§3.5利用導(dǎo)數(shù)研究恒(能)成立問題

題型一分離參數(shù)求參數(shù)范圍

例1(2022?北京模擬)已知函數(shù)加?)=(x—2)eX—Jw■2+ar(aeR).

(l)當(dāng)a=0時，求曲線>=大尤)在點(0,犬0))處的切線方程；

(2)當(dāng)尤22時，/U)N0恒成立，求a的取值范圍.

解(1)當(dāng)。=0時，式無)=(x—2)e，，

A0)=(0-2)e°=-2,

f(x)=(x-l)e",k=f(0)=(0-l)e°=-l,

所以切線方程為y+2=—(x—0),

即x+y+2=0.

(2)方法一當(dāng)x22時，。恒成立，等價于當(dāng)無22時，(尤-2)e-"—Ju?+axNO恒成立.

即G'—j"W(x—2)e*在［2,+8)上恒成立.

當(dāng)x=2時，OeWO,所以aGR.

當(dāng)x>2時，^x2~x>0,

M2L(X—2)e*2ex.、

所以-----=丁恒成立.

/2一尤

、H2e“,2(x—l)ex

設(shè)g(無)=丁，則g(x)=一招一，

因為x>2,所以g'(x)>0,

所以g(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增.

所以g(x)>g(2)=e2,所以a<e2.

綜上所述，a的取值范圍是(一8,e4.

方法二f'(x)=(x-l)(er-ci),

①當(dāng)aWO時，因為x22,

所以x—l>0,er-cz>0,所以(尤)>0,

則人x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

加x)逐2)=。成立.

②當(dāng)0<aWe2時，/'(x)20,

所以大x)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

所以TOO河：2)=。成立.

③當(dāng)a"?時，在區(qū)間(2,Ina)上，f'(x)<0；

在區(qū)間(Ina,+°°)_L,f'(x)>0,

所以八x)在(2,Ina)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，八2三0不恒成立，不符合題意.綜

上所述，a的取值范圍是(一8,e2].

【教師備選】

X2

(2022?重慶模擬)已知函數(shù)八尤)=萬一(MJ+1)無+/wlnx+根，/'(%)為函數(shù)五功的導(dǎo)函數(shù).

(1)討論負(fù)x)的單調(diào)性；

⑵若^⑴一於)》。恒成立，求機(jī)的取值范圍.

W,,,mX2一(m+l)x+5(%-77?)(x—1)

解(1V(助=無一?！?1)+指=——

①當(dāng)mWO,XG(O,1)時，f(x)<0,犬x)單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(i,+8)時，f'(x)>0,兀0單調(diào)遞增.

②當(dāng)xG(0,㈤時，f(x)>0,於)單調(diào)遞增;

當(dāng)xe(〃z,i)時，f'(x)<0,危)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(l,+8)時，/(尤)>0,汽M單調(diào)遞增.

③當(dāng)m=l,%e(0,+8)時，/(無)>0,五尤)單調(diào)遞增.

④當(dāng)機(jī)>1,xG(0,l)時，f(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)xd(l,㈤時，f(x)<0,兀0單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(〃z,+8)時，，(尤)>o,/U)單調(diào)遞增.

(2)由題意知47(尤)一/(x)》。恒成立，

x2X2

即]■一加n120恒成立，.,.y^mlnx.

y2

當(dāng)x=l時，gNMnx怛成立，

當(dāng)x>l時，—2m；

21nx

x2

當(dāng)0<x<l時，而尸九

令ga)=21n\

,x(21nx—1)

貝MIg(X)-77j72~~>

2(lnX)

當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,

g(x)單調(diào)遞減且g(x)<0,

y2

??x0時，21n無一°’

當(dāng)%>1時，令(%)=0,得％=必，

???當(dāng)l<xv#時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)心M時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增，

.??g(x)2g(必)=e,

Am^e.

綜上知，OWmWe.

思維升華分離參數(shù)法解決恒(能)成立問題的策略

(1)分離變量.構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

(2)a三/(X)恒成立//(?max；

a恒成立3a《/(x)min;

a2?x)能成立0aN?x)min;

aW?x)能成立OaW?X)max.

跟蹤訓(xùn)練1已知函數(shù)/O)=jdnx(x>0).

⑴求函數(shù)#x)的極值；

(2)若存在x￡(0,+8),使得1元)W——―成立，求實數(shù)機(jī)的最小值?

解(1)由?x)=%lnx,得/(x)=l+ln%,

令/(%)>0,得%*；

令/(尤)<0,得0a<總

所以加0在(o,§上單調(diào)遞減，在弓，+8)上單調(diào)遞增.

所以八x)在x=F處取得極小值，

且為/Q)=T，無極大值.

一d+mx-S

由於)W，

(2)2

2A：lnx+x2+3

得m2-----------.

問題轉(zhuǎn)化為后產(chǎn)

人2xlnx+^+S,,3

令g(%)=-----------------=21nx+x+~(x>0).

2

HI/2,3x+2x—3

則g(%)=1+1—?=—?—

(x+3)(x-l)

=？?

由g'(尤)>0,得尤>1；

由g'(無)<0,得0<x<l.

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，+8)上單調(diào)遞增.

所以g(X)min=g(l)=4,則%N4.

故m的最小值為4.

題型二等價轉(zhuǎn)化求參數(shù)范圍

例2(2022?三門峽模擬)已知函數(shù)危)=lnx—or2—x,a>—；且aWO.

(1)當(dāng)。=1時，求函數(shù)/U)的單調(diào)區(qū)間與極大值；

(2)當(dāng)x>l時，g(x)=/(x)+2辦<0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解當(dāng)。=1時，函數(shù)/(x)=lnx—f—x,xG(0,+°°),

12x2~bx-1

可付/(x)=--2x-l=--------------

_(%+1)(2%—1)

=_x'

令/Q)>0,解得0<4，危)單調(diào)遞增；

令/a)<o,可得心>3，危)單調(diào)遞減；

所以函數(shù)凡?的單調(diào)遞增區(qū)間為(o,0，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+8),

當(dāng)時，

(2)由題意，函數(shù)8(%)=/(%)+2辦=111%一加+(20—l)x,x￡(l,+°°),

可得g'(X)=1一2ar+(2a—1)

(2QX+1)(X—1)

=_x'

①當(dāng)一3<°<0,xG(l,一歸時，g'(x)<0；

xG(一二+8)時,g'(無)>。，

所以g(x)在(1,一勿上單調(diào)遞減，在(一方，+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)X-+8時，g(%)f+8,

所以g(X)G(g(—幻，+8),不符合題意;

②當(dāng)。>0時，%e(l,+8)時恒有g(shù)，(x)<0,

故g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

所以g(x)<0對任意xG(l,+8)都成立，

只需g(l)WO,

即一。+2a—1W。,解得aWl,故0<aWl.

綜上所述，。的取值范圍是(0,1].

【教師備選】

(2022?西寧模擬)已知函數(shù)兀r)=-a?+比尤(°ER).

(1)討論五x)的單調(diào)性；

(2)若存在xG(l,+°°),fix)>~a,求a的取值范圍.

解(1)函數(shù)人功的定義域為(0,+°°),

X

當(dāng)時，f(x)>0,

則“x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)〃>0時，由/(x)=0,得，

由/(尤)>0,得尤曰0,

由/(尤)<0,得尤G

于是有益)在(。，總)上單調(diào)遞增,

,+8]上單調(diào)遞減.

(2)由於)>一〃,

得〃(爐一1)—lnx〈0,x￡(l,+°°),

—lnx<0,x2—1>0,

當(dāng)aWO時，0(x2—1)—lnx<0,滿足題意;

當(dāng)心■時，

令g(%)=〃(/—1)—Inx(x>l),

2a/—1

g'(x)=--->0,g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，則g(x)>g(l)=o,不符合題意,

當(dāng)0<a<3時，

由g'(尤)>0,得xG+OO

由g'a)vo,得了金

于是有g(shù)(X)在(1，言)上單調(diào)遞減，在g后，+8)上單調(diào)遞增，

g(X)mm=g[意<g(D=O,

則當(dāng)。(44時，3xe(1,+°°),g(x)<0,

綜上，a的取值范圍為(一8,￡|,

思維升華根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借

助函數(shù)單調(diào)性求解.

跟蹤訓(xùn)練2已知函數(shù)y(x)=e*—ar.

(1)討論犬尤)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)xe[O,+8)時，都有人戲>一°,求實數(shù)。的取值范圍.

解(1>‘(x)=e，-a(xeR),

當(dāng)aWO時，f(尤)>0,

.\Ax)在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)〃>0時，令/(x)>0=>x>lna,

令f'(x)<0=x〈lna,

.\/0)在(-8,1114)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增.

(2)依題意知，當(dāng)x￡[0,+8)時，危)min〉一〃，

由⑴知,當(dāng)。時，次x)在[0,+8)上單調(diào)遞增，

A^min=l>—a,:.—

當(dāng)〃>1時，?x)在[0,In〃)上單調(diào)遞減，在(Ina,+8)上單調(diào)遞增，

*'?A^min—/(Ind)=^na—a\na

=a—alna>—a,

解得l<a<e2.

綜上，實數(shù)a的取值范圍為(一1,e2).

題型三雙變量的恒(能)成立問題

例3設(shè)大無)=，+xlnx,g(無)—%2—3.

(1)如果存在無I，x2e[0,2],使得g(xi)—g(X2)》M成立，求滿足上述條件的最大整數(shù)M；

-1'

(2)如果對于任意的s,2j,都有<s)2g?)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)存在xi,x2e[0,2],

使得g(Xl)—g(X2)^M成立,

等價于[g(%D—g(%2)]max2M成立.

g'(%)=3，-2x=x(3x—2),

2

令g'(%)=0，得x=?；颍?Q,

../2V_85

,且⑶27，

又g(0)=-3,g(2)=l,

???當(dāng)x￡[0,2]時，g(x)max=g(2)=l,

g(X)min—g(3J—27,

.??…(―鄂坐

?,?滿足條件的最大整數(shù)M為4.

(2)對任意的s,P2有月s)2g⑺，

則火X)minNg(%)max.

由(1)知當(dāng)工￡[5,2」時，g(x)max=g(2)=l,

，當(dāng)元矢5，2時，,x)=」+jdnx21恒成立,

即flnx恒成立.

人「1J

令〃(%)=%—V9in%,%￡2,2,

??h'(x)=1—2xlnx-x,

令9(x)=1-2xlnx-x,

：?(p'(x)=-3—21nx<0,

r11

今(%)在岳2」上單調(diào)遞減，

又看⑴=。

-1一

???當(dāng)1時，h'(%)三0,

當(dāng)[1,2]時，h'(x)W0,

-1"I

???/?a)在”上單調(diào)遞增，在“⑵上單調(diào)遞減,

??/l(x)max—%(1)=1>

故

J實數(shù)〃的取值范圍是[1,+8).

【教師備選】

已知函數(shù)7x)="(/D(xGR)，。為正實數(shù).

(1)求函數(shù)#x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若V?,x2e[0,4],不等式|/(?)—%2)|<1恒成立，求實數(shù)〃的取值范圍.

解(1)因為八x)='xD(xGR),

所以ra尸書二WR),

因為a>0,所以令/(尤)>0,得0<%<3；

令，(x)<0,得x<0或x>3.

所以五x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,3),單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0)和(3,+-).

(2)由(1)知危)在(0,3)上單調(diào)遞增，在(3,4)上單調(diào)遞減，

所以知)在[0,4]上的最大值是<3)=普

又|。)=一時。，14)=114屋4>0,

所以30)勺(4),

所以木尤)在。4]上的最小值為式0)=-a

若Vxi,X2[0,4],不等式區(qū)制)一Z(X2)|<1恒成立，

則需八尤)max—/U)min<l在Xd[0,4]上恒成立，即犬3)—黃0)<1,

即ff+avl,解得.<不蕓.

e3

又a>0,所以0<〃<5+.3?

故實數(shù)a的取值范圍為(0,鼻).

思維升華“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行

等價變換，常見的等價轉(zhuǎn)換有

(l)Vxi,Xl^D,y(Xl)>g(X2)<^/(X)min>g(X)max.

(2)Vxi￡￡)1,mX2￡。2,/(Xl)>ga2)^/(x)min>ga)min.

(3)3xi^D1,\/I2￡。2,/(Xl)>ga2)Q/(X)max>ga)max.

跟蹤訓(xùn)練3設(shè)於)=xe"g(x)=^x2+x.

(1)令尸(%)=/a)+g(x),求b(x)的最小值；

(2)若任意為，X2《[—1，+°°)，且為>%2，有機(jī)[/(即)—/(X2)]>g(xi)—g(%2)恒成立，求實數(shù)機(jī)的

取值范圍.

解⑴因為5a)=/a)+g(x)

xe'+g2+x,

所以/，a)=Q+i)e+i),

令P(%)>0,解得心>一1,

令F(x)<0,解得X<一1,

所以入(X)在(一8,一J)上單調(diào)遞減，

在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

故F(X)min=尸(一1)=—^―

(2)因為任意為，X2^[—l,+°°),且片>元2,

有機(jī)|加1)一危2)]>g(Xl)—g(%2)恒成立，

所以頒Xl)—g(%l)>頒X2)—g(X2)恒成立，

令/1(%)=頌工)一8(%)=以矍%—/一不，x^[—1,+°°),即只需/z(x)在[-1,+8)上單調(diào)遞增

即可.

故今(%)=(%+1)0廿一1)20在[―1,+8)上恒成立，故小三卷，而晟We,故小Ne,

即實數(shù)機(jī)的取值范圍是[e,+-).

課時精練

國基礎(chǔ)保分練

1.(2022-W丘模擬)已知函數(shù)式乃=尤(〃酒一1).

(1)當(dāng)機(jī)=1時，求函數(shù)八尤)的圖象在(1,{1))處的切線方程；

(2)當(dāng)x>0時，2x,求實數(shù)m的取值范圍.

解⑴當(dāng)m=l時，/(x)=x(e*—1),

則XD=e—1,

由/(而=F一1+年工可得，f(l)=2e-l.

所以函數(shù)兀0的圖象在(1,八1))處的切線方程為y—(e—l)=(2e—l)(x—1),

即(2e—l)x—y—e=0.

(2)由x(mex-l')^x2—Zx及x>0,

得根

%-1

令§(.x)=-^-(x>0),

則g'(x)=^~r,

當(dāng)尤e(0,2)時，g'(x)>0；

當(dāng)xe(2,+8)時,g'(x)<o,

所以g(x)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,+8)上單調(diào)遞減，

所以X=2是g(X)的極大值點，也是g(X)的最大值點，即g(X)max=g(2)=[.

所以根

故"Z的取值范圍為《，+8).

2.(2022?長春模擬)設(shè)函數(shù)八x)=r—(a+2)x+alnx(aGR).

(1)若x=3是1工)的極值點，求人工)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若1恒成立，求a的取值范圍.

解(1)/'(x)=2x—3+2)+：

(2x—a)(x—1)

(x>0),

x

又/(3)=4—可=0,

所以。=6,經(jīng)檢驗符合條件，

所以‘(尸-3"1),

令f(尤)>0,有0<%<1或x>3；

令/(元)<0,有l(wèi)<x<3,

所以八x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3).

(2)由題意?21令/⑴僦21,

當(dāng)aWO時,令(x)>0,有x>l；

令,(尤)<0,有04<1,

所以於)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以於)min=Al)=—。一1,

所以一a—121,即aW—2,

當(dāng)a>0時，①即0<a<2時，

存在黃1)=-a—1<0；

>1,即a>2時，存在式1)=-a—1<0；

③1=1,即a=2時，/'(x)20,於)在(0,+8)上單調(diào)遞增，存在式1)=—3<0,

可知<2>0時，兀c)2l不恒成立.

綜上，—2.

能提升練

3.(2022?沈陽模擬)已知式龍)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，八尤)=/+$布尤，g(x)是定義

在(0,+8)上的函數(shù)，且g(x)=ax+：—2(a>0).

(1)求函數(shù)Kx)的解析式；

⑵若對于V尤Ex2e(0,+8),使得八4)>g(x2)成立，求實數(shù)a的取值范圍.

解(1)設(shè)x<0,貝x>0,

所以六一無)=；i?—sinx,

又/(x)是奇函數(shù)，

所以八一x)=一?r),

所以7(元)=-/(—x)=-d+sinx,

又式0)=0,

*+sinx(x20),

所以犬x)=

［一片十sinx(x<0).

(2)由題意得Xx)min>^(x)min.

當(dāng)x￡［0,l］時，f'(x)=2x+cosx>0,

所以/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增，

所以加)min=/(0)=0；

當(dāng)—1,0