2024-2025學(xué)年山東省德州市高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.若z=l+i,則7=（）

A.-2iB.-/C.iD.21

2.已知（1,2）是角a終邊上一點，則tan2a=（）

4

A.——B.——3C.3D.w4

3443

3.在某次模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機抽取了8名同學(xué)的第一個解答題的得分，得分為：10,5,7,8,7,

9,4,2,則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.6.5B.8C.8.5D.9

4.在正方體力BCD-ABiCWi中，E,尸分別是eg,CD的中點，則直線4r與8E所成角的余弦值為（）

號

ABCt

5.已知a,0是兩個不同的平面，九是兩條不同的直線，下列命題中正確的是（）

A.若m〃九，nca,則B.若m〃a,則仁〃0

C.若mJ.九，nca,則mJ.aD.若mua,n1a,則m1〃

6.某次物理競賽，得分在［120,130）的有15人，他們的平均分為128,方差為2,得分在，130,140/的

有9人，他們的平均分為136,方差為1,則得分在［120,140］的平均分與方差為（）參考公式：總體分為2

層，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：n1,元s?,n2,y,s標(biāo)記總的樣本平均數(shù)為認(rèn)樣本方差

為$2,火而=工+衛(wèi),s2=叼研+項修+戢研.

H1+H2〃1+〃2町+八2

A.130,16.625B.131,17.875C.131,16.625D.130,17.875

.若0Va<4，cos^=則sin(a+*)=()

A.7V2Q戲D節(jié)

101010

8.已知一個圓錐的側(cè)面展開圖是個半圓，利用斜二測畫法畫此畫錐時，直觀圖的底面曲線中心在原點0',

底面曲線與％'軸、y'軸正半軸分別交于A、B兩點，已知A。'A8面積為《O.若圓錐被平行于底面的平面所

截，截去一個底面半徑為T的圓錐，則所得圓臺的體積為（）

7/3TT

A.c'-D.7T

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

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9.已知函數(shù)/'(%)=4cos(3%+0)(4>0,0)>0,0V3V7T)的部分圖象如圖所示，則()

A.to=3B.W=*

C.穴乃關(guān)于點傳,0)對稱D./㈤的一條對稱軸為直線％=I

10.復(fù)數(shù)2=8$6+心也。(其中》為虛數(shù)單位，8WR),則()

A.\z\=1

B.|z+4-3i|的最大侑為6

C.當(dāng)。=京九時，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第四象限

O

D.當(dāng)8=：時，z是實系數(shù)方程%2+px+i=o的一個虛數(shù)根，則p=—42

11.如圖,在棱長為2的正方體力BCD-4B1C1D1中,M,N,P分別是C必的中點，Q是線段〃口

上的動點，R是線段8N上的動點，則()

A.存在點Q,使PQ〃平面MBN

B.MN與P8為異面直線

C.線段QR的最小值是2

D.經(jīng)過M,B,C,N四點的球的表面積為97r

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知向量瓦=(-2,2)[=(m+l,2m)7=(2,—l),若(2五十石)/6，則實數(shù)m=

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13.甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球，先投中者獲勝，一直到有人獲勝或者每人都已投球3次時投籃

結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為:，乙每次投籃投中的概率為最且各次投籃互不影響.若甲先投，則甲獲勝

的概率為.

14.已知TBC中,AB=AC=4,BC=2,將頂點C繞棱48旋轉(zhuǎn)到C',當(dāng)CC'=2Vl時，三棱錐A-BCC'

的體積為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

某中學(xué)為研究本校高一學(xué)生在市聯(lián)考中的數(shù)學(xué)成績，隨機抽取了100位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績作為樣本，得到以

[80,90),[90,100),[100,110),[110,120),[120,130),[130,140]分組的樣本頻率分布直方圖,如圖所示.

(1)求直方圖中Q的值，并估計本次聯(lián)考該校數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)；

(2)現(xiàn)在從分?jǐn)?shù)在[80,90)和[90,100)的學(xué)生中采用分層隨機抽樣的方法共抽取6人，再從這6人中隨機抽取

2人，求抽取的兩人恰好一人分?jǐn)?shù)在[80,90)內(nèi)，另一人分?jǐn)?shù)在[90,100)內(nèi)的概率.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P一力BC中，/)人上底面48&4。_18&「力=，1,.4。=8。=2,”是28的中點.

P

(1)求三棱錐P-的表面積；

(2)求二面角M-AC-8的平面角的正弦值.

17.(本小題15分)

已知直三棱柱ABC-Ai81clM814C.D,E分別是邊力的口點.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】【分析】利用共趣復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的除法運算即可.

【詳解】由題可知：z=l-i,所以；=壬==-i.

故選：B

2.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)任意角三角函數(shù)定義可得tana,再結(jié)合倍角的正切公式求解即可.

【詳解】???（1,2）是角a終邊上一點，??.tana=2,

2tana2x24

??-tan2a=----------5―=------y=-77.

1-tan2a1-223

故選:A.

3.【答案】C

【解析】【分析】將數(shù)據(jù)按升序排列，結(jié)合百分位數(shù)的定義運算求解.

【詳解】將數(shù)據(jù)按升序排列可得：2,4,5,7,7,8,9,10,

因為8x75%=6,所以這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)竽=8.5.

故選：C.

4.【答案】D

【解析】【分析】取。外的中點G,連接G4G居GE,可證ZG4尸為異面直線4尸與BE所成角或其補角.再根據(jù)

余弦定理計算COSNG4/7即可.

【詳解】取DD1的中點G,連接G4,GF,GE,

因為E,G分別是CCi，DDi的中點,CCJ/DD、

所以DG=：DDi，CE=\CCX,

在正方體中，???CC"/DDi,Ca=DD]

DG//CE,DG=CE,所以四邊形DGEC為平行四邊形，

所以GE”DC"AB,GE=DC=AB,

所以四邊形4GE8為平行四邊形，所以

故/G4F為異面直線小尸與BE所成角或其補角.

2222

設(shè)正方體的棱長為2,???￡1,G分別是CCi，CD,DDi的中點，AAG=AF=V24-1=y/~5,GF=VI+I=

第5頁，共17頁

由余弦定理得：COSZ.GAF="

所以直線期與BE所成角的余弦值為￡

故選:D.

5.【答案】0

【解析】解：對于力，若7n〃7i,72ua,則m〃a或mua,故4錯誤；

對干B,若m〃a,7九〃6，則?！ā辏騛與6相交，故4錯誤：

對FC,若mJ.",nca,則m與a相交，或mua,或m〃a,故C錯誤；

對于。，若mua,n1a,則m_L〃，故。正確.

故選：D.

6.【答案】C

【解析】【分析】按照分層抽樣的平均數(shù)，方差公式計算.

1CQ

【詳解】由題可知：=128+^x136=131,

s2=x[2+(128-131)2]+盤x[1+(136-131)2]=16.625.

故選：C

7.【答案】B

【解析】【分析】由二倍角公式求出sin*cosa的值，再利用兩角和的正弦公式可求得結(jié)果.

【詳解】因為0VaV汗,則04V夕

又因為cos；黑，則sin*—=甯,

所r-r-以i.isi-na=2rs.m5acos5a=2x--、x，—=3

乙乙LUX\zo

cosa=2cos2—1=2x-1=-

.n,.n3/2/4\/2/2

因此sin(a十今)=sinacos-十cosasin7=7x—+I-7)x—=一■—.

4452\5/210

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故選:B.

8.【答案】A

【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為，，根據(jù)題意得出l=2r,求出圓錐的高，杈據(jù)斜二測畫

法和三角形的面枳可得出關(guān)于r的等式，解出r的值，根據(jù)題意得出圓臺的上、下底面的半徑與高，結(jié)合臺

體體積公式可求得該臺體的體積.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線長為I,由題意可得加=24，故l=2r,

所以，圓錐的高為/i=G^=YIr,

由斜二測畫法可知。,力=r,乙4。，8=45°,

故5仙0,/7二人.°Bs\n4S°=|xrx|rx-^=^r3=浮解得丁=1.

故圓錐的高為h=Cr=C，

若圓錐被平行于底面的平面所截，截去一個底面半徑為如勺圓錐，則圓臺的上底面半徑為下底面的一半,

故裁掉的圓錐的高為;九=苧，從而可知圓臺的高為Jh=￥，

由臺體的體積公式可知該圓臺的體積為V=1TTX[12++1X4X苧=等兀，

3\2/2J224

故選：A.

9.【答案】AB

【解析】【分析】由圖象得出4,3,再由/'(9=2即可求解出s=》可判斷力、B；由/'(%)=—2sin3x,整

體代入法即可求解對稱中心和對稱軸，判斷。、D.

【詳解】由題圖知：函數(shù)/lx)的最小正周期7=早=名，

-J

4

則。)二票=3,A=2,所以函數(shù)f(x)=2cos(3x+@).

T

將點&2)代入解析式中可得2=2cos(3x《+>),

即sinw=l，則夕=2〃乃+/(〃GZ),

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因為0V9V兀，所以0=1,故,4,8正確；

f(x)=2cos(3x+芻=-2sin3x,

???/償)=-2sin(3x勻=-2H0,

所以/?(%)的圖象關(guān)于點傳,0)不對稱，故。不正確；

因為/居)二一2sin(3Xj)=0,

所以直線％=g不是函數(shù)/(%)圖象的一條對稱軸，故。不正確；

故選:AB.

10.【答案】ABD

【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的模的定義及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解4根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化

為兩個點的距離問潁即可求解B：直接計算出物數(shù)z,再根據(jù)對應(yīng)的點即可判斷C：求出方程的虛數(shù)根，再結(jié)

合z是其一個虛數(shù)根即可求解D.

【詳解】A.\z\=>/cos234-sin29=1,選項正確，

及由4可知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面對應(yīng)點軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，

憶+4-34表示的是點(-4,3)到以原點為圓心，1為半徑的圓上點的距離，

其最大值為點(-4,3)到原點的距離加半徑為：J(-4)2+32+1=6,選項正確：

C當(dāng)。=搟"時，復(fù)數(shù)z=-噂+),對應(yīng)的點為(一￥，：)，在第二象限，選項錯誤，

D當(dāng)。時，復(fù)數(shù)2=苧+苧3實系數(shù)方程%2+p%+1=0的虛數(shù)根為：一"土卜「一小”",因為復(fù)數(shù)2=

苧+浮i是實系數(shù)方程%2+px+1=0的一?個虛數(shù)根，故子=浮」(P=苧，解得P=選

項正確，

故選:ABD,

11.【答案】ABD

【解析】【分析】對4Q為4劣的中點，根據(jù)PQ〃4G〃MN以及線面平行判定定理可得;對B,通過A]8〃PN,

而=B可得；對C,建系，求解線段QR的長度；對D,建系，求得球心的坐標(biāo)，然后根據(jù)球的表

面積公式計算即可.

【詳解】對A存在，當(dāng)Q為為小的中點時，PQ〃平面M8N,如圖，連接PQ,4g,

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由M,/V,P分別是A4i，C%,CiD#勺中點，所以PQ//A1C//MN,

由PQC平面M8MMNu平面MBN,所以PQ〃平面M8N,正確;

對8,如圖，連接為3

由4[B〃PN,而4BClMB=B,MB,PN分別在兩個平行的平面內(nèi)，所以MN與P8為異面直線，正確;

對C,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

所以Ai(2,0,2),Di(0,0,2),8(2,2,0),C(0,2,0),N(0,2,l),M(2,0,l),

設(shè)點Q(2%0,2),BR=ABN,則OWxWl,O<A<1,=(-2/1,0,A),

所以點R的坐標(biāo)為(2-2A,2,A),

所以|QR|二J(2—24—2x)2+4+(/1-2尸,

所以當(dāng)％=1-2=0,2=1時，|QR|取最小值，最小值為VT,C錯誤;

對D,設(shè)經(jīng)過M,B,C,N四點的球的球心。坐標(biāo)為(a,6,c),

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(OB=OC((a-2)2+(匕-2)2+c2=Q2+(匕-2)2+/fa=1

所以］OM=ON=(a—2)2+塊+(c—l)2=a2+(b—2)2+(c—l)2=J

222222

(08=0M(a-2)+(b—2)+c=(a-2)+b+(c-l)(5=5

所以球的半徑為。B=J(1-2尸+(1-2>+6I=去

所以球的表面積為47rx(I?=9兀，正確.

故選：ABD

12.【答案】-1

【解析】【分析】由向量平行的坐標(biāo)表示計算.

【詳解】由題意得2五+石二(m-3,2m+4),

由(2五+方)/6得一1x(m-3)=2(2m+4),

解得m=-1

故答案為：—1.

13.【答案】

乙I

【解析】【分析】分投籃1次、3次、5次甲獲勝情況討論，分別計算所對應(yīng)概率，然后求和即可.

【詳解】投籃1次甲獲勝概率為：上

投籃3次甲獲勝概率為：|x|x^=1：

投籃5次甲獲勝概率為：|x|x|x|x|=^-.

所以甲獲勝的概率為號+"+/=捺

故答案為：掾

14.【答案】竽或|舊

【解析】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定三棱錐A-8CC'的特征，求出其高即可求得體積.

【詳解】在三棱錐力一BCC'中，AC7=AC=AB=4,BC/=BC=2,

由CC，=272,得BC，2+BC2=8=CC'2,則，c'8C=90。，

取CC，中點0,連接40,8。，則80=。,4。="4c2—g=E，

顯然BO2+4O2=16=482,則40180,又A01CC',BOcCC'=O,BO,CC'u平面8CC',

因此40L平面BCC',三棱錐4一8。。'的體積了=!5,88，?。=竽.

第10頁，共17頁

15.【答案】解：（1）由頻率分布直方圖可得（0.006+0.012+0.04+0.026+十+0.006）x10=1,

解得Q=0.01

本次聯(lián)考該校數(shù)學(xué)成績在［80,90）的頻率為0.006xl0=0.06,

在［90,100）的頻率為0.012x10=0.12,

在［100,110）的頻率為0.04x10=0.4,

因為0.06+0.12=0.18<0.5,0.06+0.12+0.4=0.58>0.5

所以中位數(shù)在［100,110）之間，設(shè)為m,

則0.06+0.12+（m-100）X0.04=0.5

解得m=108

所以本次聯(lián)考該校數(shù)學(xué)成績的中位數(shù)為108.

（2）成績在［80,90）的人數(shù)與成績在［90,100）的頻率的人數(shù)之比為1:2

根據(jù)分層抽樣可知抽取的6人中成績在［80,90）的有2人，成績在［90,100）的頻率的有4人

假設(shè)成績在［80,90）的2人分別記為公，42，成績在［80,90）的4人分別記為名,％,%?隨機抽取兩人的樣

本空間為

｛（4,旬,（4,8）（4,%）,（公,%）,（4,%）,（4，，）,（A2t附）,（4,%）,

（公,%）,（為,/）,⑻,巳）,（B1,氏）,⑸,%）,⑸,%），（%,%）｝共15個

兩人中恰好一人分?jǐn)?shù)在［80,90）內(nèi),另一人在［90,100）內(nèi)包含

｛4,8。（公,82）,（4,%）,（公,%），

（4,%）,（42,私）,（力2,%）,（力2'"）｝共8個

所以P=4

第11頁，共17頁

【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖各組頻率之和為1可求a的值；根據(jù)直方圖中的估算中位數(shù)的求法

計算中位數(shù).

（2）由［80,90）和［90,100）的頻率確定求出這兩組分層抽樣的人數(shù)，再列出從這6人中隨機抽取2人的所有可

能恃況個數(shù)，及其中恰好一人分?jǐn)?shù)在［80,90）內(nèi)，另一人分?jǐn)?shù)在［90,100）內(nèi)的個數(shù)，進而求得相應(yīng)的概率.

16.【答案】解：（1）因為P4，平面ABC,BCu平面ABC

所以PA1BC.

乂因為4c1BC,ACCiPA=A,AC,PAu面P4C,

所以8c_L［fiiP4C.

又PCu面P4C,所以BC1PC

又因為P41平面為u平面ABC,

???PA1AB,

vAC1BC,PA=>f2,AC=BC=2

所以718=2JI,PC=標(biāo)

=，

所以S.PAC=2x2x\/~2—V2,S.2^2X2=2

1111「r~

S&PAB=5x2V2xV2=2,SAP8C=5x2xv6=v6

乙乙

所以三棱錐P-4BC的表面積S=/6+AA2+4

（2）取AC中點N,取中點E,連接MN,ME,EN.

由⑴知PCI8C,

???〃是PB的中點，

???在RSPCB中，MC=^PB,

又241AB,

???在RSPAB中，MA=^PB,

所以MC=

所以MNJ.jC

乂因為NE//BC,4C_LBC

所以NE14C

又因為面AL4cn面力BC=AC

所以NMNE為二面角M-AC-8的平面角.

第12頁，共17頁

在RtAMEN中，ME=：PA=號,EN=加=1,MN=華,

所以siMMNE=^=字

P

【解析】【分析】⑴由PA1平面力BC,AC1B&根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判斷證得BC1PC,PA1AC,PAIAB,

分別計算S.PAC，S.ABC,S.PAB，S.P￡C即可得三棱錐P-ABC的表面枳；

(2)取AC中點N,取AB中點E,連接MN,ME,EN.可證±MNE為二面角M-AC-B的平面角，在RsMEN

中計算sin4MNE即得.

17.【答案】解：(1)證法一：取4cl中點F,連接EF,FA,則即為AA/IG中位線，

所以EF〃*1%

又4。//,力1Bi，所以EF//4D

從而四邊形力OEF為平行四邊形，所以0。/4產(chǎn)

乂因為/IFu面力CCia,0E不在平面4內(nèi)，

所以0E〃面力。。遇1

證法二：取8c中點F,連接E凡DF,貝IJDF為△48c中位線

所以。F〃力C

在三棱柱ABC-&B1G中，C\E"CF且C1E=CF

所以四邊形CiCFE為平行四邊形，所以瑁V/C的

第13頁，共17頁

因為nDF=尺且EROFu平面DE尸

又4cnCCi=C^.AC,CC1u平面ACCMi

所以平面。E尸〃平面力CG4

又DEu平面。EF,所以DE〃平面ACG為

(2)由題可知4411AB,AB1AC,AA1QAC=A.

所以48_1_面441的。

因為三楂錐Ci一4C8即三棱錐8-4。傳

所以V三蒯的TiGC=E4cle-^=5

所以/BxACx/Mi=8,^ACxAA1=4

連接力g,則“C遇為Bg與平面ACG&所成的角仇且84J.4CI

由均值不等式4c2+AAt2>2AC-AAr=8

所以tanG=,2:<-L=

、"+皿2"82

(當(dāng)且僅當(dāng)4c=4久時等式成立)

故tan。的最大值為苧

第14頁，共17頁

【解析】【分析】（1）證法一：取必加中點F,根據(jù)中位線定理可知得到四邊形為平行四邊

形，進一步得到DE/"凡最后根據(jù)線面平行的判定定理判斷；證法二：取BC中點F,利用面面平行判定定

理得到平面平面4CG4，然后得到DE〃平面4CG4：

(2)利用P三次留「必理三拴伽-句。儲，得到ACX/%=4,找到乙8C遇=0,然后表示tan。=兼=

,2，使用不等式求解即可.

IAC2+AA12

18.【答案】解：(1)由沆,元=2b+3c得CasinC+acosC+8+c=2b+3c,

所以CasinC+acosC=匕+2c

由正弦定理得，5sin4sinC+sin力cosC=sinB4-2sinC

故V3siih4sinC+sin4cosc=sini4cosc+cosAsinC+2sinC

所以V"5sinAsinC=sinC(cosA+2)

因為CW(0,7i),sinC工0,所以CsinA—cos/=2,整理得sin(力一勺=1.

又因為4G(0,初4YY所以A=等

O\OO/oZJ

(2)由麗=2就得祠=^AB+^AC.

得麗2

|2=(LAB+l^c)=^AB+^AC+^AB-AC

因為AB=c，/C=b,4M=2,即|而?|=2

所以4=5c2+^b2+^b?ccos等=Jc2+^b2-c

VJJJJJ

即36=c2+4b2—2bc=(c+2b)2—6bc

(i)因為S.ABC=B|j|dcsin/1=1V~3?從而be=18,

所以c+2b=12

(ii)令邊A8,AC的中點分別為E,F,由點。為△ABC的外接圓圓心，

^0ELAB,OFLAC

AOAB=(AE+EOyAS=AE-AB==1c2,

AOAC=(AF+F0)-AC=AF-AC=^AC=^b2,

所以而-AM=A0-(^AB+^AC)=^AO?AB+?AC=7(2b2+c2)=6

\35/55b

即2〃4-c2=36

又3+4b2-2bc=36

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聯(lián)立方程組，解得b=0(舍)或b=c=2門

所以SA{sc=；bcsinA=3\f3

【解析】【分析】(1)先利用數(shù)量積的坐標(biāo)公式將沅?元=2b+3c轉(zhuǎn)化，再利用正弦定理結(jié)合兩角和差的正

弦函數(shù)公式對等式進行化簡，最后根據(jù)角的范圍求出4

(2)由兩=2就根據(jù)向量的線性運算可得詢=《而+弓近，再利用數(shù)量積的運算律得到36=c2+4房一

2加=(c+2b)2-6%.

(i)利用SrBc=?C,結(jié)合力求得加，即可求得c+28；

(ii)令邊48,4C的中點分別為瓦巴，先根據(jù)0El/18,0F14C,求得彳3?瓶二^。2,

AO-AC=^b2,由同祠=6及麗=J而+,正利用數(shù)量積的運算律求得2川+c2=36,再結(jié)合c?+

4b2—2bc=36,解得b=c=2，^,即可求S“8L

19.【答案】解：(1)若甲只擲骰子1次，甲贏的情況如下.

甲擲出向上的點數(shù)為1,乙擲出向上的點數(shù)為6,此時有1種情

甲擲出向上的點數(shù)為2,乙擲出向上的點數(shù)為6、5,此時有2種情況

甲擲出向上的數(shù)點為3,乙擲出向上的點數(shù)為6、5、4,此時有3種情況

依此類推，甲贏的情況共有1+2+3+4+5+6=21種

故甲贏的概率為翌=得.

(2)若甲擲骰子2次，甲血的情況如下.

②甲第1次擲骰子向上的點數(shù)為1.

第2次擲骰子向上的點數(shù)為1,乙擲骰子向上的點數(shù)為6,5,此時有2種情況;

笫2次擲骰子向上的點數(shù)為2,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4,此時有3種情況;

依此類推

第2次擲骰子向上的點數(shù)為5,乙擲骰子向上的點數(shù)為6、5、4、3