2024?2025學年安徽省六安九中九年級(上)期末數(shù)學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.二次函數(shù)y=3(x-的頂點坐標是()

A.(0,-1)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,0)

2.己知。。的半徑為10,OP=6,則點P與。。的位置關(guān)系是()

A.點P在。。內(nèi)B.點尸在。0上C.點P在。0外D.不確定

3.如圖，若點C是線段的黃金分割點(AC>8C),AB=4cm,貝的長為()

I_______________I__________I

ACB

A.(VT-l)cmB.(2x/-5-2)cmC.(V-5+l)cmD.(2-/5+2)cm

4.在中，Z.C=90°,若△的三邊都放大2倍，則cos4的值()

A.縮小2倍B.放大2倍C.不變D.無法確定

5.已知尸］，那么呼=()

A.1B.C.|D.一看

6.如圖，點A、B、C均在正方形網(wǎng)格的格點上，則tan4B/IC=()

A4

C：

D在

5

7.如圖，在△ABC中，點D、E、尸分別是邊48、AC.BC上的點，DE//BC,EF//AB,且AD：DB=3：

5,那么CF：C4等于（）

A.3：8

B.3：5

C.5：8

D.2：5

8.如圖，在O0中，力8是弦，C是弧A3上一點.若408力=25。，Z-BOC=30°,則40力。的度數(shù)為()

A.30°

B.10°

C.40°

D.50°

9.二次函數(shù)y=ax2+c與反比例函數(shù)y=￡(acH0)在同一平面直角坐標系中的大致圖象可以是()

10.如圖，在RtA/BC中，ZC=90°,24=30。，AB=8,0是斜邊4B的中點，以點。為圓心的半圓與AC

相切于點。，交AB于點E、F,則圖中陰影部分的面積為()

A.2/3-1?r

J

C.3/3-|TI

D./3+^n

J

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

11.比較大?。簊in47°si/i43。.(填“>”，"=”或“V”1

12.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分々BAD,zfi=^ACD,AB=6,AD=

3,則力C的長為_____.

13.如圖，48是半圓。的直徑，C,。是半圓上的兩點，且滿足乙4DC=118。，連

接OC,則的度數(shù)為一

14.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象經(jīng)過點(6,c),向左平移t(C>0)個單位長度后得到新拋物線.

(1)拋物線y=ax2+bx+c(a<0)的對稱軸為直線x=:

(2)若新拋物線有P(2t,y])，Q(2￡+2/2)兩點，且%>%，則t的取值范圍為______.

三、解答題：本題共9小題，共90分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題8分)

計算：tcm60°+整寡一cos300.

2sm30

16.(本小題8分)

如圖，在△ABC中，EF//CD,DE〃BC.求證：AF：AD=AD：AB.

17.(本小題8分)

如圖，線段48經(jīng)過圓心0,交。0于點4、C,28=30。，直線8。與。。切于點。，求乙4ZM的度數(shù).

18.(本小題8分)

中國面食文化至今已有兩千多年的歷史(面條在東漢稱之為“煮餅”).廚師將一定質(zhì)量的面團做成拉面時,

面條的總長度y(m)是面條橫截面面積S(mm2)的反比例函數(shù)，其圖象經(jīng)過4(4,32),B(a,80)兩點(如圖).

(1)求y與S之間的函數(shù)關(guān)系式及Q的值;

(2)某廚師拉出的面條最細時的橫截面面積不超過0.8mm2,求這根面條的總長度至少有多長.

S/mm'

19.(本小題10分)

在如圖的方格紙中，△。14當與△0AB是關(guān)于點P為位似中心的位似圖形.

(1)在圖中標出位似中心P的位置.；

明理由.（參考數(shù)據(jù):s出35。70.5736,cos35°?0.8192,tan35°?0.7002）

圖1圖2

22.(本小題12分)

某超市以30元/千克的價格購進一批草莓，如果以35元/千克的價格銷售，那么每天可售出300千克；如果

以40亓/T?克的價格銷伙:，那么每天可轉(zhuǎn)出200千克，根據(jù)銷代:經(jīng)驗可以知道，每天的銷件最火千?克)與銷

售單價式元)(%>30)存在一次函數(shù)關(guān)系.

(1)請你直接寫出y與工之間的函數(shù)關(guān)系式為；(不用寫出自變量的取值范圍)

(2)設(shè)該超市銷售草壽每天獲得的利潤為w元，求當銷售單價為多少時，每天獲得的利潤最大，最大利潤是

多少？

(3)如果物價局規(guī)定商品的利潤率不能高于40%,而超市希望每天銷售草莓的利潤不低于1500元，請你幫

助超市確定這種草莓的銷售單價x的范圍.

23.(本小題14分)

(1)如圖①，在矩形A8CD中，E為AB邊上一點,連接DE,過點E作EF1DE交BC于點F.

【探究證明】①求證：△AEDshBFE：

【特例分析】②若力B=10,AD=6,E為48的中點,求8F的長.

【衍生拓展】(2)如圖②，在△力BC中，乙笈4c=90。，AB=6,AC=8,。是BC的中點，射線。E,。戶分

別交48,力C于點E,F,且4ED/二90。，求器的值.

圖①圖②

答案解析

1.【答案】D

【解析】解：由題意可得：函數(shù)為y=3(x—l)2,

???可得出頂點坐標是(1,0),

故選：D.

根據(jù)二次函數(shù)y=3(%-1)2,得出頂點坐標是(1,0),即可作答.

本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，正確計算是解題關(guān)鍵.

2.【答案】A

【解析】解：丫。。的半徑為10,OP=6,10>6,

???點P在0。內(nèi).

故選：A.

直接根據(jù)點與圓的位置關(guān)系解答即叫.

本題考查的是點與圓的位置關(guān)系，熟知點與圓的位置關(guān)系有3種，設(shè)。。的半徑為「，點P到圓心的距離

OP=d,則有：①點P在圓外=d>r；②點P在圓上=d=r；①點P在圓內(nèi)=d<r是解題的關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】解：由條件可知俳=竽，

AB2

vAB=4cm,

:,—AC=-\f-~-5--l

42

/.AC=2V~5—2(cm),

故選:B.

根據(jù)黃金分割的定義列比例式即可求解.

本題考查黃金分割的定義“把一條線段分成兩部分，使其中較長的線段為全線段與較短線段的比例中項,

這樣的線段分割叫做黃金分割，它們的比值手叫做黃金比”，理解黃金分割的概念是解題關(guān)鍵.

4.【答案】C

【脩析】解：???三角形三邊都放大2倍,

???乙4的對邊與斜邊同時放大2倍,

.44的對邊

：?cosA=———

斜邊

C9S4的值不變.

故選：c.

在直角三角形中344=’券邊,因為三角形三邊都放大2倍，所以41的對邊與斜邊同時放大2倍，它們

斜邊f(xié)

的比值仍然不變.

本題考查了銳角三角函數(shù)，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.【答案】D

【解析】解：平=11,

a3

'Jd=5>

原式=|-1=-|,

故選：D.

將原式變形為然后代入求解即可.

0

本題考查了分式的運算；根據(jù)分式的運算法則正確拆分是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】C

【脩析】解?：設(shè)正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1,如圖所示：

根據(jù)勾股定理得：AC=V32+32=3y/~2^CD=VI2+l2=BD=Vl2+I2=

二AD=AC-CD=2，I，

又；CD24-BD2=4,BC2=4,

CD2+BD2=BC2,

.??△8C。是直角三角形，

:?乙BDC=Z-BDA=90°,

在中，tanz.BAC=

故選：C.

設(shè)正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1,根據(jù)正方形網(wǎng)格的特點及勾股定理得8C=2,AC=3/3，

CO=，I,BD=y[2,則/。=2口，再根據(jù)勾股定埋的逆定埋得△是直角二角形，然后在Rt△48。

中，根據(jù)正切函數(shù)的定義可求出tanzB力C的值.

此題主要考查「解直角三角形，熟練掌握網(wǎng)格的特點，三角函數(shù)的定義及勾股定理是解決問題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：???OE〃BC,EF//ABt

AE：EC=AD：DB=BF：CF=3：5,

ACF：CB=5：8,

故選C

由DE〃BC,可得黑償=俱再結(jié)合Er〃48可得益二能進而可求得Cr：CB.

UDUDCLCULr

本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段中的線段對應成比例是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：???OB=0A,

???△0A8是等腰三角形，

?:乙OBA=25°,

Z.OAB=25°,

???N8。。和4B4C所對應的弧均為EC,

AZ.BAC=\z-BOC=15°,

ZLOAC=WAB+ABAC=40°.

故選：c.

根據(jù)同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于圓心角的一半進行作答.

本題考查了等腰三角形、圓的性質(zhì)、以及圓周角定理，熟練掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】A.；QV0,c>0,

ac<0,

.??反比例函數(shù)的圖象應該分別位于二、四象限，故選項錯誤，不符合題意；

Bya<0,c<0,

二or>0,

.??反比例函數(shù)的圖象應該分別位于一、三象限，故選項錯誤，不符合題意：

C.va>0?c<0,

ac<0,

???反比例函數(shù)的圖象應該分別位于二、四象限，故選項正確，符合題意；

a>0,c>0,

ac>0,

???反比例函數(shù)的圖象應該分別位于、三象限，故選項錯誤，不符合題意；

故選：C.

根據(jù)二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)進行判斷即可得解.

本題主要考查了二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與函數(shù)圖象的關(guān)系是解決本題的關(guān)

鍵.

10.【答案】D

【解析】解：連接0。，過點。作DG_LA8于點G,

???/月=30。，AB=S,。是斜邊AB的中點，以點。為圓心的半圓與4c相切于點。，

???44。0=90°,/.AOD=60°,OA=8=4,

:.GD=10/1=1x4=2,Z.FOD=120°,

GD=OE=OF=2,

DG=ODsin600=6,AD=04cos30。=20，

22

.?.陰影部分的面積為：,0?。。一絲票+12。鬻2一打。5

23603602

=\行+|兀，

所以陰影部分的面積為C+,加

故選:D.

連接。D,過點。作DGJ?48于點G,利用分割法，計算面積即可.

本題考查了含30度角的直角三角彩，扇形的面積的計算，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握

直角三角形的性質(zhì)，扇形面積公式是解題的關(guān)鍵.

II.【答案】>

【解析】解：0。<43°<47°<90°,

sin43°<sin470,

即sin47°>stn430,

故答案為：>.

根據(jù)正弦函數(shù)是0。?90。范圍內(nèi)是單調(diào)遞增的，即可得到結(jié)果.

本題考查了三角函數(shù)的大小，熟練理解銳角三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】3/2

【解析】解：由條件可知/8力。=4以!。，

，：乙B=Z.ACD,

???△BACs〉CAD,

tAB_AC

'?AC=AD，

AC2=ABAD=18,

AC=3/2.

故答案為：3/2.

根據(jù)兩個角對應相等的兩個三角形相似，證明△BACSACAD,然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到嚕=系

ACAD

再將48=6,40=3代入計算，即得答案.

本題考杳了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.【答案】56

【解析】解：???四邊形力BCD是圓內(nèi)接四邊形，Z-ADC=118°,

:.=180°-Z-ADC=180°-118°=62°,

GB=OC,

:.Z.OCB==62°,

乙BOC=180°-Z,B-Z,OCB=180°-62°-62°=56°.

故答案為：56.

先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出的度數(shù)，再由等腰三角形的性質(zhì)得出ZOCB的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理得出，80C的度數(shù)即可.

本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓內(nèi)接四邊形的對角互補；三角形內(nèi)角和是

180。是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】3；0<1<|.

【解析】解:(1)?:當x=0時y=ax2+bx+c=c,

.,.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a<0)的圖象過(0,c),

二拋物線y=ax2+bx+C(Q<0)的對稱軸是直線％==3,

故答案為：3；

(2)由條件可知新拋物線的對稱軸是直線％=3-3

???拋物線開口向下，

二拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越大，

???”>乃，

二尸離新拋物線的對稱軸比Q離新拋物線的對稱軸遠，

???PQ的中點在對稱軸的左側(cè)，

2t+2t+2/,

???——<o3-3

???t>0,

2

A0<t<—>

故答案為：0<t<1.

(1)根據(jù)當x=0時y=ax2+bx+c=c和拋物線經(jīng)過點過(6,c),可知點(O,c)和(6,c)關(guān)于對稱軸對稱，可

知拋物線的對稱軸是直線x=誓=3；

(2)根據(jù)拋物線向左平移￡?>0)個單位長度，可知平移后新拋物線的對稱軸是直線％=3-匕根據(jù)%>為

可知點P離新拋物線的對稱軸比Q離新拋物線的對稱軸遠，所以可得PQ的中點在對稱軸的左側(cè)，從而得到

不等式茲磬<3-如解不等式求出t的取值范圍.

本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì).解決木題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的圖象的對稱性求出拋物線的對

稱軸，再根據(jù)拋物線上的點離對稱軸越近函數(shù)值越大，確定點P、Q與對稱軸距離的遠近.

15.【答案】苧+1.

【解析】解：原式=C+工一孚

2x12

L/3

=\^3+1----

=*+】?

把特殊角的三角函數(shù)值代入計算得到答案.

本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】證明：vEF//CD,

??LAEF=Z.ACD,Z.AFE=Z.ADC,

:心AEFs〉A(chǔ)CD,

AFAEr-y

?,而=而0

vDE//BC,

二Z.AED=Z.ACB,乙ADE=Z.ABC,

ABC,

AD_"合

48一AC⑵'

由①②得：AD_AE

~AB~~AC'

即":AD=AD：AB.

【解析】由ET//C。，OE//BC可得至IJA/IEFS△/c。，^ADE^^ABC,由相彳以三角形的性質(zhì)即可得證.

本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鋌是掌握相似三角形的對應邊成比例.

17.【答案】解：如下圖,連接。0,

???8。是。。的切線，。為切點,

乙BDO=90°,

???LB=30°,

???Z.DOB=60°,

v0A=0D,

z/1=4ADO=\LB0D=1x60°=30°,

Z.ADB=180°-Z-B-LA=180°-30°-30°=120°,

Z.ADB=120°.

【解析】連接0D，根據(jù)切線的性質(zhì)得到乙。DB=90。，進而求出NDOB,再根據(jù)圓周角定理求出/力，最后

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求得答案.

本題考查圓的切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，圓周角定理，熟練掌握以上知識點是關(guān)鍵.

18.【答案】y=胃(5>0),a=1.6；

面條的總長度至少為160m.

【脩析】解?：(1)設(shè)y與X之間的函數(shù)表達式為：y=i(S>0),

由條件可得：k=128,

??.y與S之間的函數(shù)表達式為：y=^(S>0)：

將(a,80)代入y=增可得a=1.6；

(2)由條件可U.o知160,

故面條的總長度至少為160m.

(1)設(shè)y與％之間的函數(shù)表達式為：y=^(S>0),將(4,32)代入匕得解析式，再把將(a,80)代入解析式可得

Q的值；

(2)廚師做出的面條橫截面面積不超過0.8mm2,可得列式得y之需=160,解不等式即可.

U.o

本題主要考查反比例函數(shù)的運用，求不等式的解集，掌握待定系數(shù)法求解析式，反比例函數(shù)怪象的性質(zhì)，

求不等式的解集是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】10

【解析】解：(1)如圖所示，點:P即為所求；

(2)如圖所示,△。力2%即為所求；

(3)???在第三象限畫出△。/18的一個位似△

-----——?

OA2B2f使它與aO/lB的位似比為2：1,:

???△。必為的面積：△048的面積=4：1,

???SAOAB的面積為2.5,

???△。4/的面積10，

故答案為：10.

(1)分別連接。1。、并延長交于點P,則點P即

為所求；

(2)根據(jù)位似圖形的性質(zhì)作出圖形即可；

(3)根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求解即可.

本題考查了作圖-位似變換，三尼形的面積，熟記位似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】20；

45°.

【蟀析】（1）設(shè)。。的半徑是r,則。0=0B=r,

:.0E=r—4,

???直徑481CD,

1

X6夕

2-=

???GD2=OE2+DE2,

r2=(r-4)2+82,

???r=10,

.?.0。的直徑為2r=20；

(2)vZ.BOD=24M,匕0=24M,

???Z.BOD=Z.D,

AB1CDf

???WED=90°,

.?.△OED是等腰直角三角形，

zD=45°.

(1)設(shè)O。的半徑是r,由垂徑定理得到OE=：CD=8,由勾股定理得到產(chǎn)=0-4)2+82,求出r=10,

即可得到O。的直徑長；

(2)由圓周角定理得到乙8。。=2/M,因此乙8。0=匕。，判定aOE。是等腰直角三角形，得到=45。.

本題考查垂徑定理，勾股定理，圓周角定理，關(guān)鍵是由勾股定理，垂徑定理列出關(guān)于r的方程，由圓周角

定理推出=24M.

21.【答案】解：（1）如圖，過點。作。Q1PE,垂足為Q,

M

P

DQ

EN

圖1圖2

由題意可知，LADC=45°,PE=1.2米，QE=0.2米,

在中，/-PDQ=45°,PQ=1.2-0.2=1（米）,

DQ=PQ=1（米）,

^PF=AB-DQ=3-1=2（米）,

即點P到MN的距離Pr的長為2米;

（2）當乙4DC=35°,PE=L6米時,

則，。PQ=35°,

PQ=1.6-0.2=1.4（米）,

:.DQ=PQ?tan3S0~1.4x0.7002=0.9803（米）,

APF=3-0.9803x2.02（米）,

???2.02>1.8,

能通過.

【解析】（1）在RtaPDQ中，由NPDQ=45。，DQ=PQ=1,進而求出尸P即可;

（2）當乙4DC=36。，PE=1.6米時，求出P/，與1.8米比較即可得出答案.

本題考查解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

22.【答案】y=-20x4-1000；

當x=40時，w取得最大，w&/.=2000元;

銷售這種草蔣的俏售單價”的范圍為35<x<42.

【解析】（1）設(shè)y與％之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b,

將（35,300）、（40,200）代入，得｛黑：七歌

解得.代=一20

艇信.L=1000

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-20x+1000,

故答案為：y=-20x4-1000：

(2>=(x-30)(-20x+1000)=-20/+1600%-30000

=-20(%-40)24-2000

V-20<0,

.,.當％=40時，w取得最大，w友人.=2000元；

(3)由題意得-20/+i600x-30000>1500,

解得：35<%<45,

又?.物價局規(guī)定商品的利潤率不能高于40%,

(r-30)4-30<40%,

x<42,

綜上可得：35W%W42,

答：銷售這種草莓的銷售單價工的范圍為35WxW42.

(1)設(shè)y與文之間的函數(shù)關(guān)系式為y=依+小將(35,300)、(40,200)代入，可得出入b的值，繼而得出y與3

的函數(shù)關(guān)系式；

(2)每天的總利潤=每天的銷量x每千克的利潤，從而可得w關(guān)于x的表達式，利用配方法求解最值即可；

(3)根據(jù)利潤不低于1500元，可求得x的取值范圍，再由利潤率不能高于40%,可最終確定這種草蕉的銷售

單價x的范圍.

本題考查了一次函數(shù)，二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是仔細審題，得出利潤w與