專題12等邊三角形的性質(zhì)和證明（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：10（）分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難

試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？?，壓軸類問

題逃行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)

化必備！適合成績(jī)中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（本題2分）（2024秋?河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，邊長(zhǎng)為〃的等邊中，肝是AC上中

線且〃，點(diǎn)。在即上，連接A。，在4。的右側(cè)作等邊V4OE,連接石尸，則△AM周長(zhǎng)的最小值是

（）

12113

A.-aH—bB.-a+bC.a+—bD.-ci

23222

2.（本題2分）（2025春?陜西西安?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在RlAABC中，ZACB=90°,ZA=60°,人4=4,

將朗8C繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到此時(shí)點(diǎn)A恰好落在/W邊E,則點(diǎn)"與點(diǎn)8之間的距離為

（）

3.（本題2分）（2024秋?山西陽(yáng)泉?八年級(jí)校考期末）如圖，AZMC和△E8C均是等邊三角形，AE,BD

分別與C。，CE交于點(diǎn)M,N,有如下結(jié)論：①②CM=OV；③AC=DN；其中正確結(jié)論

的個(gè)數(shù)是（）個(gè).

D

'N

------f-----------

A.3B.2C.ID.0

4.（本題2分）（2025春?遼寧大連?八年級(jí)期末）如圖，矩形A8c。中，。為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線

分別與48,CD交于點(diǎn)、E,F,連接W?一交AC于點(diǎn)M,連接。E，BO.若NCO8=60。，F(xiàn)O=FC,則下

列結(jié)論①E8_LOC；@OM=CM；③AEOB/ACMB,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

5.（本題2分）（2025春?廣西河池?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等邊三角形，尸是內(nèi)一點(diǎn)，PD//AB,

PE//BC.PF//AC,PD+PE+PF=6,則“8c的周長(zhǎng)是（）

A.12B.18C.24D.30

6.（本題2分）（2025春?廣東梅州?八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在等邊中，。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)P,

Q分別為A8,4。上的點(diǎn)，BP=AQ=3,QO=2,在80上有一動(dòng)點(diǎn)E,則依+Q￡的最小值為（）

A.7B.8C.9D.10

7.（本題2分）（2025春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形ABC。中，。為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直

線分別與A4、CD交于點(diǎn)E、F,連接M交4c于點(diǎn)連接BQ若,FO=FC,則下列結(jié)論，其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

?FB1.OC,OM=CM；

②XEQBWMMB：

③四邊形反皿是菱形；

C.3個(gè)D.4個(gè)

8.（本題2分）（2025春?安徽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形48co中，E為3C邊的中點(diǎn)，沿OE對(duì)折矩

形，使點(diǎn)。落在C處，折痕為DE,延長(zhǎng)。。交A8于點(diǎn)R連接8C并延長(zhǎng)交A。于點(diǎn)G,連接CC.給

出以下結(jié)論：①四邊形3EOG為平行四邊形；②/ECC=/BCF；③GC=GD；④C為5G的中點(diǎn).其中

正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

9.（本題2分）（2025春?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形A8CO中，AE平分NBA。，交8c

于點(diǎn)E,且AB=A￡,延長(zhǎng)人B與/）月的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)尸，下列結(jié)論中：①△4B&AE4O：②^ABE是等

邊三角形；@AD=BF;④S.0cE=Sg⑤S,eSa⑥S.CEF=5Z，正確的有（）

13.（本題2分）（2025春?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片48CZ）中，BC=3G,將矩形紙

片翻折，使點(diǎn)C恰好落在對(duì)角線交點(diǎn)。處，折痕為跖,點(diǎn)E在邊C。上，則CE的長(zhǎng)為

14.（本題2分）（2025春?江蘇鎮(zhèn)江?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCO中，AC=2,E、

F分別為4。、。。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且8￡+DF=2,則線段族的取值范圍為

B

15.（本題2分）（2025春?廣東汕頭?八年級(jí)統(tǒng)考期末）菱形A8CQ,點(diǎn)4,B,C,O均在坐標(biāo)軸上，ZABC=120°,

點(diǎn)爾-6,0）,點(diǎn)E是C￡＞的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則△尸”:周長(zhǎng)的最小值是

16.（本題2分）（2025春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形A8C。中，AO=4,AB=m,E、尸分

別在邊BC、CD1.,并且AAEF為等邊三角形，則m的取值范圍為，若點(diǎn)G是邊AB上的一點(diǎn)，且G4=2,

則隨著機(jī)的變化，灰的最小值為.

17.（本題2分）（2024秋?廣東廣州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（/、與點(diǎn)A,E

重合）,在AE同側(cè)分別作等邊三角形A8C和等邊三角形C￡>E,AD與BE交于點(diǎn)、O,AD與BC交于點(diǎn)P,

BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸Q.以下結(jié)論：①4）=8E；②PQ"AE?、③408=60。；④尾也是等邊三

角形；⑤8Q=AB.恒成立的是.

18.（本題2分）（2025春?四川成都?八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，/5C是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，延長(zhǎng)AC

至點(diǎn)P，使得CP=I,點(diǎn)E在線段A4上，且連接PE,以PE為邊向右作等邊！PEF,過點(diǎn)E

作交石4的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，點(diǎn)N為M/的中點(diǎn)，則四邊形AEPN的面積為.

/

19.（本題2分）（2025春?四川達(dá)州?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊△48C,尸是邊AC的

中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段B尸上的動(dòng)點(diǎn)，連接4。，在A。的右側(cè)作等邊△人?！?連接C。、CE、EF,則以下結(jié)

論：①8/_LAC；②/DEC=/DCE；?AE=CDx④△AOE的周長(zhǎng)最小值為9：⑤當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí),

ZAFE=60°.其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）.

A

2025春?福建福州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在菱形A8C力中，AB=2舊,N/SC=60。，點(diǎn)E為對(duì)角線80上

一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），且BEc^BD,連接CE交。4延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

②當(dāng)△人砂為直角三角形時(shí)，BE=2；

③當(dāng)AAE廣為等腰三角形時(shí)，NA尸C=20?；蛘逳AFC=40。；

④連接班當(dāng)BE=CE時(shí),尸C平分/AfB.

以上結(jié)論正確的是（填正確的序號(hào)）.

三、解答題：本大題共7小題，21?25題每小題8分，26.27題每小題10分，共60分.

21.（本題8分）（

2025春?福建漳州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在RtA48C中，Z4CT=90°,N4AC=30。，將A/WC繞點(diǎn)8按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)。得到△O3E.連接4DCE,延長(zhǎng)瓦?交AO于點(diǎn)尸.

AA

（I）當(dāng)&=60。時(shí)，如圖1,

①求乙4c6的度數(shù)；

②求證：AF=DF.

⑵當(dāng)60。＜儀＜120。時(shí)，如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，試探究AF與。尸是否仍然相等，若相等，請(qǐng)說明理由；若

不相等，請(qǐng)求出它們的數(shù)量關(guān)系.

22.（本題8分）（

2025春.遼寧鞍山?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在RtZ\A8C中，ZBAC=90°,ZABC=30°,AC=2,點(diǎn)。是3c

邊中點(diǎn)，連接AD,過點(diǎn)8作8七〃A。，過點(diǎn)A作AE〃8C；

（1）判斷四邊形AO8E的形狀，并證明結(jié)論；

⑵點(diǎn)"是線段跖上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，且8M=AN,連接MN交AO于點(diǎn)P,若四邊形

冷是平行四邊形時(shí)，求BM的值，并計(jì)算此時(shí)MN的長(zhǎng)度.

23.（本題8分）（

2025春?甘肅武威?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，菱形A8CO的對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作。后〃AC

且=連接CE、OE,連接AE交。。于點(diǎn)尸.

（1）求證：OE=CD；

（2）若菱形ABCO的邊長(zhǎng)為2,ZABC=60°,求4E的長(zhǎng).

24.（本題8分）（

2025春?四川達(dá)州?八年級(jí)校考期中）（1）閱讀理解：如圖1,等邊三角形內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)P到頂點(diǎn)

AB,C的距離分別為3,4,5,求/AP5的大小.

圖1圖2圖3

思路點(diǎn)撥：考慮到PAPBPC不在一個(gè)三角形中，采用轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，可以將△AB尸繞頂點(diǎn)A逆

時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。到△ACP處，連接PP，,這樣，就可以利用全等三角形的知識(shí)，并結(jié)合

己知條件，將三條線段E4,PB,PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出ZAP8=；

（2）變式拓展：請(qǐng)你利用第（1）問的方法，解答下面問題：

如圖2,在aABC中，ZCAB=90°,AB=AC,E,/為3c上的點(diǎn)且/叢產(chǎn)=45。，BE=12,CF=5,求放

的長(zhǎng)度；

（3）能力提升：如圖3,在RIZX48C中，ZACT=90°,AC=3,NA/3C=30。，點(diǎn)。為內(nèi)一點(diǎn)，

連接AO,BO,CO,且N4OC=NC（M=N5Q4=120。，則O4+O4+OC=（直接寫出答案）.

25.（本題8分）（

2024秋?廣東惠州,八年級(jí)校考階段練習(xí)）在拓展課上，小林用圓規(guī)以點(diǎn)A為圓心，A8長(zhǎng)為半徑畫弧8C,

使得NBAC=6O0,第二次同樣按逆時(shí)針畫圓弧到。點(diǎn)，設(shè)NC4O=a（0o<avl20。），顯然AB=AC=4￡）,

連接CD.

（1）如圖1,連接8。.

BA

②在第二次畫圓弧過程中，請(qǐng)?zhí)骄?。的大小是否改變？若不改變，求出N8OC的度數(shù)；若改變，請(qǐng)說

明理由；

(2)如圖2,若以4B為斜邊作使得4=NACD,連接CE,DE,若NEDC=15。,試判斷△AC。

的形狀，并說明理由.

2025春?河北承德?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，矩形/WCZ)中，分別以對(duì)角線4。的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于;BD

長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M,N,連接歷N分別交八/5,BC于點(diǎn)、E,F,交BD于點(diǎn)、O,連接bE、DF.

(1)求證：△BOFMADOE；

⑵求證：四邊形瓜如是菱形；

(3)若NA8E=30。，EF=4,京攢寫出矩形A8CO的周長(zhǎng)和面積.

27.(本題10分)(

2024秋?山西大同?八年級(jí)大同一中?？茧A段練習(xí))綜合與實(shí)踐

問題情境：已知在等邊△A6C中，P是邊AC上的一個(gè)定點(diǎn)，M是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在PM的

右側(cè)作等邊△PMN，連接CN.

I

猜想證明：

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)M在8c邊上時(shí)，過點(diǎn)P作丹/〃AB交BC于點(diǎn)H,試猜想CP,CN,CM之間的數(shù)量關(guān)

系，并說明理由.

問題解決：

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)用在CB的延長(zhǎng)線_￡時(shí)，已知CP=8,CM=17,請(qǐng)直接寫出CN的長(zhǎng).

（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)M在8c的延長(zhǎng)線上時(shí)?，（I）中的猜想是否依然成立？若成立，請(qǐng)說明理由；若不成立,

請(qǐng)寫出正確的猜想并在圖中作出證明所需要的輔助線（無(wú)需尺規(guī)作圖，但需標(biāo)出字母并用語(yǔ)言描述）.

專題12等邊三角形的性質(zhì)和證明（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）

試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：較難

試卷說明：本套試卷結(jié)合人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)同步章節(jié)知識(shí)點(diǎn)，精選易錯(cuò)，?？?，壓軸類問

題進(jìn)行專題匯編！題目經(jīng)典，題型全面，解題模型主要選取熱點(diǎn)難點(diǎn)類型！同步復(fù)習(xí)，考前強(qiáng)

化必備！適合成績(jī)中等及偏上的學(xué)生拔高沖刺。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.（本題2分）（

2024秋?河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，邊長(zhǎng)為〃的等邊中，8尸是AC上中線且8/=/?,點(diǎn)。在

BF上,連接4。，在A。的右側(cè)作等邊VA。石，連接￡7、則AAEb周長(zhǎng)的最小值是（）

A

\2113

A.—a+—bB.—a+bC.a+—bD.—a

23222

【答案】B

【分析】由題意等邊三角形性質(zhì)和全等三角形判定得出△84）^2\C4￡（SAS）,進(jìn)而作點(diǎn)八關(guān)于直線C￡?的

對(duì)稱點(diǎn)連接交CE于E,此時(shí)AE+此的值最小，最后依據(jù)△/1痔周長(zhǎng)的最小值

?/^ABC,AADE都是等邊三角形，

/.AB=AC=a,AD=AE,ZBAC=ZDAE=ZABC=

???^BAD=ZCAE

??.△BA￡>^AC4E(SAS)

ZABD=ZACE

VAF=CF=-a,BF=b

2

ZABD=ZCBD=ZACE=30°,BF_LAC

???點(diǎn)'E在射線CE上運(yùn)動(dòng)(NACE=30°),

作點(diǎn)4關(guān)于直線CE的對(duì)稱點(diǎn)M,連接FM交CE于E',此時(shí)AE+用的值最小,

VC4=CM,ZACM=60°

???zMCM是等邊三角形，

/.AM=AC

BF1AC

???FM=BF=b

???ZkA"周長(zhǎng)的最小值=A*+〃E+AE=AF+nV/='a+b.

2

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱最短路徑問題和等邊三角形的性質(zhì)和判定以及全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，

解題的關(guān)鍵是利用軸對(duì)稱性質(zhì)得出AE+莊的值最小.

2.（本題2分）（

2025春?陜西西安?八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在RtZXABC中，ZACB=90°,ZA=60°,48=4,將AABC繞

點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△A9C,此時(shí)點(diǎn)4恰好落在邊上，則點(diǎn)"與點(diǎn)8之間的距離為（）

A.4&B.2石C.4D.2

【答案】B

【分析】先由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AC=A'C,BC=BC,N8'C8=NA'C4,再證明△ACA、V8C8'是等邊三角形,

得到BB，=BC,再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解BC即可.

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得AC=A'C,BC=BC，4'CB=N/VC4,

???乙4=60。，

???A4CA'是等邊三角形，

???ZACA=60°,則NB'CB=60°，

???V8C9是等邊三角形，

:.BB=BC,

在RlZ\A8C中，ZACB=9O°,Z4=60°,AB=4,

AC=-AB=2,

2

,**BC=\/AB1—AC2=2\/3?即BB'=2>/3?

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟

練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

3.（本題2分）（

2024秋.山西陽(yáng)泉.八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△D4C和aEBC均是等邊三角形，AE,用）分別與CD,CE交

于點(diǎn)M,N,有如下結(jié)論：①△ACE%DCB；②CM=CN；③AC=DN；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）個(gè).

A.3B.2C.ID.0

【答案】B

【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，證明即可.

【詳解】???△DAC和aEBC均是等邊三角形，

CA=CD,CE=CB,NDCM=Z.ECB=60°,

...ADCM+ZDCE=NECB+ZDCE,

：./DCB=ZACE,

DC=AC

NDCB=ZACE,

CB=CE

&ACE出△DCB(SAS),

故①正確；

???AACE^DCB,

/CEM=4CBN

"CEM=4CBN

,：<CE=CE,

NMCE=NNCB

.LCEM%C8N(ASA),

：.CM=CN,

故②正確；

???乙DNC4BCN=/DCN=60°,

???DODN,

AODN,

故③錯(cuò)誤；

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形不等式，熟練掌握等邊三角形

的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.（本題2分）（

2025春?遼寧大連?八年級(jí)期末）如圖，矩形A3CO中，。為AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別與八8,CD交

于點(diǎn)E,F,連接即交AC于點(diǎn)M,連接OE,BO.若NCOB=60。，F(xiàn)O=FC,則下列結(jié)論①用_LOC；

@OM=CM；③AEOBmMMB,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C

【分析】根據(jù)題中矩形和等邊三角形的性質(zhì)證明比即可證明①②；證明△尸08冬△反出可得

&E0B玨FOB'FCB,即可得③結(jié)論錯(cuò)誤.

【詳解】解:連接8。，

D巨________F7_____C

???四邊形48c。是矩形，

AC=BD,AC、8?；ハ嗥椒郑?/p>

???。為AC中點(diǎn)，

???B。也過。點(diǎn)，

???OB=OC,

VZCOB=60°,OB=OC,

???△O8C是等邊三角形，

：.OB=BC=OC,NQBC=60。，

在RBF與VCBF中,

FO=FC

BF=BF,

OB=BC

.,.4OBF^ACBF(SSS),

???2BF與YCBF關(guān)于直線BF對(duì)稱，

r.FBA.OC,OM=CM；

???①②正確，

4BF冬ACBF

???/FOB=90。,

：.ZEO8=90。

在△尸08和AEOB中，

FO=EO

NFOB=NEOB

OB=OB

.-.AFOB^AEOB(SAS),

LEOBqAFOB與jCB,

/.△EOBgACMB錯(cuò)誤.

???③錯(cuò)誤，

正確的有2個(gè)，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了矩形的性質(zhì)，全等三角形和等邊三角形的判定和性質(zhì)以及30度角的直角三角形的性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是會(huì)綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)解決問題.

5.(本題2分)(

2025春?廣西河池?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖，“8C是等邊三角形，P是“8C內(nèi)一點(diǎn)，PD//AB,PE//BC,

PF//AC,PD+PE+PF=6,則AABC的周長(zhǎng)是（）

A

A.12B.18C.24D.30

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)儀交8c于N,延長(zhǎng)砂交AB于由條件推出四邊形尸MM,四邊形PNCE是平行四邊

形，/\PFM,△PDN是等邊三角形，彳導(dǎo)至"BC=PF+PD+FE=6,即可求出的周長(zhǎng).

【詳解】解：延長(zhǎng)。交8C于N,延長(zhǎng)EP交于例，

VPD//AB,PE〃BC,PF//AC,

???四邊形尸加肘），四邊形;WCE是平行四邊形，

:.CN=PE,BD=PM'

???“AC是等邊三角形，

ZB=ZC=60°,

?PDN?B60?,?PND?C60?，

?DPN180??PDN2PND60?,

???△尸DV是等邊三角形，

同理：△巴聞是等邊三角形，

:,PD=DN,PF=MP,

???PF=BD,

：.BC=BD+DN+CN=PF+PD+PE=6,

???AA8C的周長(zhǎng)為：6x3=18,

即前8。的周長(zhǎng)是18.

故選：B.

A

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，平?行線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是由

等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)證明8C=PE+P￡）+PE=6.

6.（本題2分）（

2025春?廣東梅州?八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在等邊△A8C中，。為AC中點(diǎn)，點(diǎn)尸，Q分別為AB,AD

上的點(diǎn)，8尸=4。=3,QD=2,在8。上有一動(dòng)點(diǎn)石，則莊+以的最小值為（）

【答案】A

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于3。的對(duì)稱點(diǎn)。，連接尸。'交8D于E,連接。后，此時(shí)正+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ.

【詳解】解：?.?△ABC是等邊三角形，

:.BA=BC,

-BD1AC,AQ=3,QD=2,

：.AD=DC=AQ+QD=5,

如圖，作點(diǎn)。關(guān)于8。的對(duì)稱點(diǎn)0,連接?。'交8。于E，連接QE，

此時(shí)PE+EQ的值最小.最小值PE+QE=PE+EQ'=PQ,

;.QD=DQ，=2,

，CQ'=BP=3,

/.AP=AQ'=7,

?.?Z4=60°,

.NAPQ'是等邊三角形，

PQ'=PA=1,

.?/E+QE的最小值為7.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決

最短問題，屬于中考?？碱}型.

7.（本題2分）（

2025春?山東聊城?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，矩形A8C。中，。為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)。的直線分別與AB、CD交

于點(diǎn)￡、F,連接B戶交AC于點(diǎn)連接OE、BQ若,FO=FC,則下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是

（）

?FB1OC,OM=CM；

②XEOB沿MMB：

③四邊形石是菱形：

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】B

【分析】①根據(jù)已知得出尸，可求得A0B尸與VCW7關(guān)于直線斯對(duì)稱，進(jìn)而求得EBJLOC,

OM=CM；②因?yàn)榈摹鱂C8,故△EOB不會(huì)全等于.③先證得N/WO=NO4/=30。,

再證得O￡=OF,進(jìn)而證得OBJ.EF,因?yàn)?。、￡尸互相平分，即可證得四邊形&必D是菱形；④可通過

面積轉(zhuǎn)化進(jìn)行解答.

【詳解】解：連接8。,

???四邊形ABC。是矩形，

:,AC=I3D,AC,3?；ハ嗥椒?

?.?。為AC中點(diǎn)，

.?.8￡）也過O點(diǎn)，

:.OB=OC，

?.?NCOB=60。，OB-OC,

.hOBC是等邊三角形，

：.OB=BC=OC,NOBC=60°,

在&QBF與YCBF中

FO=FC

BF=BF,

OB=BC

.-.△OBF^ACBF(SSS),

:AOBF與YCBF關(guān)于直線BF對(duì)稱,

:.FB工OC,OM=CM；

???①正確，

vZOBC=60°.

ZABO=30°,

:.NOBM=4CBM=3V,

ZAB0=40BF,

?/AB//CD,

:.NOCF=NOAE,

-OA=OC,

/.△AOE^ACOF(ASA),

：.OE=OF,

..OBIEF,

二?四邊形&步笛是菱形，

??.③正確，

&EO噲肝0噲肝03,

:AEOB與ACMB不全等.

.?.②錯(cuò)誤,

^,AOE^^COF,

?'?S^AOE=SKOI

S.COF=2sAe"F>

2FM

??^^AOE*^^BCMZ3ACA//--tJiCM~BM

ZFCO=30°,

?CM

:"M=飛,BM=6rCM,

.FM-1

?

一?q-°9ABCM=i2，

故④錯(cuò)誤.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定

和性質(zhì)等的知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵.

8.（本題2分）（

2025春?安徽?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形A8CO中，E為8c邊的中點(diǎn)，沿力打?qū)φ劬匦?，使點(diǎn)C落在C

處，折痕為。E,延長(zhǎng)DC交八5于點(diǎn)凡連接8C并延長(zhǎng)交A。于點(diǎn)G,連接CC.給出以下結(jié)論：①四邊

形BEDG為平行四邊形;②NECC=NBC,；③GC=G￡＞；④C'為8G的中點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

AGD

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和為18伊，易證N3CC=90。，可證出最終結(jié)論.

根據(jù)翻折的性質(zhì)，加上正方形所有內(nèi)角都是直角，再由同角的余角相等，即可解題.

利用反推，若GC=GD,則△CC。為等邊三角形，4DC'是鈍角，顯然NA力C不是鈍角，即可得出結(jié)論.

若C為BG的中點(diǎn)，C'在G8邊的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論.

【詳解】???￡：為8c的中點(diǎn)

BE=EC=EC，

二.ZCBC+Z.CCB+ZBCC=180c

NBC'E+ZECC+ABCC=180°

2ZBCC=\80°

:.NBCC=90。,

即

?：DG//BE

???四邊形3EDG為平行四邊形，即①正確

乙DCB=4DCE=90°

/.NECC+/BCE=ZBCF+ZBCE=90°,

：?AECC=/BCF,即②正確

???乙GCD=匕FCB=NECC=NECC,

當(dāng)GC=GD時(shí)NGDC=Z.ECC

???"DC=/CCD,

???△CCQ為等邊三角形，

BP^C'DC=60。,NW=120。,顯然ZADC不是鈍角

故③不正確

當(dāng)C'為BG的中點(diǎn)時(shí)，GC=3C即C在G8邊的垂直平分線上

即C'C是垂直平分線.

BC=CG,顯然BC*CG

即④不正確

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是四邊形的綜合運(yùn)用，熟練掌握翻折的應(yīng)用和正方形與平行四邊形的定義是解題

的關(guān)鍵.

9.（本題2分）（

2025春?河北唐山?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，平行四邊形A8c。中，AE平分-8AO,交AC于點(diǎn)E,且

延長(zhǎng)A8與OE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)”，下列結(jié)論中：①8cg△EAO：②△回￡是等邊三角形；③AD=BF；

④SgcE=SJCE；⑤S&ABE=SjBE；⑥S&CEF=SJBE，正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】由四邊形A8C。是平行四邊形，可得AO〃BC,AO=3C,乂因?yàn)锳￡平分N84O,可得

ZBAE=NDAE，所以可得=,得AB=BE，由48=E4,得到是等邊三角形，可判定②：

貝|JZA8C=NE4力=60°,所以空@Q（SAS）,可.判定①：因?yàn)椤鱀CE與"上同底CE等高與8c間

的距離相等），所以S“CE=SJCE，可判定④；&FCD與^ABC等底（A8=8）等高（A8與CD間的距離相等），

得S,8=S.c，則山8-，切=$皿-S-即S,cEF=S#BE，可判定⑥；題中無(wú)條件證得4）=8尸，

S&ABE=S/BE?可判定③⑤?

【詳解】解：?.?四邊形ABCO是平行四邊形,

AAD//BC,AD=BC,

:.ZEAD=ZAEB，

AE平分NTMO,

ZBAE=〃DAE,

ZBAE=ZBEA,

AR—RE,

AB=AE，

.?.△ABE是等邊三角形：

故②正確；

.-.ZL4BC=ZE4￡>=60°,

?/AB=EA,BC=AD,

.-.AABC^ACAD(SAS).

故①正確；

?.?△AEC與^OEC同底等高，

??^&AEC~°QEC，

故④正確，

ZCD與-48C等底(AB=CD)等高(AB與CD間的距離相等)，

?**,FCD-L/UJC，

,,S^FCD~=$4ABC~(ACE

''S<￡F=SaABE；

故⑥正確.

若SjBE=S,

則A8=8/，

題中確無(wú)條件能證得這一結(jié)論，故⑤不一定正確；

若A0與*’相等，

,:AD=BC

則B尸=BC

題中確無(wú)條件能證得這一結(jié)論，故③不一定正確；

綜上，正確的有①②⑥⑥共4個(gè)，

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面

積，掌握相關(guān)判定與性質(zhì)以及同底（或等底）等高（或同高）面積相等是解題的關(guān)鍵.

10.（本題2分）（

2025春?山東濟(jì)寧?八年級(jí)統(tǒng)考期中）在矩形A8CO中，對(duì)角線A。、A力相交千點(diǎn)。，A7?平分/AM力交5C

于點(diǎn)E,NC4E=15。.連接OE,則下面的結(jié)論:①△OOC是等邊三角形;②△8QE是等腰三角形;③5c=2A3；

④S.A°E=SKOE，其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】判斷出△ABE是等腰直角三角形，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出

ZACE=30。,再判斷出△ABOsOOC是等邊三角形，可判斷①；根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出。8=A8,再

求出OB=BE,可判斷②；由直角三角形的性質(zhì)可得=可判斷③；由面積公式可得2AOE=5：COE，

可判斷④.

【詳解】解：?「AE平分2B4。，

:.ZBAE=ZDAE=45°,

.,■ZA￡S=45°,

「.△ABE是等腰直角三角形，

AB=BE，

???ZC4E=I5°,

ZACE=ZAEB-ZCAE=45°-15°=30°,

.?.ZBAO=90°-30o=60°,

.?在矩形A8CO中，OA=OB=OC=OD,

.?.VABO是等邊三角形，△COD是等邊三角形，故①正確;

OB—AB,

?;AB=BE,

:.OB=BE,

「.△B。七是等腰三角形，故②正確；

在心△ABC中，Z4CB=30°,

:,RC=0AR,故③錯(cuò)誤：

vAO=CO.

??SjOE=S&COE?故④正確;

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的

性質(zhì)，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本大題共10小題，每小題2分，共20分.

11.（本題2分）（

2024秋.湖北十堰?八年級(jí)十堰市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）如圖，等邊AA8C中，。為4c中點(diǎn)，點(diǎn)P、Q分別為

A。、AO上的點(diǎn)，8P=AQ=4,。。=3,在8。上有一動(dòng)點(diǎn)E,則PE+QE的最小值為.

【答案】10

【分析】作點(diǎn)。關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)。，連接尸。'交8。于E,連接QE,此時(shí)尸E+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ'.

【詳解】如圖，???&48。是等邊三角形，

:,BA=BC,ZA=60°

??,。為AC中點(diǎn)，

:.BD±ACt

作點(diǎn)。關(guān)于B。的對(duì)稱點(diǎn)。'，連接PQ'交4。于E,連接QE,比時(shí)莊+EQ的值最小.最小值

PE+QE=PE+EQ=PQ，,

A

??5=AQ=4,QO=3,

AAD=DC=AQ+QD=7,QD=DQ=3

：.CQ=CD-DQ'=4=BP,

AP=AQ=\0,

???ZA=60°,

???△AP。'是等邊三角形，

???PQ=PA=10,

.?.PE+QE的最小值為10.

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，軸對(duì)稱最短問題等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決

最短問題，屬于中考常考題型.

12.（本題2分）（

2025春?山東濟(jì)寧?八年級(jí)濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，平行四邊形A8C。的對(duì)角線4C,3。相交于

點(diǎn)。，點(diǎn)上為8C的中點(diǎn)，連接EO并延長(zhǎng)交于點(diǎn)尸，Z4BC=60°,8C=2AB.下歹U結(jié)論：①AC；

②AD=4OE；③四邊形AEb是菱形；④其中，判斷正確的是（填序號(hào)）

【答案】①②③@

【分析】通過判定為等邊三角形求得N囪止=60。，利用等腰三角形的性質(zhì)求得NE4C=3O。，從而判

斷①；利用有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判斷③，然后結(jié)合菱形的性質(zhì)和含30。直角三角形的性質(zhì)判

斷②；根據(jù)三角形中線的性質(zhì)判斷④.

【詳解】解：，.點(diǎn)E為8C的中點(diǎn)，

/.BC=2BE=2CE,

又?j8C=2AB,

.?.AB=BE,

ZABC=60°,

「.△ABE是等邊三角形，

/.ZBAE=ZBEA=60°,AE=BE=CE.

/.ZE4C=Z￡C4=30°,

ABAC=/BAE+ZEAC=90°,

即A8，AC,故①正確：

在平行四邊形A8CO中，AD//BC,AD=BC,AO=CO,

.?.NC4O=ZAC8，

在△AO產(chǎn)和△COE中，

ZCAD=ZACB

OA=OC,

NAOF=NCOE

.^AOF^COE(ASA),

AF=CE,

，四邊形4EC尸是平行四邊形，

-AE=CE,

二?平行四邊形AEC產(chǎn)是菱形，故③正確；

:.AC±EF,

在RtACOE中，NACE=30。，

/.OE=\CE=\BC=\AD,則AZ)=4OE,故②正確；

244

在平行四邊形A3CD中，OA=OC,

又???點(diǎn)E為的中點(diǎn)，

*'?S'HOE=3S&BOC=7sA48C，故④止確；

正確的結(jié)論①②?④.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，含30。的直角三角形

的性質(zhì)，三角形的中線性質(zhì)，掌握菱形的判定是解題關(guān)鍵.

13.（本題2分）（

2025春?山東濱州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在矩形紙片A8CQ中，BC=3O,將矩形紙片翻折，使點(diǎn)。恰好

落在對(duì)角線交點(diǎn)。處，折痕為BE,點(diǎn)E在邊CD上,則CE的長(zhǎng)為.

【答案】10>/3

【分析】首先證明△O8C是等邊三角形，在Rl△胴C中，結(jié)合含30。的直角三角形用勾股定理即可解決問題：

【詳解】解：???四邊形A5CO是矩形，

：.OB=OC,48=90°,

由翻折性質(zhì)可知：BC=BO,

：.BC=OB=OC,

???△O8C是等邊三角形，

???ZOBC=60°,

ZEBC=ZEBO=3（F,

BE=2CE,

則由勾股定理可得：BE'CE'BC"

：.C￡=-BC=10x/3,

3

故答案為：ioG.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形與翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30。的直角三角形與勾股定理等知識(shí)，解

題的關(guān)鍵是證明△Q6C是等邊二角形.

14.（本題2分）（

2025春?江蘇鎮(zhèn)江?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCO中，AC=2,E、尸分別為8C、C7）上

的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且4石+。/=2,則線段所的取值范圍為.

J

【答案】yf3<EF<2

【分析】易得AABC為等邊三角形，證明VABEgVAC產(chǎn)，推出"為等邊三角形，求出AE的取值范圍,

即可得解.

【詳解】解：:在邊長(zhǎng)為2的菱形A8CD中，AC=2,

???AB=AC=BC=2,

???ZABC=60°,

.../ACD=1(180°-/ARC)=60°.

???ZABC=ZACF,

???BE+DF=2=CF+DF,

???BE=CF,

???NABE^ACF,

AE=AF,Z.CAF=Z.BAE，

/LEAF=ZE4C+ZC4F=ZE4C+/BAE,

，ZEAF=Za4C=60°,

又AE=A尸，

:.△人所為等邊三角形，

?\AE=EF,

?:E、/分別為8C、8上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn))，

???當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時(shí)，AE最大，此時(shí)，AE=AB=2>

當(dāng)AE_L8c時(shí)，AE最小，此時(shí)E為8C的中點(diǎn)，

???BE=LBC=1,

2

AE=\lAB2—BE1=>/5?

:?舊&AE&2,

/.V3<EF<2；

故答案為：^<EF<2.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟練

掌握菱形的性質(zhì)，證明

15.(本題2分)(

2025春?廣東汕頭?八年級(jí)統(tǒng)考期末)菱形A8CQ,點(diǎn)4,4,C,力均在坐標(biāo)軸匕Z^C=I2O°,點(diǎn)4-6.0),

點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則△也花?周長(zhǎng)的最小值是.

【答案】2石+6

【分析】根據(jù)菱形的對(duì)稱性，連接的，交AC廣點(diǎn)P,連接OP,得到△8C。是等邊三角形，推出&)=5。，

根據(jù)點(diǎn)E是。。的中點(diǎn)，求出應(yīng)：=OC=6,PD+PE=BE=6,設(shè)DE=x,則網(wǎng)>=Zj根據(jù)勾股定理求出

x即可.

【詳解】解：連接5E,交AC于點(diǎn)尸，連接。P,

?.?四邊形A8CD是菱形，ZA8C=120。，點(diǎn)A(-6,0),

AOA=OC=6,NCDB=60。，CD=CB,

???△BCD是等邊三角形，

,BD=BC,

???點(diǎn)￡是8的中點(diǎn)，

???BEYCD,

:.BE=OC=6,

,:PB=PD,

???PD+PE=PB+PE=BE=6,

設(shè)OE=x,則8￡>=2r,

???BE?+DE2=BD2，

62+X2=（2X）2,

解得x=2>/^（負(fù)值舍去），

/.DE=20,

，△出用周長(zhǎng)的最小值是OE+PZ）+PE=￡>E+BE=2X/5+6,

故答案為：2石+6.

【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，正確掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

16.（本題2分）（

2025春?江蘇無(wú)錫?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形A8CD中，4。=4,AB=m,E、/分別在邊3C、CD±,

并且△從￡/為等邊三角形，則〃?的取值范圍為一,若點(diǎn)G是邊A8上的一點(diǎn)，且G4=2,則隨著〃［的變

化，GE的最小值為.

【答案】2>/3<W<|x/34-V3

【分析】當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)A8有最小值，當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)4重分時(shí)，此時(shí)45有最大值，由等邊二用

形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可求A4的長(zhǎng)，即可求〃】的范圍；可證流他合△H4—S4S）,即陰=GE,當(dāng)

點(diǎn)從點(diǎn)N,點(diǎn)尸共線時(shí)，”尸有最小值，即可求解.

【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)D重合時(shí)，此時(shí)人B有最小值，

???aAQ為等邊三角形，

AAF=AE=EF=4,NE4E=60°,NAA石=30°,

ABE=^AE=2,AB=0BE=?6,

如圖，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)AB有最大值,

???4AEF為等邊三角形,

/.AF=AE=EF=m,Z.EAF=60P,Z.DAE=30°?

ADF=^AF=^-m,AD=y^DF=4,

22

ni=->/3,

3

???2V3<w<->/3.

3

如圖，當(dāng)GA=2時(shí)，以AG為邊作等邊AAG“，作“N_LA8,連接印"

/.AG=AH,AE=AFf/GA/7=NE4尸=60。，

/./BAE=4HAF,

???KJAE*HAF（SAS）,

:.HF=GE,

???當(dāng)點(diǎn)〃，點(diǎn)M點(diǎn)尸共線時(shí)，所有最小值，

此時(shí)，ZBAD=ZD=^ANH=90°,

.二四邊形AQ/W是矩形，

???AD=NF=4,

???AAG”是等邊三角形，NHA.AG,

：.AN=1AG=1、NH=y^AN=邪,

2

???HF=4-6

故答案為：2<in<—>/3；4—石.

【點(diǎn)晴】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，利用特殊位置求線段A6

的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

17.（本題2分）（

2024秋?廣東廣州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，。為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分

別作等邊三角形A8C和等邊三角形。E,AD與BE交于點(diǎn)、O,AD與BC交于點(diǎn)、P,%:與CO交于點(diǎn)Q,

連接22.以下結(jié)論：?AD=BE：?PQ//AE.③NAO3=60。：④2//。是等邊三角形；⑤BQ=AB.恒

成立的是___________________.

【答案】①②③?

［分析］由等邊三角形的性質(zhì)可證明VACD^/BCE,則可.得①正確：由V4C?/8CE可得NC4尸=NC8O,

由N4&=N%,則由三角形內(nèi)角和可得NAO8=NAC8=60。，則可得③正確；證明△AC產(chǎn)且△BCQ,

可得CP=CQ,由NPCQ=60?？傻芒苷_；由等邊三角形的性質(zhì)可得②正確；由△4。尸知，

BQ=AP^AB,即可判定⑤不正確，從而可確定答案.

【詳解】解：???△ABG.COE都是等邊三角形，

AC=BC,CD=ED,Z4C8=/￡>CE=60。，

???ZACD=\SO°-ZDCE=\SO°-ZACB=ZDCE,

/.VACD^JBCE,

故①正確；

VACD^VBCE,

???ZCAP=ZCBO.

■:4APC=NBPO、

???由三角形內(nèi)角和得：