2024-2025學年山東省棗莊市高二(下)期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.(1-“)8的展開式的第4項的系數(shù)是()

A.CfB.-C^c.c/D.Y

2.下列命題中正確的是()

A.若,=35，則y，="s嗚B.若y=cos(2x),則y'=2sin(2x)

C.若y=ln(3久)，則V=2D.若y=e2x,則y'=2e2x

3.微B吒之魔童鬧海》催探1990》覆登出沒?重啟未來》三部賀歲片引爆了2025年春節(jié)電影市場.某電影院

同時段播放這三部電影，小王和他的5位同學相約一起去看電影，每人只能選擇看其中的一場電影，則不

同的選擇方案有()

A.63種B.俏種C.36種D.犬種

4.已知隨機事件4B,PQ4)=g，P⑻=,PJ|B)=|，則P(8M)=()

754

AD

9-9-9-

5.函數(shù)/(%)=爐一產(chǎn)一%+1,%e的取小值為()

A.三B.0C.-3D.3

131

a%+X2

6.函數(shù)/(久)3-2--x在［1,3］上存在單調(diào)遞增區(qū)間，貝布的取值范圍是()

12

A.(--,+oo)B.(2,+oo)C.(0,+oo)D.(--,+oo)

477

7.如圖所示，楊輝三角是二項式系數(shù)的一種幾何排列，第九行是(a+b)"的展開式的二項式系數(shù)，觀察圖中

數(shù)字的排列規(guī)律，可知下列結(jié)論不正確的是()

行

第

A.量+或+…+量=831X一

T丁

第

25一

B.第2025行所有數(shù)字之和為22。251了

第

34一

1丁

第

4一

C.第12行從左到右第3個數(shù)與第4個數(shù)之比為得丁

第

5一

丁

:

D.第2025行從左到右第1014個數(shù)比該行其他數(shù)都大?

8.已知/(%)是定義在R上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為/'(%),且當%>0時，2/(%)+%((%)V0,則不等式(％-

2025)2/(%—2025)-4/(-2)<0的解集為()

A.(-oo,2023)U(2027,+oo)B.(2023,2027)

C.(2027,+oo)D.(-oo,2023)

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知幾>m(n,meN*),則下列等式正確的是()

A.優(yōu)=寓零1B.A^-A^=聲力仁J

C.押=nA^D.昭1=C$+C鏟t

10.有甲、乙、丙、丁、戊五位同學，下列命題正確的是()

A.若五位同學排隊，甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，則不同的排法有24種

B.若五位同學排隊，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有30種

C.若五位同學排隊，甲乙丙三位同學按從左到右的順序排隊(不必相鄰)，則不同的排法有60種

D.若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，每位同學至少到

一個社區(qū)，則不同的分配方案有36種

11.已知/(%)=e*+%—3的零點為%1，g(%)=+%—3的零點為久2，則()

X1X2

A./+久2=3B.5/>x2C.%i%2<亨D.e+e>2V~e^

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.在(X2一%一y)5的展開式中，％5y2項的系數(shù)為.

13.已知/(%)=2/(2-%)+x2-Inx,貝葉(%)在點X=1處的導數(shù)為.

14.已知直線y=kx+力是曲線y=e%T與y=ex+2024—2025的公切線，貝心=.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知(2/一專廠(nGN*)的展開式中，其前三項的二項式系數(shù)的和等于46.

(1)求展開式中所有二項式系數(shù)的和；

(2)求展開式中的常數(shù)項.

16.(本小題15分)

同一種產(chǎn)品由甲、乙、丙三個廠供應.由長期的經(jīng)驗知，甲、乙、丙的正品率分別為0.95、0.90、0.96,

甲、乙、丙生產(chǎn)該產(chǎn)品所占比例分別為2：3：5,將三家產(chǎn)品混放在一起.

(1)任取一件產(chǎn)品，計算它是次品的概率；

(2)現(xiàn)取到一件產(chǎn)品為次品，問它是由甲、乙、丙三個廠中哪個廠生產(chǎn)的可能性最大？說明理由.

17.(本小題15分)

已知函數(shù)/(X)=|x3+Zax2+b—l(a,beR)在工=2處有極值.

(1)求f(x)的極值；

(2)若/(x)在區(qū)間［-2,3］上有三個零點，求b的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知/(%)=2alnx+-x2—(a+2)%(aER).

(1)討論f(%)的單調(diào)性；

(2)若任意的%i，x2E(0,+8)(/。冷)，>3-a,求a的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知函數(shù)/(%)=ex-ax-1在點(1,7(1))處的切線經(jīng)過點(2,2e-5).

(1)求a的值；

(2)若f(%)有兩個零點%0x2(%i<&)，求證：%i+%2<21n2.

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：二項式的展開式的通項公式為Tr+1=CJ(-X)r,r=0,1,8,

令r=3,則第4項的系數(shù)為量x(—1)3=—量.

故選：B.

求出展開式的通項公式，令r=3即可求解.

本題考查了二項式定理的應用，屬于基礎題.

2.【答案】D

【解析】解：(cos『=0,A錯誤；

(cos2xy=—2sin2x,B錯誤;

(ln3x)'=^-=-,C錯誤；

'y3xx

(e2xy=2e2x,。正確.

故選：D.

結(jié)合函數(shù)的求導公式及求導法則檢驗各選項即可求解.

本題主要考查了函數(shù)求導公式及求導法則的應用，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：小王和他的5位同學相約一起去看電影，每人只能選擇看其中的一場電影，則不同的選擇方

案有36種.

故選：C.

根據(jù)排列組合相關知識可解.

本題考查排列組合相關知識，屬于基礎題.

4.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，P⑷冬,P(B)=5PQ4|B)=|,

故P(4B)=P(B)PQ4|B)

故選：D.

根據(jù)題意，由概率的乘法公式可得P(AB),進而由條件概率公式計算可得答案.

本題考查條件概率的計算，注意條件概率的計算公式，屬于基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：對/'(x)=x3-x2-x+1求導，得f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(久-1),

1

令—(%)=0，解得％=-]或％=1，

X6[―1,—9時，/'(%)>0,f(x)單調(diào)遞增；

1

XG

-3-/■(久)單調(diào)遞減;

久6(1,2]時，/'(%)>0,/(%)單調(diào)遞增,

f(-1)=0;

132

"=罰

f⑴=0；

f(2)=3,

綜上所述最小值為0.

故選：B.

C1

對函數(shù)/(久)=/-/一%+1,求導得「(X)=(3%+1)(%-1),確定臨界點X=-§、X=1,分析各區(qū)間

單調(diào)性，計算區(qū)間端點與臨界點函數(shù)值，比較即可得xe[-1,2]時最小值為0.

本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)的最值，屬于中檔題.

6.【答案】A

【解析】解：?.?函數(shù)f(x)=梟乂3+32一支在口3]上存在單調(diào)遞增區(qū)間，

3%e[1,3],使得f'(%)=ax2+%—1>0有解，

9

即E[1,3],使得a>成立,即當(€[1,3]時,a>(~^~)mtn

令g(x)=愛(1W比W3),則g'(x)=弋：…=爰，

令“(%)=。，得％=2，

當％W[1,2)時,g'(%)<0,當％W(2,3]時,“(%)>0,

.??當％=2時，g(x)取得極小值，也是最小值，即當xe[1,3]時，9(久)2g(2)=—

1

a>~4-

故選：A..

依題意，得使得「(%)=a%2+%一1>0有解，分離參數(shù)a,構(gòu)造函數(shù)g(%)=丁(14%工

3),求導分析，可求得其最小值，即可得到答案.

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價轉(zhuǎn)化思想及構(gòu)造法的運用，考查運算求解能力，屬于中

檔題.

7.【答案】D

【解析】解：對于4Cg+盤+...+廢=613+或+C/+…+Cg—1=C4+盤+…+Cg-1=Cg-1=

83,

即A正確；

對于8,第2025行所有數(shù)字之和為C%25+廢025+…+C第蔻=22。25,

即5正確；

對于C,第12行從左到右第3個數(shù)與第4個數(shù)之比為字=豆跺而=余

即C正確；

對于。，第2025行共2026個數(shù)，

由組合數(shù)的性質(zhì)可得：從左到右第1013個數(shù)與第1014個數(shù)相等且比該行其他數(shù)都大，

即。錯誤.

故選：D.

由組合數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合二項式定理的應用求解即可.

本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)，重點考查了二項式定理的應用，屬中檔題.

8.【答案】A

【解析】解：令g(x)=x2f(x),

「當%>0時，2f(X)+xf(x)<0,

.,.當x>0時，g'Qc)=2xf(x)+x2/,(x)=x(2/(x)+xf'(xy)<0,

???g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減;

又/(無)是定義在R上的偶函數(shù)，且y=/也是定義在R上的偶函數(shù)，

g(x)-//(久)是定義在R上的偶函數(shù)，

不等式(X-2025)210-2025)-4/(-2)<0可等價轉(zhuǎn)化為(%-2025)27(%-2025)<(—2)2/(—2)=

27(2),

即g(x—2025)<g(2),

|x-2025|>|2|=2,

解得x>2027或無<2023.

故選：A.

令g(x)=久2/(久)，由題意可得g(x)=久2/(久)是定義在R上的偶函數(shù)，求導分析，可得g(x)在(0,+8)上單

調(diào)遞減；原不等式可轉(zhuǎn)化為g(x-2025)<g(2),解之即可.

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)思想、等價轉(zhuǎn)化思想及構(gòu)造法的運用，考查了運算求解

能力，屬于中檔題.

9.【答案】BCD

【解析】解：對于4唔C％=嚕?=J-g^-優(yōu),故A錯誤；

n+ln+lm\(n+l-m)\n+l—mm\(ri-m產(chǎn))ln+l-m

對于B,74螫=黑熊=伽+1)焉廠伽+1)砒，

4罌-A^=(n+1)A^—=nA^=n2A^,故B正確；

對于C,囪工1=展蜉?=&=礙故c正確；

對于D,C鏟+-一】=藏/+(…溫二+1)!

(n—m+1)-n!m'n!

~ml(n—m+1)1(m)!(n—m+1)!

_O+D"!=0+1)!=Cm,

m!(n—m+1)!m!(n+l—m)!n+l，

故。正確.

故選：BCD.

利用組合數(shù)及排列數(shù)公式逐項判斷即可得解.

本題主要考查排列與組合公式的應用，考查運算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題.

10.【答案】AD

【解析】解：對于4若五位同學排隊，甲、乙必須相鄰且丙、丁不能相鄰，

則不同的排法有掰?朗?朋=24種;

即A正確；

對于B,若五位同學排隊，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，

則不同的排法共有點+盤?用=42種；

即8錯誤；

對于C,若五位同學排隊，甲乙丙三位同學按從左到右的順序排隊(不必相鄰)，

則不同的排法有駕=20種，

即C錯誤;

對于。，若甲、乙、丙、丁四位同學被分配到三個社區(qū)參加志愿活動，每個社區(qū)至少一位同學，每位同學

至少到一個社區(qū)，

則不同的分配方案有娶.“=36種，

即。正確.

故選：AD.

由相鄰問題捆綁法、定序問題倍縮法，結(jié)合不相鄰問題插空法逐一判斷即可.

本題考查了排列、組合及簡單計數(shù)問題，屬中檔題.

11.【答案】ABD

【解析】解：因為f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(x)=ex+x-3的零點為與，

所以方程e，+尤—3=0存在唯一實數(shù)根K1，滿足靖工+/—3=0,

9(久)=Inx+x-3在(0,+8)上為增函數(shù)，且方程bix+%—3=。存在唯一實數(shù)根與，

對于g(X)=Inx+x—3,用短代換；c,可得g(e")=lnex+ex—3=ex+x—3=

所以冷=e%,可得久i+久2=+e*i=(e*i+/—3)+3=3,故A項正確；

根據(jù)1+%—3是定義在R上的增函數(shù)，

因為e"=<4/(7)4=p所以/(')=65+^—3=e4—^<0,

V44444

結(jié)合/(I)=e+l—3>0,可得%1€(工,1),

根據(jù)g(2)=Zn2-1<0,g(3)=ln3>0,可得%2e(2,3),

由5/6(與,1),可得5久1>竽>3>%所以B項正確；

根據(jù)乂1€弓,1),冷€(2,3),可得X62>5>亨，所以C項不正確；

根據(jù)基本不等式，可得短1+短2>2V/1+亞=2，葭，

結(jié)合乂1、久2不相等，可知以上不等式的等號不成立，故e%+e*2>2，次，所以D項正確.

故選：ABD.

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)的單調(diào)性，可知的是/(%)的唯一零點，且冷是9(%)的唯一零點，結(jié)合指數(shù)與對數(shù)的運

算法則證出％2=e%,進而可得/+久2=3,即可判斷出4項的正誤；根據(jù)零點存在性定理，算出久

得,1),與6(2,3),由此判斷出BC兩項的正誤；最后運用基本不等式對D項作出判斷，即可得到本題的答

案.

本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的零點與方程的根、基本不等式的運用等知識，考查了計

算能力、邏輯推理能力，屬于中檔題.

12.【答案】-30

【解析】解：由多項式(一一久一y)5,即為(久2一萬一y)(久2一萬一切(久2一萬一切(久2一萬一切(久2—X—

V)，

要得到好產(chǎn)項，結(jié)合組合的運算，可得好了2項為：

Cl■(-y)2-Cl-(-X)?Cl■(x2)2=-30x5y2,

所以好好項的系數(shù)為一30.

故答案為：-30.

根據(jù)題意，利用組合的運算方法，求得展開式中含久5y項，即可求解.

本題考查了二項式定理的應用問題，是基礎題.

13.【答案I]

【解析】解：/(%)=2/(2-x)+x2-Inx,

故1(1)=+2—1,解得/⑴=

故答案為：

根據(jù)已知條件，結(jié)合導數(shù)的運算法則，即可求解.

本題主要考查導數(shù)的運算法則，屬于基礎題.

14.【答案】1

x+2024x+202i

【解析】解：因為y=e'T與y=e-2025的導數(shù)分別為y'=短一】與4=e,

設直線y=kx+b與曲線y=ex~r,y=ex+2024—2025分別切于點(zn,e771一1)，(n,gn+2024—2025),

所以k=="+2。24=—+M+2025,

m—n

所以m=n+2025,所以k=en+2024=—=1.

n+2025—n

故答案為：L

根據(jù)導數(shù)的幾何意義，建立方程，即可求解.

本題考查函數(shù)的公切線問題的求解，屬基礎題.

15.【答案】512；18.

【解析】(1)前三項的二項式系數(shù)和為勰+戢+鬣=1+幾+吧/=46,

解得n=9,

所以(2——專)9的展開式中所有二項式系數(shù)的和為29=512；

(2)(2——專)9的展開式的通項公式為：

19

〃+1=Cj(2久4)9-『(一%-2)0=(一l)『c629-r久36-/,「=0,匕以

436-|r=0,解得r=8,

故展開式中的常數(shù)項為(一1)8x0x2=18.

(1)求出展開式的前三項的二項式系數(shù)和建立方程求出九的值，再根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可求解；

(2)求出二項式的展開式的通項公式，令》的指數(shù)為0,進而可以求解.

本題考查了二項式定理的應用，考查了學生的運算能力，屬于基礎題.

16.【答案】0.06；次品來自乙廣的概率最大，理由見解答.

【解析】(1)設力表示“任取一件產(chǎn)品為次品”，

則/、為、名分別表示“任取一件，產(chǎn)品為甲、乙、丙廠生產(chǎn)”,

由已知P(Bi)=0.2,P(B3)=0.3,P(B3)=0.5,

PQ4|Bi)=0.05,P(X|B2)=0.1,P(X|B3)=0.04,

???任取一件產(chǎn)品，它是次品的概率為：

PQ4)=P(Bi)P(*Bi)+P(B2)PQ4|B2)+P(B3)P(71|53)

=0.2x0.05+0.3x0.1+0.5x0.04=0.06.

|八_P(網(wǎng))_尸也1)P(4|B1)_0.2X0.05_1

()(11)—p⑷-p⑷-o.O6-6f

p(R⑷=PG%)=P(B2)PQ4|32)=0?3x0.1=1

I2lJ-p⑷-p⑷-0.06~29

p(R⑷=P(4%)=P(%)PG4|B3)=0.5X0.04=1

I3lJ-p⑷-p⑷-0.06-3,

?.?>2>3.??次品來自乙廣的概率最大.

236

(1)設a表示“任取一件產(chǎn)品為次品”，則ZB?名分別表示“任取一件，產(chǎn)品為甲、乙、丙廠生產(chǎn)”，利用

全概率公式能求出結(jié)果.

(2)利用貝葉斯公式能求出次品來自乙廣的概率最大.

本題考查全概率公式、貝葉斯公式等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.

17.【答案】(1,今.

【解析】(1)/(%)的定義域為R,/'(%)=X2+4ax,

由條件知/⑵=4+8a=0,得a=-最

所以y'Q)=x(x-2),

令廣⑸=0,得％=0或2,

f'(x),f(x)隨久的變化情況如下表：

X(—8,0)0(0,2)2(2,+oo)

+0—0+

/(X)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以/(%)的極大值為"0)=6—1,極小值為/(2)=b—提

(2)由(1),f(x)在［-2,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,3］上單調(diào)遞增，

又f(-2)=<f(2)=6-￡f⑶=b-l=f(0),

而/O)在［—2,3］上有三個零點/(2)=6-<0且f(0)=b-l>0,

解得1<fa<|,

所以6的取值范圍(1,今.

(1)根據(jù)題意可得r(2)=0,解得a,求導分析單調(diào)性，極值，即可得出答案.

(2)由(1)的單調(diào)性，可得f(2)<0,/(0)>0,即可得出答案.

本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中注意轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題.

18.【答案】當aWO時，/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

當0<a<2時，/(x)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增;

當a=2時,f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當a>2時，在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增；

ae尋+8)-

【解析】(l)f⑺的定義域為(0,+8),

((久)=§+無—(a+2)=(1產(chǎn)-2).

若f'(x)=0，則(x—a)(x=2)=0.

①若a<0,當x>2時，/(久)>0；當0<久<2時，［(久)<0,

所以/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

②若0<a<2,當％>2或0V久Va時，/'(%)>0；當a<x<2時，/'(%)<0,

所以/(%)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

2

③若a=2,尸。)=回券20,當且僅當x=2時取等號，

此時/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

④若a>2,當X>a或0<%V2時，((%)>0；當2V%Va時，((%)<0,

所以/(%)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減，在(a,+8)上單調(diào)遞增.

綜上所述，當a40時，/(%)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

當OVa<2時，/(%)在(0,a)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增；

當a=2時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當。>2時，/(%)在(0,2)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減，在(見+8)上單調(diào)遞增.

(2)不妨設久1<%2，則""2)二’(%1)>3—a=/(x2)-/(%1)>(3-a)(x2-Xi)

<=>/(%2)+(a—3)x2>/(%i)+(a—3)%>

設g(%)=/(x)+