專題08正、反比例函數(shù)綜合

【典例分析】

【考點(diǎn)1】函數(shù)的概念

1.正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=一工的圖象的交點(diǎn)的情況為(C)

X

A.只有一個(gè)交點(diǎn)B.有兩個(gè)交點(diǎn)

C.沒有交點(diǎn)D.不能確定

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)

【專題】正比例反比例綜合

【分析】正比例函數(shù)經(jīng)過一三象限、反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限

【解答】

???正比例函數(shù)經(jīng)過一三象限、反比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限

，兩函數(shù)圖象無交點(diǎn)，

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，掌握函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)即對(duì)應(yīng)兩函數(shù)解析式組成的方程組的解是解

題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)

【專題】正比例反比例綜合

【分析】根據(jù)k>0正比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限，k<0反比例函數(shù)經(jīng)過二四象限得出答案

【解答】,.'k<0,lk>0.*.y=(1-k)x經(jīng)過一、三象限

故選C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解

題.

3.若y與z成反比例關(guān)系，z與x成正比例關(guān)系，則y與x成一反比例—關(guān)系

【考點(diǎn)】正比例、反比例關(guān)系

【專題】正比例反比例綜合

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的定義.

4.已知y=y/+y2,其中”與x2成正比例，”與x成反比例，并且當(dāng)時(shí)，y=5,當(dāng)x=l時(shí)，-1,

求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

【考點(diǎn)】正比例、反比例關(guān)系式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】根據(jù)題意分別表示出yi、y2與無關(guān)系式，得到y(tǒng)與無關(guān)系式，根據(jù)待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式.

【解答】與％2成正比例，以與x成反比例，

...,a

,.?y=y/+y2,**?H—，

x

3

.?.y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為尸-4x2+—.

x

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題關(guān)鍵是分別表示出yi、y2與x關(guān)系式，進(jìn)而確定y與x

關(guān)系式.

【考點(diǎn)2】正、反比例函數(shù)綜合

【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x,kx),根據(jù)點(diǎn)A,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算

即可.

:4、B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

:點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是1,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)是2

；.A(1,2),B(l,2)

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問

題.

【考點(diǎn)】正比例、反比例面積

【專題】正比例反比例綜合

【分析】設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)(x,kx),根據(jù)點(diǎn)A,C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可得出點(diǎn)C坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積計(jì)算

即可.

【解答】點(diǎn)A坐標(biāo)(x,kx),.?.點(diǎn)C坐標(biāo)(-x,-kx),

,.,AB_Lx軸，SAABC=；AB,(OB-x)=yxkxx2x=kx2,

??kx~=11??SAABC=1-

故答案為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問

題.

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)

【專題】正比例反比例綜合

【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)得出OE=EB=1,設(shè)BF=m,進(jìn)而表示出C點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式即可得出m

的值，進(jìn)而得出C點(diǎn)的坐標(biāo).

【解答】作AE_LOB于E,CF_LBD于F,

設(shè)A的橫坐標(biāo)是-1,則A的縱坐標(biāo)是-道，.,.OE=1,OA=2OE=2,AE=百，.?.易求OE=EB=1,

m2+2m-l=0,解得：m=-l±^2,

m>0,/.m=-1+/，

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)的應(yīng)用和正二角形的性質(zhì).

(1)寫出正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式.

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)用待定系數(shù)法進(jìn)行求解，即可得到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的關(guān)系式;

(2)當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，假設(shè)在直線MO上存在這樣的點(diǎn)Q(x,1x),使得△OBQ與△OAP

面積相等，則B(0,gx).根據(jù)三角形的面積公式列出關(guān)于x的方程，解方程即可.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正比例函數(shù)和反比例函數(shù)綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求解.

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、解析式

【專題】正比例反比例綜合

【點(diǎn)評(píng)】本題考查反比例函數(shù)和正比例函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法進(jìn)行求

6.如圖，A(3,⑼是反比例函數(shù)＞=人在第一象限圖象上一點(diǎn)，連接。4,過A作軸，連接。3,交

x

反比例函數(shù)＞=上的圖象于點(diǎn)尸(2指，76).

X

(1)求m的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、面積、解析式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入解析式求解可得解析式，再把A點(diǎn)的坐標(biāo)代入得到m的值，求OA的解析

式，由AB〃x軸即可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(2)根據(jù)點(diǎn)B坐標(biāo)和點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到AE=1、PE=3-#、PD=76,再利用割補(bǔ)法求解可得.

【解答】⑴將P(2C，n)代入y=￡得：k=12,

X

12

則反比例函數(shù)解析式為y=—，

x

12

把A(3,m)代入y=—得m=4,

如圖，過點(diǎn)A作AC，x軸于點(diǎn)C,

?「AB〃x軸，I可設(shè)B(x,4),Ax=8

???點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8,4)；

(2)：點(diǎn)B坐標(biāo)為(8,4),點(diǎn)P坐標(biāo)為(2布，底),

過點(diǎn)P作PD，x軸，延長DP交AB于點(diǎn)E,

則點(diǎn)E坐標(biāo)為(26，4),

，AE=2后-3、PE=4-后、PD=后，

則AOAP的面積=；x(4+&)x(2"-3)=576.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是用割補(bǔ)法求三角形的面積.

【課后練習(xí)】

【考點(diǎn)】正比例、反比例圖像

【專題】正比例反比例綜合

【分析】根據(jù)k<0正比例函數(shù)經(jīng)過二、四象限，k>0反比例函數(shù)經(jīng)過一、三象限得出答案

【解答］：h<0,.??,=怎尤經(jīng)過二、四象限

故選B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解

題.

與尤的函數(shù)解析式.

【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】（1）根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式即可；

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法.

（1）求這兩個(gè)函數(shù)解析式；

（2）判斷點(diǎn)（1,6）是否在反比例函數(shù)的圖像上;

(3)求兩個(gè)函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn).

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、解析式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式即可；

在函數(shù)圖像上

(3)正反比例函數(shù)的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

另一個(gè)交點(diǎn)是(2,3)

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法.

(1)求尸、。兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求的面積.

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、面積

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)根據(jù)正比例與反比例的方程聯(lián)列得出點(diǎn)的坐標(biāo)

(2)切割法求面積

【點(diǎn)評(píng)】考查正反比例函數(shù)兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱的綜合應(yīng)用.

5.如圖，正方形。4PB、AOFE的頂點(diǎn)A、D、8在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)E在AP上，點(diǎn)、P、廠在函

(1)求々的值和直線0P的解析式;

(2)求正方形的邊長.

【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式即可；

【解答】(1)..?正方形OAPB的面積為9

，BP=3,：,P(3,3)

(2)設(shè)正方形ADFE的周長為a

；.F(3+a,a)F點(diǎn)在反比例函數(shù)上

；F點(diǎn)在第一象限

【點(diǎn)評(píng)】考查反比例函數(shù)幾何意義的應(yīng)用，用點(diǎn)在函數(shù)圖像上進(jìn)行解題.

求：(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)x=2時(shí)，y的值.

【考點(diǎn)】正比例、反比例解析式

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)根據(jù)正比例與反比例的定義設(shè)出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式即可；(2)把x=2代入(1)中的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】(1)設(shè)yi=kix(ki#O),y2=—(k?/)),

X

?1h

..y=kix一.

■'x

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法.

3

7.如圖，點(diǎn)A在曲線y=—(x>0)上，過點(diǎn)A作ABJ_x軸，垂足為B,OA的垂直平分線交OB、OA于點(diǎn)

x

C、D,當(dāng)AB=1時(shí)，AABC的周長為_4—.

【考點(diǎn)】反比例、垂直平分線

【專題】正比例反比例綜合

3

【解答】,?,點(diǎn)A在曲線y=—(x>0)上，AB，x軸，AB=1,

...ABxOB=3,/.OB=3,

VCD垂直平分AO,.-.OC=AC,

AABC的周長=AB+BC+AC=l+BC+OC=l+OB=l+3=4,

故答案為4.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用了線段垂直平分線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì).解題時(shí)注意運(yùn)用線段垂直平分線上任意一

點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

2

(1)填空：k=--,m=6；

(2)己知點(diǎn)B(0,6),若點(diǎn)P在直線1上，且SAABP=2SAABO,請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)在雙曲線上找出點(diǎn)M,使得NAOM=45。，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo).

【考點(diǎn)】正比例、反比例交點(diǎn)、面積

【專題】正比例反比例綜合

【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可解決問題；

(3)如下圖中，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OA-則OA=OA，，作AELx軸于E,AT垂直y軸于

F,證明出△AOEg^A'OF(AAS),進(jìn)而得出A，(2,3),取AA，的中點(diǎn)D,直線OD在第二象限交雙曲線

于點(diǎn)M,此時(shí)/AOM=45。，求直線OD的解析式，再構(gòu)建方程組確定M的坐標(biāo).

...將A(—3,2)代入可得：

則由對(duì)稱性可知OA=OC,.-.C(3,-2),

???當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，SAABP=2SAABO,

則點(diǎn)P不在線段AO上，

二當(dāng)點(diǎn)P在AO的延長線上時(shí)，SAABP=2SAABO,即點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，

此時(shí)P(3,-2)；

當(dāng)點(diǎn)P在OA的延長線上時(shí)，SAABP=2SAABO,即PA=2AO,此時(shí)P(—9,6),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是(3,—2)或(一9,6).

(3)當(dāng)點(diǎn)M在OA下方時(shí)，若NAOM=45。，則點(diǎn)M在第三象限，此時(shí)不存在滿足條件的點(diǎn)M；

當(dāng)點(diǎn)M在OA上方，如圖，將OA繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到OA，，貝|OA=OA-

ZAOM=45°,/A'OM=45°,/AOA'=90°,

作AE_Lx軸于E,AT垂直y軸于F,ZAEO=ZATO=90°,

VZAOE+ZAOF=90°,ZA^F+ZAOF=