交大附中2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級數(shù)學(xué)期末一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）1.若直線：與直線：垂直，則實數(shù)的值等于.【答案】2.已知．若為偶函數(shù)，則.【答案】3.函數(shù)的最小正周期為.【答案】4.函數(shù)的定義域為.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，解得，所以函數(shù)的定義域為．5.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則.（結(jié)果用數(shù)值表示）【答案】6.*等差數(shù)列的前項和為，已知，，當(dāng)最大時，的值是.【答案】7.已知函數(shù)有零點(diǎn)，但不能用二分法求解，則實數(shù)c的值是.【答案】【解析】由題意知函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)同號，所以，解得．8.*在區(qū)間上，函數(shù)與圖像的公共點(diǎn)個數(shù)為.【答案】9.*若直線（常數(shù)）與曲線有兩個不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是.【答案】10.設(shè)無窮等比數(shù)列所有奇數(shù)項之和為，則等比數(shù)列所有項的和的取值范圍是.【答案】11.已知向量與滿足，且對一切，滿足，則的最大值為.【答案】【解析】已知，幾何意義可知，故，，在以為直徑的圓上，記（），則，當(dāng)時，取到等號，所以，的最大值為．12.平面上有三點(diǎn)到直線（、不全為）距離之和的最小值為________．【答案】【解析】調(diào)整法，先平移，證明直線必定過其中一點(diǎn)．再繞一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明必定經(jīng)過另外一點(diǎn)．從而必定與三角形最長邊重合．二、選擇題（本題共4小題，前2題每小題4分；后2題每小題5分，共18分．）13.“為銳角”是“”的（ ）.A．充分而非必要條件 B．必要而非充分條件C．充分必要條件 D．既非充分也非必要條件【答案】A14.*已知是圓：（）外一點(diǎn)，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）.A．相交 B．相切 C．相離 D．不能確定【答案】A15.*復(fù)數(shù)、分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、，若，則（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），是（ ）.A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．有一個銳角為的直角三角形【答案】C16.已知．有下列三個結(jié)論：①存在在第一象限，在第三象限．②存在在第二象限，在第四象限．③存在在第一象限，在第四象限．則（ ）.A．①②均正確 B．①③均正確C．②③均正確 D．①②③均不正確【答案】C三、解答題．（本大題共5小題，滿分78分．請寫出必要的證明過程或演算步驟）17.（本題滿分14分，第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）*已知單位向量、滿足，．（1）將、的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù)；（2）求函數(shù)的最大值及取得最大值時與的夾角．【答案】（1），．（2）的最大值為，．【解析】（1）平方得．，．（得6分，不寫或?qū)戝e定義域扣1分）（2），所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，所以的最大值為．（得4分）此時，．（得4分）18.（本題滿分14分，第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）已知，關(guān)于的實系數(shù)一元二次方程．（1）若方程的一個根大于，另一個根小于，求實數(shù)的取值范圍；（2）方程的兩根模均小于，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）．（2）．【解析】（1）由題意知兩個根均為實根，故，（后面錯給2分）（后面錯給3分），解得．故實數(shù)的取值范圍為．（得6分）（2）．情況一：，，方程有兩個實根．對稱軸為，故只需滿足，故．（得4分）情況二：，．方程有兩個共軛虛根，，故．（得4分）綜上，故實數(shù)的取值范圍為．（不并扣1分）19.（本題滿分14分，第（1）題滿分6分，第（2）題滿分8分）最近國際局勢波云詭譎，我國在某地區(qū)進(jìn)行軍事演練，如圖，、、是三個軍事基地，為一個軍事要塞，在線段上．已知，千米，到、的距離分別為千米、千米．以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，位于第一象限．（1）求兩個軍事基地間的距離；（2）若要塞正北方向距離要塞千米處有一處正在進(jìn)行爆破試驗，爆炸波生成小時時的半徑為千米（參數(shù)為大于零的常數(shù)），爆炸波開始生成時，一飛行器以每小時千米的速度自基地飛往基地，問參數(shù)控制在什么范圍內(nèi)，爆炸波不會波及到飛行器的飛行．【答案】（1）千米．（2）當(dāng)參數(shù)控制在時，爆炸波不會波及飛行器的飛行．【解析】（1）由題設(shè)得，直線方程為，（），由，且，解得，所以．（得2分）所以直線的方程為，即，聯(lián)立方程，解得，即，（得2分）所以，即基地間的距離為千米．（得2分）（2）設(shè)爆炸產(chǎn)生的爆炸波圓，由題意可得，爆炸波生成小時后，飛行在線段上的點(diǎn)處，則，，所以，（得2分）爆炸波不會波及飛行器的通行，即對恒成立．所以，（得2分）當(dāng)時，上式恒成立；當(dāng)時，整理得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，（得3分）所以在時，恒成立，亦即爆炸波不會波及飛行的通行．當(dāng)參數(shù)控制在時，爆炸波不會波及飛行器的飛行.（得1分）20.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）已知，其中為正整數(shù)．（1）當(dāng)時，求方程的解集；（2）若是偶函數(shù)，當(dāng)取最小值時，求的取值范圍；（3）若是常數(shù)函數(shù)，求的值．【答案】（1）或（2）（3）【解析】（1）當(dāng)時，，（得2分）由得：，解得，或，即或，，故所求方程的解集為或．（得2分，未寫解集扣1分）（2）的定義域為，由是偶函數(shù)得：任取，有且，即，所以，從而，進(jìn)而，所以為正奇數(shù)，當(dāng)取最小值即時，，（得2分）所以，（），令，（），則，且，所以函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為，且的值域（得2分）對稱軸，所以在及上單調(diào)遞減，在及上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，取得最小值；當(dāng)時，取得最大值；又當(dāng)時，，當(dāng)時，；故函數(shù)的取值范圍為．（得2分，未挖點(diǎn)扣1分）（3）因為任取且，，所以若是常數(shù)函數(shù)，則．（得1分）①當(dāng)時，由（1）知，，不是常數(shù)函數(shù)；（得1分）②當(dāng)時，，此時，，不是常數(shù)函數(shù)；（得1分）③當(dāng)時，，所以是常數(shù)函數(shù)；（得3分）④當(dāng)時，，不是常數(shù)函數(shù)；（得2分）綜上所述：．21.（本題滿分18分，第（1）題滿分4分，第（2）題滿分6分，第（3）題滿分8分）無窮數(shù)列．定義集合存在正整數(shù)，使得且，集合存在正整數(shù)，使得且．（1）已知，請直接寫出集合、；（2）已知，，若，求的取值范圍；（3）已知為無限集，求證：“是增數(shù)列”的充要條件是“且”．【答案】（1）見解析（2）（3）證明見解析【解析】（1），（得2分）．（得2分）（2）由于，故，從而為數(shù)列最大項．反之，為數(shù)列最大項．任取，則存在，必然不是數(shù)列最大項，故必有，從而，即．（證明得2分）所以的充要條件是為數(shù)列最大項．（出現(xiàn)得2分）由周期性，只需考慮的情況，利用單位圓可知，故的取值范圍．（得2分，開閉問題扣1分）（3）必要性：是增數(shù)列，任取且，下證，．由單調(diào)性，一切，有，，故．（得1分）假設(shè)，則