圖是解題的關鍵．5、C【解析】【詳解】解：∵32+42=52，①符合勾股數的定義；∵42+52≠62，②不符合勾股數的定義；∵2.5和6.5不是正整數，③不符合勾股數的定義；∵82+152=172，④符合勾股數的定義，是勾股數的有：①④，共2組，故選：C．6、D【解析】【分析】根據等腰三角形的判定和勾股定理逆定理得出三角形的形狀即可．【詳解】∵a：b：c=1：1：，∴三角形ABC是等腰三角形．設三邊長為a,a,∵，∴三角形ABC是直角三角形．綜上所述：△ABC是等腰直角三角形．故選D．【考點】本題考查了等腰三角形的判定和勾股定理逆定理．此題關鍵是利用勾股定理的逆定理解答．7、C【解析】【分析】設這跟蘆葦的長度為x尺，根據勾股定理，即可求解．【詳解】解：設這跟蘆葦的長度為x尺，根據題意得：52＋(x－1)2＝x2故選：C【考點】本題主要考查了勾股定理的應用，明確題意，準確構造直角三角形是解題的關鍵．二、填空題1、【解析】【分析】根據勾股定理即可得出結論．【詳解】解：設未折斷的竹干長為尺，根據題意可列方程為：．故答案為：．【考點】本題考查的是勾股定理的應用，在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數學模型，畫出準確的示意圖．領會數形結合的思想的應用．2、12【解析】【分析】設水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據勾股定理列方程，解出h即可．【詳解】設水深為h尺，則蘆葦長為(h+1)尺，根據勾股定理，得(h+1)2-h2=52解得h=12，∴水深為12尺，故答案是：12．【考點】本題主要考查勾股定理的應用，熟練根據勾股定理列出方程是解題的關鍵．3、2或14#14或2【解析】【分析】過點B作AC邊的高BD，Rt△ABD中，∠A=45°，AB=4，得BD=AD=4，在Rt△BDC中，BC=4，得CD==5，①△ABC是鈍角三角形時，②△ABC是銳角三角形時，分別求出AC的長，即可求解．【詳解】解：過點作邊的高，中，，，，在中，，，①是鈍角三角形時，，；②是銳角三角形時，，，故答案為：2或14．【考點】本題考查了勾股定理，三角形面積求法，解題關鍵是分類討論思想．4、【解析】【分析】設甲、乙二人出發(fā)后相遇的時間為x，然后利用勾股定理列出方程即可．【詳解】解：設經x秒二人在C處相遇，這時乙共行AC=3x，甲共行AB+BC=7x，∵AB=10，∴BC=7x-10，又∵∠A=90°，∴BC2=AC2+AB2，∴(7x-10)2=(3x)2+102，故答案是：(7x-10)2=(3x)2+102．【考點】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出直角三角形．5、+24【解析】【分析】連結BD，可求出BD=6，再根據勾股定理逆定理，得出△BDC是直角三角形，兩個三角形面積相加即可．【詳解】解：連結BD，∵，∴，∵，，∴BD=6，∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，∴∠BDC=90°，S△ABD=，S△BDC=，四邊形ABCD的面積是=S△ABD+S△BDC=+24故答案為：+24．【考點】本題考查勾股定理以及逆定理，三角形的面積等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6、##【解析】【分析】根據題意，，進而求得，勾股定理求得，即可求得的面積．【詳解】解：折疊，，，，∵四邊形是正方形∴中．．故答案為：【考點】本題考查了折疊的性質，勾股定理，掌握勾股定理是解題的關鍵．7、5【解析】【分析】根據題意直接利用勾股定理得出杯子內的筷子長度，進而得出答案．【詳解】解：由題意可得：杯子內的筷子長度為：＝15，則木筷露在杯子外面的部分至少有：20?15＝5（cm）．故答案為5．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，正確得出杯子內筷子的長是解決問題的關鍵．8、【解析】【分析】過作，為垂足，通過已知條件可以求得，，從而求得，再根據直角三角形的性質，即可求解．【詳解】解：過作，為垂足，，又，，又，，在與中，，，，∴，在中，，設，則由勾股定理可得即解得故答案為．【考點】此題主要考查了三角形全等的證明方法和直角三角形的有關性質，利用已知條件合理構造直角三角形是解決本題的關鍵．三、解答題1、大櫻桃批發(fā)市場E應建在離A站20千米的地方【解析】【分析】由勾股定理兩直角邊的平方和等于斜邊的平方分別求出和，列等式求解即可．【詳解】解：設大櫻桃批發(fā)市場E應建在離A站x千米的地方，則千米．在直角中，根據勾股定理得：，∴，在直角中，根據勾股定理得：，∴．又∵C、D兩村到E點的距離相等，∴，∴，所以，解得．∴大櫻桃批發(fā)市場E應建在離A站20千米的地方．【考點】本題考查勾股定理的實際應用，掌握兩直角邊的平方和等于斜邊的平方是解題的關鍵．2、【解析】【分析】先由折疊可知EC=BC=2，進而可知AD=CE，通過全等三角形的角角邊判定定理可證明△ADF≌△CEF，由全等可知FE=DF，設FC為x，則FE=DF=4-x，根據直角三角形的勾股定理可列方程，從而計算出CF的長度，通過CF與AD的長度可計算出重合部分面積．【詳解】解：∵△AEC是由△ABC沿AC折疊后得到的，∴EC=BC=2，且∠E=∠B=90°，在△ADF與△CEF中，，∴△ADF≌△CEF（AAS），設FC=x，則FE=DF=4-x，在Rt△CEF中，由勾股定理可知：，∴，解得，∴，故折疊后重合部分的面積為．【考點】本題考查圖形折疊的相關性質，以及直角三角形的勾股定理的應用，以及全等三角形的判定，找到合適的條件，選擇適合的判定方法去證明全等三角形，利用勾股定理和方程思想列方程是解決本題的關鍵．3、尺【解析】【分析】設秋千的繩索長為x尺，根據題意可得AB=（x-4）尺，利用勾股定理可得x2=102+（x-4）2，解之即可．【詳解】解：設秋千的繩索長為x尺，根據題意可列方程為：x2=102+（x-4）2，解得：x=，∴秋千的繩索長為尺．【考點】此題主要考查了勾股定理的應用，關鍵是正確理解題意，表示出AB、AC的長，掌握直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．4、三角形為直角三角形,理由見解析【解析】【分析】這是一道有關勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答題．把已知條件寫成三個完全平方式的和的形式，再由非負數的性質求得三邊，根據勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀.【詳解】，，即．，，，，，．，，．，，該三角形為直角三角形．【考點】此題主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式.此題的關鍵就是靈活掌握完全平方公式的特點，用配方法進行恒等變形，在恒等變形的過程中不要改變式子的值.5、見解析【解析】【分析】根據大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積證明即可【詳解】解：由題意得大正方形面積，小正方形面積，4個小直角三角形的面積，∵大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面積，∴．【考點】本題主