2024-2025學(xué)年廣東省深圳中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，出現(xiàn)“正面向上的點(diǎn)數(shù)大于3”的概率是（）

1111

A-2B3C4D6

2.樣本數(shù)據(jù)5,7,13,27,38的平均數(shù)為（）

A.6B.13C.18D.20

3.直線a,b互相平行的一個(gè)充分條件是（）

A.a,b都平行于同一個(gè)平面B.a,b都垂直于同一個(gè)平面

C.a垂直于b所在的平面D.a平行于6所在的平面

4.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)X1，乂2，…，Xn的方差為4,則數(shù)據(jù)2/一1,2X2-1,2久n—l的方差為（）

A.4B.8C.16D.32

5.如圖，4,&兩類不同的元件并聯(lián)成一個(gè)系統(tǒng).當(dāng)4至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)正常工作.己知

4正常工作的概率分別為09,0.8,則系統(tǒng)正常工作的概率為（）

A.0.98

B.0.26

C.0.72

D.0.02

6.在長(zhǎng)方體48CD—4B1C1D1中，AB=AD=2/3,441=2,則直線與BD所成角的余弦值為（）

A.?B.fegD.苧

3434

7.下列說(shuō)法不正確的是（）

A.有兩個(gè)面平行，其他各個(gè)面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.空間不重合的三個(gè)平面可以把空間分成4或6或7或8個(gè)部分

C.三個(gè)平面兩兩相交，三條交線可能相交于同一點(diǎn)

D.四面體P-ABC的三條側(cè)棱P4PB,PC兩兩垂直，則點(diǎn)P在平面ABC的射影為△ABC的垂心

8.從正方體的12條棱中任選2條，則這兩條棱所在的直線是異面直線的概率為（）

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知事件力，B,且PQ4）=0.5,P（B）=0.2,則下列結(jié)論正確的是（）

A.如果力，那么PQ1UB）=0.2,PQAB）=0.5

B.如果力與B互斥，那么P（4UB）=0.7,P（AB）=0

C.如果力與B相互獨(dú)立，那么PQ4UB）=0.7,PQ4B）=0

D.如果4與B相互獨(dú)立，那么PQ4B）=0.4,PQ48）=0.4

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.極差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度

B.若數(shù)據(jù)x2,…，K?的方差為0,則所有的X4=1,2,…,n）都相同

C.如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)大很多，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)不可能和中位數(shù)相同

D.從有N個(gè)個(gè)體的總體中抽取容量為n（n<N）的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、按比例分配的分層抽樣時(shí)，

總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別為Pi，p2,則pi<p2

11.正方體ABC。-A/iGA的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)、P、Q分別在線段4山、4C上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確

的是（）

A.正方體被經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)的平面所截，其截面的形狀有可能是六邊形

B.PQ不可能與4D、AC都垂直

C.PQ有可能與正方體的六個(gè)表面所成的角都相等

D.線段PQ的中點(diǎn)M所圍成的區(qū)域的面積為苧

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體的體積為

13.某次體檢，10位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.57,1.59,1.62,1.64,1.65,1.66,1.68,1.70,

1.72,1.73,則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（米）.

14.甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,乙的卡片

上分別標(biāo)有數(shù)字2,4,6,8,兩人進(jìn)行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)選一

張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片

（棄置的卡片在此后的輪次中不能使用），則四輪比賽后，甲的總得分為2的概率為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

15.（本小題13分）

如圖，在直三棱柱4BC-&B1C1中，AB=AC,D、E分別是棱BC、CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)。不在BC的端點(diǎn)處），且

AD1DE,F為BiG的中點(diǎn).

(1)求證：AD_L平面BiBCQ；

(2)求證：4尸〃平面4DE.

16.(本小題15分)

從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量表得如下頻率分布表.

質(zhì)量指標(biāo)值分組[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)

頻數(shù)62638228

(1)在下表中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖;

(2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)的平均值及中位數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表).

17.(本小題15分)

品酒師需定期接受酒味鑒別功能測(cè)試.一種通常采用的測(cè)試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓

其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間，等其記憶淡忘后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新

按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測(cè)試，根據(jù)一輪測(cè)試中的兩次排序偏離程度的高低對(duì)其酒味鑒別能力

進(jìn)行評(píng)價(jià).現(xiàn)設(shè)n=3,分別以ara2,的表示第一次排序時(shí)被排為1，2,3的三種酒在第二次排序時(shí)的序

號(hào)，(a1,a2,a3}={l)2,3},并令X=|%-1|+9-2|+依-3|,則X是對(duì)兩次排序的偏離程度的一種描

述，若兩輪測(cè)試都有X=0,則該品酒師被授予“特級(jí)品酒師”稱號(hào)；若兩輪測(cè)試都有XW2,且至少有一

輪測(cè)試出現(xiàn)XKO,則該品酒師被授予“一級(jí)品酒師”稱號(hào).

(1)用表格形式寫出第二次排序時(shí)所有可能的的,a2,排序結(jié)果，并求出相應(yīng)的X值；

,1，a2>ci3\x

1,2,3~t~j

(2)沒(méi)有酒味鑒別能力的品酒師甲參加了一輪測(cè)試，記事件4=”甲的測(cè)試結(jié)果X=0"，B=”甲的測(cè)試結(jié)

果X=2"，用集合的形式表示事件4JB和后可以發(fā)現(xiàn)aJB=5nA,請(qǐng)證明：對(duì)于任意的隨機(jī)事

件4和B都有：XU5=XCiB；

(3)沒(méi)有酒味鑒別能力的品酒師甲連續(xù)兩年都參加了兩輪測(cè)試，兩年測(cè)試結(jié)果相互獨(dú)立，記事件E="在這

兩年中甲至少有一次被授予一級(jí)品酒師稱號(hào)”，求P(E).

18.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，P4_L平面力BCD,AD1CD,AD//BC,PA=AD=CD=2,BC=3,E為

PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PC上,且蔡/

(1)求證：平面PCD_L平面PAD；

(2)給出二面角F-AE-P的平面角，并說(shuō)明理由，求出二面角F-4E-P的余弦值;

(3)設(shè)點(diǎn)G在線段PB上，且第=|,點(diǎn)4,E,F,G是否共面？如4,E,F,G四點(diǎn)共面，請(qǐng)證明：如果不

共面，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(本小題17分)

將連續(xù)正整數(shù)1,2,3,n(neN*)從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123…n,F(n)為這個(gè)數(shù)的位數(shù).例如：當(dāng)

71=12時(shí)，此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字，貝！)F(12)=15.現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,

P(n)為恰好取到0的概率.

⑴求P(101)；

(2)當(dāng)n<2025時(shí),求尸(n)的表達(dá)式;

(3)令/(九)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，g(?i)為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，/i(n)=f(n)-g(n),S={n|/i(n)

l,n<100,neN*},求當(dāng)neS時(shí)P(n)的最大值.

答案解析

1.【答案】A

【解析】解:根據(jù)題意，將一枚質(zhì)地均勻的骰子拋擲一次，有6種結(jié)果，分別為1,2,3,4,5,6,

其中大于3的結(jié)果有4,5,6.

所以“正面向上的點(diǎn)數(shù)大于3"的概率P=g=9.

6z

故選：A.

根據(jù)古典概型計(jì)算公式計(jì)算可得答案.

本題考查古典概型的計(jì)算，注意古典概型的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解:樣本平均數(shù)為tx(5+7+13+27+38)=1x90=18.

故選：C.

根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可.

本題考查平均數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解:對(duì)于4若直線a,6都平行于同一個(gè)平面，則直線a,b可能平行或異面或相交，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,若a,b都垂直于同一個(gè)平面，由線面垂直的性質(zhì)定理得4/b,故8正確；

對(duì)于C,若a垂直于b所在的平面，貝必16,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，若a平行于6所在的平面，則a,b平行或異面，故O錯(cuò)誤.

故選：B.

由線線平行的條件直接得到.

本題考查空間中直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】C

【解析】解:因?yàn)橛?，血，…，久n的方差為%

所以數(shù)據(jù)一一的方差為

2/1,2X2-1,2/122*4=16.

故選：C.

根據(jù)方差的性質(zhì)求解即可.

本題考查方差的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

5.【答案】A

【解析】解：記事件M,N分別表示4元件正常工作，事件氏系統(tǒng)正常工作,

若系統(tǒng)不正常工作，貝141，&均不能正常工作，

因止匕P(B)=P(MN)=0.02,

因止匕(B)=1—P(B)=0.98.

故選：X.

事件B：系統(tǒng)正常工作，先求得B的對(duì)立事件的概率，可求結(jié)論.

本題考查相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】D

【解析】解：連接B/i，ABr,

因?yàn)殚L(zhǎng)方體4BCD中，BD"B\D[,

所以乙式或其補(bǔ)角)即為4%和8。所成角,

因?yàn)?8=AD=2<3,AA1=2,

所以由勾股定理得：ABi=ADr=V12+4=4,BR=BD=

y/AB2+AD2=2/6,

Di/+B1費(fèi)-Bl116+24-16_76

所以COSNADIB1=

2Z)iAD]@2x4x2遙一~T

故選：D.

作出輔助線，得到即為AZ和BD所成角，并由勾股定理求出各邊長(zhǎng)，利用余弦定理求出夾角余弦

值.

本題考查利用定義法求異面直線所成角，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】A

【解析】解：力，根據(jù)棱柱的定義要求“有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形

的公共邊都互相平行”；

若僅滿足“兩個(gè)面平行，其他面是平行四邊形”，但相鄰平行四邊形的公共邊不平行，則不是棱柱，故A

選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B,若三個(gè)平面均平行，可分為4個(gè)部分；若有兩個(gè)平面相互平行且第三個(gè)平面與它們相交，可分為6個(gè)部

分；

若三個(gè)平面相交且交線重合，可分為6個(gè)部分；若三個(gè)平面兩兩相交且交線兩兩平行，可分為7個(gè)部分;

若三個(gè)平面兩兩相交且交線交于一點(diǎn)，可分為8個(gè)部分，故B選項(xiàng)正確.

C,例如過(guò)正方體同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)表面的交線交于一點(diǎn)，故C選項(xiàng)正確.

D,設(shè)P在平面4BC的射影為“，連接力”，BH,CH,

由PA1PC且P41PB,PC,PBu平面PBC,得P4_L平面PBC,

又BCu平面PBC,故PA1BC；

因?yàn)镻H1平面4BC,BCu平面ABC,ikPH1BC；

因PACPH=P,PA,PHu平面PAH,得BC_1平面。4//,

又AHu平面PA”,故BC1AH.

同理可得，AB1CH,AC1BH,即“是AABC的垂心，故。選項(xiàng)正確.

故選：A.

對(duì)各選項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷，選項(xiàng)A根據(jù)棱柱定義進(jìn)行判斷；選項(xiàng)B通過(guò)討論空間中不重合的三個(gè)平面的可能

位置判斷可以把空間分成幾部分；選項(xiàng)C通過(guò)特殊例子進(jìn)行判斷；選項(xiàng)。設(shè)P在平面4BC的射影為H,結(jié)

合題給條件根據(jù)線面、線線間的關(guān)系證明結(jié)論.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，屬于中檔題.

8.【答案】B

【解析】解：對(duì)于每一條棱，在其余的11條棱中，有4條與其異面，7條與其共面，

所以兩條棱所在的直線是異面直線的概率為4.

故選：B.

結(jié)合正方體的性質(zhì)，根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式求解即可.

本題考查古典概型的概率求法，正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

9.【答案】BD

【解析】解：由事件a,B,且P(4)=0.5,P(B)=0.2,知：

對(duì)于4如果那么P(AUB)=0.5,P(4B)=0.2,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,如果4與B互斥，那么PG4UB)=P(4)+P(B)=O.7,PQ4B)=0,故8正確；

對(duì)于C,如果力與B相互獨(dú)立，

那么PQ4UB)=PQ4)+P(B)-P(AB)=0.5+0.2-0.5x0.2=0.6,

P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.2=0.1,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,如果4與B相互獨(dú)立，

?么PQ4B)=P(A)P(B)=(1-0,5)X(1-0.2)=0.4,

PQ4B)=PQ4)P⑻=0.5x(1-0.2)=0.4,故。正確.

故選：BD.

利用對(duì)立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式直接求解.

本題考查概率的求法，考查對(duì)立事件概率計(jì)算公式、互斥事件概率加法公式、相互獨(dú)立事件概率乘法公式

等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】AB

【解析】解：對(duì)于4由極差與標(biāo)準(zhǔn)差的意義知極差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度，故A正

確.

對(duì)于B,若一組數(shù)據(jù)方差為0,則這組數(shù)據(jù)所有數(shù)相同，故8正確.

對(duì)于C,考慮由49個(gè)0和51個(gè)10000組成的一組數(shù)據(jù)，

其平均數(shù)為5100,中位數(shù)為10000,

雖然中位數(shù)比平均數(shù)大很多，但眾數(shù)和中位數(shù)相等，故C錯(cuò)誤.

對(duì)于D,抽樣方式不影響每個(gè)個(gè)體被抽中的概率，故。錯(cuò)誤.

故選：AB.

根據(jù)極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義，中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系，以及抽樣方法中個(gè)體被抽中的概率對(duì)選項(xiàng)逐一

分析即可.

本題考查極差、標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義，中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的概念，屬于基礎(chǔ)題.

1L【答案】CD

【解析】解：對(duì)于4假設(shè)六邊形截面EFGH〃交于點(diǎn)P,如下圖所示:

設(shè)EFCiG//=M,因?yàn)镋Fu平面44m1。，MeEF,

所以M6平面441。道，

同理可得M€平面4BCD,

因?yàn)槠矫媪CDC平面4=AD,

所以M€40,

同理NeCD,WeDDi，

由圖可知，截面EFG"〃在平面4BCD的交線GH與線段力C無(wú)交點(diǎn)，

因此，正方體被經(jīng)過(guò)P、Q兩點(diǎn)的平面所截，其截面的形狀不可能是六邊形，故選項(xiàng)A錯(cuò)；

對(duì)于B,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC、所在直線分別為無(wú)、y、z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)

系，

W(l,0,0),C(0,l,0)、D(0,0,0)>4i(l,0,l),

取麗=g西，AQ=^AC,則「?,。3)、Q(|3,0)，

所以PQ=Ct，—：),AC=(-1,1,0),DAr—(1,0,1)-

所以耳??。?()，PQ-DAi=0.

此時(shí)，PQ與4。、ac都垂直，故選項(xiàng)8錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，取前=3西，AQ^^AC,則所=("》,

平面4BCD的一個(gè)法向量為441=（0,0,1）,

設(shè)直線PQ與平面力BCD所成角為氏

則由得端=擊嚀

即直線PQ與平面48CD所成角的正弦值為苧,

同理可知，直線PQ與表面其余各面所成角的正弦值都為苧,

因此，PQ有可能與正方體的六個(gè)表面所成的角都相等，C對(duì);

對(duì)于。選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)P(zn,0,zn)、Q(n,1—n,0),其中OMznWl,0<n<1,

則線段PQ的中點(diǎn)為M（竽，號(hào)3）

設(shè)點(diǎn)M（%,y,z）,則％=駕3=與一y+號(hào)=2-）7+，即％+y_z=J

乙乙乙乙乙乙

1

O<Z<

其中。KI,,--2-

所以點(diǎn)M的軌跡是以點(diǎn)U（l,oJ）、X（0』,0）、K4,0,0）,4,黑）為頂點(diǎn)的平面四邊形,

乙乙乙乙乙乙

則玄=（一a0,_；）=雙而=（一另,0），

貝可研=\vu\=苧

cos^KVU=VK-VU1

西?西29

因?yàn)?。<NKUU4180。，所以NKUU=60。,

故四邊形KUUX是邊長(zhǎng)為苧的菱形，且NKUU=60。，則△KUU為等邊三角形，

故線段PQ的中點(diǎn)M所圍成的區(qū)域的面積為2SA.U=2x苧x（年產(chǎn)=苧，故選項(xiàng)。對(duì).

故選：CD.

假設(shè)截面為六邊形，作出圖形，可判斷a選項(xiàng);

建立空間直角坐標(biāo)系，取加=；研，AQ=^AC,利用空間向量法可判斷BC選項(xiàng)；

求出點(diǎn)M的軌跡方程，確定點(diǎn)M所圍城區(qū)域的形狀，結(jié)合三角形的面積公式可判斷。選項(xiàng).

本題考查立體幾何綜合問(wèn)題，以及向量法的應(yīng)用，屬于難題.

12.【答案】8兀

【解析】解：因?yàn)樵搸缀误w為底面半徑為2,高為2的圓柱，

所以U=兀x22x2=8兀.

故答案為：87r.

通過(guò)直觀想象，將正方形繞一邊旋轉(zhuǎn)成的圖形為圓柱，然后根據(jù)圓柱的體積公式求出體積即可.

本題考查幾何體體積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】1.67

【解析】解：因?yàn)?0x60%=6,

所以將該組數(shù)據(jù)從小到大排列，第6個(gè)和第7個(gè)數(shù)的平均數(shù)即為第60百分位數(shù)，

所以第60百分位數(shù)為:x(1.66+1.68)=1.67.

故答案為：1.67.

根據(jù)總體百分位數(shù)的計(jì)算公式計(jì)算即可.

本題考查百分位數(shù)的求解，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】g

【解析】根據(jù)題意，不妨假設(shè)甲的卡片順序?yàn)?,5,3,1,

則乙的卡片順序共有用=4x3x2xl=24種,

甲得2分，所選卡片情況為：

①甲所得分的卡片為5、3,則(5,4),(3,2),(7,8),(1,6)共1種情況，

'(7,6),(3,2),(5,8),(1,4)

②甲所得分的卡片為7、3,則?(7,4),(3,2),(5,6),(1,8),共3種情況,

、(7,4),(3,2),(5,8),(1,6)

「(7,6),(5,4),(3,8),(1,2)

(7,6),(5,2),(3,4),(1,8)

(7,6),(5,2),(3,8),(1,4)

③甲所得分的卡片為7、5,則，(7,4),(5,2),(3,8),(1,6),共7種情況,

(7,4),(5,2),(3,6),(1,8)

(7,2),(5,4),(3,8),(1,6)

1(7,2),(5,4),(3,6),(1,8)

7+3+1_11

所以甲的總得分為2的概率P

24-24.

故答案為：芬

列舉出甲的總得分為2的所有可能情況，利用古典概型的概率公式求解即可.

本題考查古典概型的概率求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】證明：（I）在直三棱柱480—4/16中，CGJ■平面ABC,ADu平面

ABC,

AD1CC],

AD1DE,且DEC31=D,

.-.AD1平面當(dāng)8"1，

（D）根據(jù)（I）得4。1平面BiBCQ,

???BCu平面4BCG，

???AD1BC,

在△ABC中，AB=AC,

D為BC的中點(diǎn)，

連接。F,得DF〃44i，且即四邊形A4/D為平行四邊形，

.-.ArF//AD,

■：ADu平面4DE,ArFC平面ADE,

4F〃平面ADE.

【解析】（I）先證明力D1CCi，然后4D1DE,即可得到4D1平面BiBCQ.

（11）根據(jù)（1）得4。1平面/8。。1，連接DF,得以7/A41，且。尸=44,即可得到相應(yīng)的結(jié)論.

本題重點(diǎn)考查了空間中直線與平面平行、垂直，直線與直線平行的判定等知識(shí)，屬于中檔題，難度中等,

解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確判斷平行和垂直的判定和性質(zhì).

16.【答案】頻率分布直方圖見解析；

平均數(shù)為100.00,中位數(shù)為99.74.

【解析】（1）質(zhì)量指標(biāo)值分組在[75,85）,[85,95）,[95,105）,[105,115）,[115,125）

的頻率分別為0.06,0.26,0.38,0.22,0.08,

(2)x=80X0.06+90x0.26+100X0.38+110X0.22+120X0.08=100,

質(zhì)量指標(biāo)值落在［75,95)內(nèi)的頻率為0.06+0.26=0.32<0.5,

質(zhì)量指標(biāo)值落在［75,105)內(nèi)的頻率為0.06+0.26+0.38=0,70>0.5,

因此質(zhì)量指標(biāo)值的中位數(shù)落在［95,105)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為95+x,

因此0.32+0.038久=0.5,解得x儀4.74,

因此估計(jì)平均數(shù)為100.00,中位數(shù)為99.74.

(1)計(jì)算出頻率，進(jìn)而得到數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；

(2)根據(jù)平均數(shù)的定義進(jìn)行求解即可，并根據(jù)頻率得到中位數(shù)落在［95,105)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為95+”，得到方

程，求出久=4.74,得到中位數(shù).

本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

17.【答案】排序見解答，X的取值見解答；

證明見解答；

32

81,

【解析】(1)根據(jù)題意列舉第二次排序時(shí)所有可能的的,a2,03及相應(yīng)的X的值列表如下.

，。2，。3X

1,2,30

1,3,22

2,1,32

2,3,14

3,1,24

3,2,14

(2)證明：任取樣本點(diǎn)aeAuB,所以aWA且a《B,即a64且a€4,

所以aeanB,所以4UBU力CB,

任取樣本點(diǎn)bednB,所以be4且bSB,即be4且be4

所以beduB,所以4CBU力UB,

因此力UB=xns.

⑶由⑴得：P(X=0)=2，P(x=2)=,P(x=4)=g,

設(shè)甲在第一輪測(cè)試中得分為X1，在第二輪測(cè)試中得分為X2,事件功表示甲在第i輪被評(píng)為一級(jí)品酒師(i=

1,2),

所以PO1)=P(￡>2)=P(X]=0,X2=2)+P(X1=2,X2=0)+P(X1=2,X2=2)

=P(Xi=0)-P(X2=2)+P(X]=2)-P(X2=0)+P(Xi=2)-P&=2)

11,11,112

=6X3+6X3+3X3=9，

所以P(E)=P(%UZ)2)=1-P(D1UD2)

一_一_773?

=1-PMno2)=1-P(A)P(D2)=1一"(=

(1)根據(jù)題意列舉出第二次排序時(shí)所有可能的。2,及相應(yīng)的X的值填入表格即可；

(2)任取樣本點(diǎn)a€4UB,beA^B,利用元素與集合的關(guān)系證明即可；

(3)利用獨(dú)立事件的概率公式求出每年被授予一級(jí)品酒師稱號(hào)的概率，再結(jié)合(2)中結(jié)論求解即可.

本題考查集合與概率的綜合，相互獨(dú)立事件的概率求解，屬于中檔題.

18.【答案】證明見解答；

乙FEP,理由見解答，~

共面，證明見解答.

【解析】(1)證明：因?yàn)镻2,平面ABCD,CDu平面ABC。，所以P21CD,

因?yàn)镃D14D,PACiAD=A,PA,ADu平面PAD,

所以CD1平面PAD,因?yàn)镃Du平面PCD,所以平面PCD1平面PAD；

(2)因?yàn)?P=4D,E為PD中點(diǎn)，所以AE1PD,

由(1)的證明過(guò)程可知CD1平面PA。，因?yàn)閆Eu平面PAD,所以CD12E,

因?yàn)?E1PD,AE1CD,PDCCD=D,PD,CDu平面PCD,

所以4EJ_平面PCD,又因?yàn)镋Fu平面PCD,所以4E1EF,

所以NFEP即為二面角F-AE-P的平面角.

因?yàn)?D=CD=2,且CD1AD,所以AC=AD2+CD2=2<2,

所以PC=y/PA2+AC2=2V3，

因?yàn)楦?g，所以PF=容，且PE=^PD=，2,

因?yàn)镃D1平面PAD,PDu平面PAD,所以CD1PD,

所以COSNEPF=霧=箸=孕

L乙VJJ

在APEF中，由余弦定理得：EF2=PE2+PF2-2PE-PF-cos^EPF=|,

所以EF=￥

PE?+EF2-PF2_2+捐_^3

所以cosz_PEF=

2PEW-2x2x苧一~3~,

所以二面角F—4E-P的余弦值為苧;

(3)4E,F,G四點(diǎn)共面，證明如下:

設(shè)Q為尸。中點(diǎn)，由題意得黑=震=|,可得GQ〃BC,因此GQ〃4D,

同時(shí)GQ=|BC=2,因此GQ=2D,

所以四邊形4DQG為平行四邊形，所以AG〃DQ,

因?yàn)槭癁椤?。中點(diǎn)，所以EF〃QD,因此4G〃EF,

p

又因?yàn)?G,EF無(wú)公共點(diǎn)，所以4E,F,G四點(diǎn)共面.

(1)先由線線垂直證明CD1平面PAD,再利用面面垂直的判定定理證明平面PCD1平面PAD；

(2)先證4E1PD,再由線面垂直證得CD14E,即得2E_L平面PCD,得4E1EF,從而推得NFEP即為二

面角F-4E-P的平面角，利用余弦定理即可求得其余弦值；

(3)根據(jù)兩條平行直線確定一個(gè)平面，通過(guò)證明4G〃51即可.

本題考查面面垂直的證明，二面角的求解，四點(diǎn)共面的證明，屬于中檔題.

19.【答案】解：(1)當(dāng)n=101時(shí)，那么F(101)=9+90x2+3x2=1