遼寧省重點六校協(xié)作體2025-2026學(xué)年數(shù)學(xué)高三上期末達標測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若(1＋2ai)i＝1－bi，其中a，b∈R，則|a＋bi|＝()．A． B． C． D．52．已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，則（）A．b＜a＜c B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．a(chǎn)＜c＜b5．已知函數(shù)滿足，當時，，則（）A．或 B．或C．或 D．或6．已知，且，則的值為（）A． B． C． D．7．已知命題，且是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.若，的面積為，則（）A．5 B． C．4 D．169．《周易》是我國古代典籍，用“卦”描述了天地世間萬象變化．如圖是一個八卦圖，包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦（每一卦由三個爻組成，其中“”表示一個陽爻，“”表示一個陰爻）若從八卦中任取兩卦，這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為（）A． B． C． D．10．橢圓的焦點為，點在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．11．已知為圓的一條直徑，點的坐標滿足不等式組則的取值范圍為（）A． B．C． D．12．復(fù)數(shù)的虛部為（）A．—1 B．—3 C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體中，，E，F(xiàn)，G分別為的中點,點P在平面ABCD內(nèi)，若直線平面EFG，則線段長度的最小值是________________.14．甲、乙兩人同時參加公務(wù)員考試，甲筆試、面試通過的概率分別為和；乙筆試、面試通過的概率分別為和．若筆試面試都通過才被錄取，且甲、乙錄取與否相互獨立，則該次考試只有一人被錄取的概率是__________．15．設(shè)為偶函數(shù)，且當時，；當時，．關(guān)于函數(shù)的零點，有下列三個命題：①當時，存在實數(shù)m，使函數(shù)恰有5個不同的零點；②若，函數(shù)的零點不超過4個，則；③對，，函數(shù)恰有4個不同的零點，且這4個零點可以組成等差數(shù)列．其中，正確命題的序號是_______．16．已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點，則該雙曲線的離心率為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在△ABC中，分別為三個內(nèi)角A、B、C的對邊，且(1)求角A；(2)若且求△ABC的面積．18．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）求在點處的切線方程；（Ⅱ）已知在上恒成立，求的值.（Ⅲ）若方程有兩個實數(shù)根，且，證明：.19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點為線段上的點，過三點的平面與交于點.將①，②，③中的兩個補充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）以直角坐標系的原點為極坐標系的極點，軸的正半軸為極軸．已知曲線的極坐標方程為，是上一動點，，點的軌跡為．（1）求曲線的極坐標方程，并化為直角坐標方程；（2）若點，直線的參數(shù)方程（為參數(shù)），直線與曲線的交點為，當取最小值時，求直線的普通方程．21．（12分）在三棱柱中，，，，且.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)二面角的大小為，求的值.22．（10分）已知函數(shù)，．（1）當時，求不等式的解集；（2）若函數(shù)的圖象與軸恰好圍成一個直角三角形，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】試題分析：由已知，－2a＋i＝1－bi，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，有a＝－，b＝－1所以|a＋bi|＝，選C考點：復(fù)數(shù)的代數(shù)運算，復(fù)數(shù)相等的充要條件，復(fù)數(shù)的模2．D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式．3．C【解析】

求導(dǎo)，先求出在單增，在單減，且知設(shè)，則方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，再利用一元二次方程根的分布條件列不等式組求解可得.【詳解】依題意，，令，解得，，故當時，，當，，且，故方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，解得.故選：C.本題考查確定函數(shù)零點或方程根個數(shù).其方法：(1)構(gòu)造法：構(gòu)造函數(shù)(易求，可解)，轉(zhuǎn)化為確定的零點個數(shù)問題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定定義區(qū)間端點值的符號(或變化趨勢)等，畫出的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解；(2)定理法：先用零點存在性定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù).4．B【解析】

先利用冪函數(shù)的定義求出m的值，得到冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，再利用冪函數(shù)f（x）的單調(diào)性，即可得到a，b，c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴點（2，8）在冪函數(shù)f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴冪函數(shù)解析式為f（x）＝x3，在R上單調(diào)遞增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故選：B.本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì)，以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小，屬于中檔題.5．C【解析】

簡單判斷可知函數(shù)關(guān)于對稱，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，并計算，結(jié)合對稱性，可得結(jié)果.【詳解】由，可知函數(shù)關(guān)于對稱當時，，可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對稱，所以且在單調(diào)遞減，所以或，故或所以或故選：C本題考查函數(shù)的對稱性以及單調(diào)性求解不等式，抽象函數(shù)給出式子的意義，比如：，，考驗分析能力，屬中檔題.6．A【解析】

由及得到、，進一步得到，再利用兩角差的正切公式計算即可.【詳解】因為，所以，又，所以，，所以.故選：A.本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、二倍角公式以及兩角差的正切公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道基礎(chǔ)題.7．D【解析】

求出命題不等式的解為，是的必要不充分條件，得是的子集，建立不等式求解.【詳解】解：命題，即:，是的必要不充分條件，，，解得．實數(shù)的取值范圍為．故選：．本題考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍，其思路方法：(1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解．(2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗．8．C【解析】

根據(jù)正弦定理邊化角以及三角函數(shù)公式可得,再根據(jù)面積公式可求得,再代入余弦定理求解即可.【詳解】中,,由正弦定理得,又,∴,又,∴,∴,又,∴.∵,∴,∵,∴由余弦定理可得,∴,可得.故選：C本題主要考查了解三角形中正余弦定理與面積公式的運用,屬于中檔題.9．C【解析】

分類討論，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦；從僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦中取一個，再取沒有陽爻的坤卦，計算滿足條件的種數(shù)，利用古典概型即得解.【詳解】由圖可知，僅有一個陽爻的有坎、艮、震三卦，從中取兩卦滿足條件，其種數(shù)是；僅有兩個陽爻的有巽、離、兌三卦，沒有陽爻的是坤卦，此時取兩卦滿足條件的種數(shù)是，于是所求的概率．故選：C本題考查了古典概型的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于基礎(chǔ)題.10．C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．D【解析】

首先將轉(zhuǎn)化為，只需求出的取值范圍即可，而表示可行域內(nèi)的點與圓心距離，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.【詳解】作出可行域如圖所示設(shè)圓心為，則,過作直線的垂線，垂足為B，顯然，又易得，所以，，故.故選：D.本題考查與線性規(guī)劃相關(guān)的取值范圍問題，涉及到向量的線性運算、數(shù)量積、點到直線的距離等知識，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，是一道中檔題.12．B【解析】

對復(fù)數(shù)進行化簡計算，得到答案.【詳解】所以的虛部為故選B項.本題考查復(fù)數(shù)的計算，虛部的概念，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

如圖，連接，證明平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.當時.線段的長度最小，再求此時的得解.【詳解】如圖，連接，因為E，F(xiàn)，G分別為AB，BC，的中點，所以，平面，則平面.因為，所以同理得平面，又.所以平面平面EFG.因為直線平面EFG，所以點P在直線AC上.在中，，故當時.線段的長度最小，最小值為.故答案為：本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，考查立體幾何中的軌跡問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.14．【解析】

分別求得甲、乙被錄取的概率，根據(jù)獨立事件概率公式可求得結(jié)果.【詳解】甲被錄取的概率；乙被錄取的概率；只有一人被錄取的概率.故答案為：.本題考查獨立事件概率的求解問題，屬于基礎(chǔ)題.15．①②③【解析】

根據(jù)偶函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，利用已知中的條件作出偶函數(shù)的圖象，利用圖象對各個選項進行判斷即可.【詳解】解：當時又因為為偶函數(shù)可畫出的圖象，如下所示：可知當時有5個不同的零點；故①正確；若，函數(shù)的零點不超過4個，即，與的交點不超過4個，時恒成立又當時，在上恒成立在上恒成立由于偶函數(shù)的圖象，如下所示：直線與圖象的公共點不超過個，則，故②正確；對，偶函數(shù)的圖象，如下所示：，使得直線與恰有4個不同的交點點，且相鄰點之間的距離相等，故③正確．故答案為：①②③本題考查函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.16．【解析】

根據(jù)雙曲線方程，可得漸近線方程，結(jié)合題意可表示，再由雙曲線a，b，c關(guān)系表示，最后結(jié)合雙曲線離心率公式計算得答案.【詳解】因為雙曲線為，所以該雙曲線的漸近線方程為.又因為其一條漸近線經(jīng)過點，即，則，由此可得.故答案為：.本題考查由雙曲線的漸近線構(gòu)建方程表示系數(shù)關(guān)系進而求離心率，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）.【解析】

（1）整理得：，再由余弦定理可得，問題得解．（2）由正弦定理得：，，，再代入即可得解．【詳解】（1）由題意，得，∴；（2）由正弦定理，得，,∴.本題主要考查了正、余弦定理及三角形面積公式，考查了轉(zhuǎn)化思想及化簡能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析【解析】

（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（Ⅱ）求導(dǎo)分析函數(shù)的單調(diào)性,并構(gòu)造函數(shù)根據(jù)單調(diào)性分析可得只能在處取得最小值求解即可.（Ⅲ）根據(jù)（Ⅰ）（Ⅱ）的結(jié)論可知,在上恒成立,再分別設(shè)的解為、.再根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】（Ⅰ）由題,故.且.故在點處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)恒成立,故.設(shè)函數(shù)則,故在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增.又,即且,故只能在處取得最小值,當時，此時,且在上,單調(diào)遞減.在上,單調(diào)遞增.故,滿足題意；當時，此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；當時，此時有解,且在上單調(diào)遞減,與矛盾；故（Ⅲ）.由（Ⅰ）,在上單調(diào)遞減且,又在上單調(diào)遞增,故最多一根.又因為,,故設(shè)的解為,因為,故.所以在遞減,在遞增.因為方程有兩個實數(shù)根,故.結(jié)合（Ⅰ）（Ⅱ）有,在上恒成立.設(shè)的解為,則；設(shè)的解為,則.故,.故,得證.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值求解參數(shù)值的問題.同時也考查了構(gòu)造函數(shù)結(jié)合前問的結(jié)論證明不等式的方法.屬于難題.19．（1）；（2）.【解析】

若補充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結(jié)合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補充兩個條件，結(jié)果都一樣，以①②作為條件分析;（1）設(shè)，可得，進而求出梯形的面積，可求出，即可求出結(jié)論；（2），以為坐標原點，建立空間坐標系，求出坐標，由（1）得為平面的法向量，根據(jù)空間向量的線面角公式即可求解.【詳解】第一種情況：若將①，②作為已知條件，解答如下：（1）設(shè)平面為平面.∵，∴平面，而平面平面，∴，又為中點.設(shè)，則.在三角形中，，由知平面，∴，∴梯形的面積，，，平面，，，∴，故，.（2）如圖，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，設(shè)，則，由（1）得為平面的一個法向量，因為，所以直線與平面所成角的正弦值為.第二種情況：若將①，③作為已知條件，則由知平面，，又，所以平面，，又，故為中點，即，解答如上不變.第三種情況：若將②，③作為已知條件，由及第二種情況知，又，易知，解答仍如上不變.本題考查空間點、線、面位置關(guān)系，以及體積、直線與平面所成的角，考查計算求解能力，屬于中檔題.20．（1），；（2）.【解析】

（1）設(shè)點極坐標分別為,，由可得,整理即可得到極坐標方程,進而求得直角坐標方程；（2）設(shè)點對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，，將直線的參數(shù)方程代入的直角坐標方程中,再利用韋達定理可得，，則，求得取最小值時符合的條件,進而求得直線的普通方程.【詳解】（1）設(shè)點極坐標分別為，，因為,則，所以曲線的極坐標方程為，兩邊同乘,得，所以的直角坐標方程為,即