2024?2025學年浙江省寧波中學高二(下)期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知集合4={-3,—2,—1,0,1,2,3},B={x||x-1|<2},則An8=()

A.{-1,0,1}B.{0,1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,04,2,3}

2.已知函數(shù)<3,若/(%)存在最小值，則實數(shù)。的取值范圍是()

\XfXNJ

A.1—9,+8)B.(—8,—9)C.(—8,—9]D.[-9,+8)

3.已知Q>b>0,則”>轡”是“m>0”的()

A.充要條件B.既不充分也不必要條件

C.充分不必要條件D.必要不充分條件

4.2023年入冬以來流感高發(fā)，某醫(yī)院統(tǒng)計了一周中連續(xù)5天的流感就診人數(shù)y與第%(％=123,4,5)天的數(shù)據(jù)

如表所示.

X12345

y2110a15a95109

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知》,y具有較強的線性相關關系，其經(jīng)驗回歸方程為y=20x+10,則以下說法錯誤的是

()

A.該樣本相關系數(shù)在(0,1]內(nèi)

B.當％=3時,殘差為一5

C.點(2,10a)在經(jīng)驗回歸直線上

D.第6天到該醫(yī)院的流感就診人數(shù)預測值為130

5.已知隨機變量X?N(4Q2),p(x>6)=m,P(2<X<4)=n,則弓+彳的最小值為()

A.6+2/2B.3+4/2C.6+D.8+2/2

6.已知a=log?！?，b=log6c,則()

A.,a+b<0<abB.a+<ad<0C.ab<0<a+bD.ab<a+b<0

7.從集合〃={1,2,3,4,5}的非空子集中隨機取出兩個不同的集合人8,則在4UB=(/的條件下，4nB恰

有2個元素的概率為()

8.四位同學坐到二排五列的10個位子中，若同一列中最多只有一位同學，同一排任意兩位同學不相鄰，則

不同的排法數(shù)為()

A.384B.360C.216D.408

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法正確的有()

A.f(x)=Vx+1-7x-1和,g(x)=A/%2-1表示同一個函數(shù)

B.函數(shù)/(%+2)的定義域為[―2,2〕，則函數(shù)/(%)的定義域為[0,4)

C.函數(shù)〉二9%的值域為(0,勺

D.定義在R上的函數(shù)/(%)滿足3/Q)-/(-%)=x+l,則/(%)+1

*L

10.已知袋子中放有大小質(zhì)地完全相同的6個紅球和4個黃球，則下列說法正確的有()

A.若從袋子中有放回地依次隨機摸球，X為第1個紅球被摸出所需的摸球次數(shù)，貝IJP(X=3)=高

B.若從袋子中不放回地依次隨機摸出3個球，y為摸出的球中紅球的個數(shù)，則p(y=2)=?

C.若從袋子中有放回地依次隨機摸出5個球，Z為摸出紅球的次數(shù)與摸出黃球的次數(shù)之差，則。(Z)=當

D.若從袋子中不放回地依次隨機摸球，”為第3個紅球被摸出所需的摸球次數(shù)，則以小)=竽

11.已知函數(shù)/Xx)定義域為R,則下列選項中的等式不可能在XWR時恒成立的有()

A.f(2x—x2)=+1|

xxx

B.；(10086+10086-)=log2^+1)-%

C.f(ex+2?e~x)=ex+e2~x

D.f(/(x))=x2-2

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(27)3+5sg54_仞2_編_：/(0!-3)4=____.

13.已知函數(shù)f(%)=lo%(4-謨)，g(x)=loga(%-。)，若E[1,2],€[3,4],使得/(%1)工g(%2)成

立，則實數(shù)a的取值范圍是_____.

14.已知事件4B滿足0<P(A)<l,0<P(5)<1,P(A8)-P(AB)=0.99P(8),則P(8|4)?P(A|8)的

取值范圍是_____.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

2021年6月2日巴蜀中學成功地舉辦了一年一度的大型學生社團文化節(jié)，吸引了眾多學生.巴蜀中學目前共

有社團近40個，由高一和高二學生組成，參加社團的學生共有四百人左右.已知巴蜀中學高一和高二的所

有學生中男生與女生人數(shù)比為6：4,為了解學生參加社團活動的情況，按性別采用分層抽樣的方法抽取部

分學生，統(tǒng)計得到如圖等高累枳型條形圖：

(1)求巴蜀中學參加社團的學牛中，仟詵1人是男牛的概率：

(2)若抽取了100名學生，完成下列2x2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為巴蜀中

學高一和高二學生的性別與參加學生社團有關聯(lián)？請說明理由.

參加社團未參加社團合計

男生

女生

合計

_____n(ad-bc)2_____

附:n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

臨界值表:

a0.10.050.01

無a2.7063.8416.635

16.(本小題15分)

已知函數(shù)/(幻=啖苧是奇函數(shù).

(I)求a的值；

(1【)求解不等式/(工)二4；

(111)當x6(1,3］時，恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.

參考答案

l.B

2.C

3.0

4.8

5￡

6.5

7B

S.A

9.BCD

\O.ABD

11ACD

12.10

14.[0,焉]

15.解：(1)設高一和高二的所有學生中任選一人是男生、女生分別為事件力、A

設高一和高二的所有學生中任選一人參加社團為事件乩

則戶(4)=60%,P(4)=40%,

所以PG4I8)=P(AM⑷=PG4)P(M,)_=60%xl0%=_6_=3

)P(8)P(4)P(S|A)+P⑷P(8⑶60%xl0%+40%x20%6+87

(2)2X2列聯(lián)表如下：

參加社團未參加社團合計

男生65460

女生83240

合計1486100

2

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)得/=嗎蹙荔:？X1.993<3.841,

故可以認為%成立，即性別與參加社團無關.

16.解：(I)根據(jù)題意，函數(shù)/(一幻=嗅￥=斗箏=-f(x)=骼/

***Q=2.

x

、23+2、/HFI2'+1、C,ln2+lo3-2*、八

(Il)/(x)=2.v_1>4,即>二yN2,即那三一2=『72°’

得0<%工log23.

23+22-2x-2+4=2+￡，

(in)/-(x)=F-1-2X-1

故/(%)在％6(1,3]上為減函數(shù),

/(tx2)+f(x-1)>0,即/(tM)>-f(x-1)=f(l-x),

乂x6(1,3],故tv一：

綜上t6(—8,一：).

17,(l)/(x)=(l+x)4+(l+x)4+(l+x)5,

注意到C;<C}<Cl>Cl>C3C?VegV髭=C經(jīng)eg>C"

所以/?(%)的展開式中/的系數(shù)最大，最大系數(shù)為2盤+第=22,

即/(%)的展開式中系數(shù)最大項為22產(chǎn).

(2)①不妨設Q<b<c,則只需求方程a+b+c=25滿足a<b<c的正整數(shù)解(a,b,c)的個數(shù)，

首先，去除條件aMbMe的話，a+b+c=2S的正整數(shù)解的個數(shù)為以4=276,

其次，將Q+b+c=25滿足Q<b<c的正整數(shù)解分為兩類：

l°.a,b,c中恰有2個相等的正整數(shù)解有12個;

2。.設a,b,c兩兩不等的正整數(shù)解有%個,

則有％xAg+12x盤=的4=276,解得x=40,

故滿足條件的/?(%)共有40+12=52種可能.

②工的系數(shù)為a+b+c=25,而產(chǎn)的系數(shù)為：

C2+鬣+=a2+B+c2(a+"c)_。2+6％2—25

(最好說明一下若Q，b，C中有1，此公式依然成立，其實是廣義組合數(shù)的性質(zhì)，下標小于上標時其值為0)

不妨設Q>b>c.

1。.若Q-cN2,則將(a,c)調(diào)整為(a-l,c+l),

222

則(Q2+c)-[(a-I)+(c+I)]=2(a-c-l)>2,

故/+/+c2最小時，有Q-CWI,即(Q,b,c)=(9,8,8),

因此。2+匕2+c2的最小值為209.

2。.若匕>2,則將(a,b)調(diào)整為(a+l,b-1),則[(a+I)2+(b-I)2]-(a2+b2)=2(a-b+l)>2,

故G?+川+c2最大時，有bWl,即(a,b,c)=(23,1,1),

因此a?+爐+c2的最大值為531.

綜上，小的系數(shù)的最大可能值與最小可能值之和為209-25：531-25=34s.

18.(1)設一輪交換后，4罐子中紅球的個數(shù)為隨機變量X,

則X的所有可能取值為0，1,2,

則P(X=0)=gx|*,P(X=l)=ix|+|x|=1,P(X=2)=|x|=|,

設兩輪交換后力罐子里紅球的個數(shù)為隨機變量y,

則尸(y=2|x=i)=|x1=^,p(r=2|x=2)=I，

故p(y=2)*x"|x?手

(2)①經(jīng)過71輪交換后，兩個維子仍然是紅，黃，藍三種顏色的球各一個的概率為外，

當nN2時,Pn=|pn-l+(i-Pn~l)?則Pn—看=-*Pn-l

Wo-I=1-I=l'則Pn=|(-扔T+,，

②由對稱性可得，qn=上含=,[1_(_?].

2

19.(1)因為函數(shù)/'(%)=1%-7+1|+m有4個零點%1，%2，%3，%4(%1<%2<%3<%4)，

所以方程氏一(+1|+m=0有4個不同的解%1，%2?%3，%4(%1<工2V必<%4)，

于是方程x-5+1+m=0,-(x-|+1)+m=0都各有兩個不同的解，

即方程/+(l+/n)x-2=0,x2+(1-m)x-2=0各有兩個實數(shù)根，

設方程/+(1+m)%-2=0的兩根分別為修，x2?方程/+(1-m)x-2=0的兩根分別為小，x4,

x

則/+x2=-(m+1),%1%2=-2,x3+x4=—(1—m),x34=-2,

所以％i+g+%3+工4=一(1+m)—(1—7")=-2,x1x2x3x4=-2x(-2)=4；

(2)存在,理由如下：

因為函數(shù)y=x,y=一：+1在(0,+8)上都是增函數(shù)，

所以函數(shù)y=x-?+1在(0,+8)是增函數(shù)，

又當x=1時，x-|+1=0,

則當0VXV1時，x-^+1<0,當x>l時，x-|+1>0,

(2

—X4----1+771,0<%<1

?X

故/(%)=優(yōu)一1+1|+m=12，

X---F1+TH,X1

X

所以y=f(x)在(o,i)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，

①函數(shù)/(%)在［a,句上不單調(diào),則有0<a<1<b,

所以f(%)m加=/(1)=m=￡,

由于mH0?

所以a=l,與OvaV1矛盾：

@1<a<b時,則函數(shù)/(%)在［a,b］上單調(diào)遞增,

2,.,in

a

艮---b14-m=—

aa

,2,m'

bb

所以儼2+(m4-l)a-2-m=0

lb2+(m4-1)/?-2—m=0

所以a,8是一元二次方程/+(相+-2-m=。的兩個不相等的實數(shù)根,

記。(工)=x2+(m+l)x—2