專題24.3正多邊形和圓（知識解讀）

【當(dāng)司知粽】

1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；

2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心處之間的關(guān)系，會應(yīng)用多邊

形和圓的有關(guān)知識畫多邊形.

【笈鈉支梳理】

考點(diǎn)1圓內(nèi)正多邊形的計算

（1）正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計算在Rt\BOD中進(jìn)行：

OD:BD:OB=1：6：2；

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在RAOAE中進(jìn)行，OE:AE:OA=1:1:V2：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在收△048中進(jìn)行，AB:OB:OA=\：y/3:2.

考點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所定的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

考點(diǎn)3正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正

n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對禰性

邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

【典例今新】

【考點(diǎn)1正多邊形】

【例1】（2024?江油市模擬）如圖，A8CDE尸是中心為原點(diǎn)。，頂點(diǎn)A,。在x軸上，半

徑為4的正六邊形，貝!頂點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）

A.（2,2近）B.（-2,2）C.（-2,2近）D.（-1,近）

【變式1-1］（2018?武漢模擬）如圖，正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)從在〉軸正半軸上，邊CD

〃工軸，若點(diǎn)E坐標(biāo)為（3,2）,則點(diǎn)8的坐標(biāo)為（）

A.(3,-2)B.(-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【變式1-2]（2024秋?宜春期末）如圖，正六邊形4BCDE/的半徑。4=2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)

TD

A.（-“I）B.（-1,V3）C.（-2,-V3）D.（-V3?2）

【變式1-3]（2024秋?沂源縣期末）如圖，邊長為4的正六邊形ABCQE廣的中心與坐標(biāo)原

點(diǎn)O重合，AF〃工軸，將正六邊形48CQEF繞原點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)〃次，每次旋轉(zhuǎn)60°,

當(dāng)〃=100時，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

A.（-2,273）B.（-2,-2^3）C.（2,-2近）D.（2,2^3）

【例2】（2024秋?大連期末）正六邊形的邊心距是立.則它的面積是（）

A.2^3B.6aC.9^31273

【變式2-1]（2024秋?南沙區(qū)期末）如圖，正六邊形螺帽的邊長是4c〃?，那么這個正六邊

形半徑R和扳手的開口。的值分別是（）

A.2,2立B.4,4aC.4,2V3D.4,V3

【變式2-2]（2024秋?西城區(qū)期末）如圖，。。是正方形ABCD的外接圓，若。。的半徑

為4,則正方形A8CD的邊長為（）

A.4B.8c.2V2D.4V2

【例4】（2024?盤州市模擬）如圖，六邊形ABCQEb是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則

陰影部分的面積為（）

①

A?673-4^1273-4^C.當(dāng)D.9

oOo

【變式4-1］（2024秋?新昌縣期末）如圖，圓的半徑為4.則圖中陰影部分的周長是（）

A.4^3B.8A/3C.24D.24^/3

【變式4-2］（2024秋?阜陽月考）如圖，點(diǎn)。為正六邊形A8CQE/對角線FD上一點(diǎn)，連

接。A,OC,若正六邊形A4CQQ的邊長為6,則圖中陰影部分的面積是（）

A.3673B.18A/3C.1273D.6近

【變式4-3］（2024?海陵區(qū)一模）一個適當(dāng)大的正六邊形，它的一個頂點(diǎn)與一個邊長為定

值的小正六邊形A〃CQ￡廠的中心0重合，且與邊A3、C。相交于G、〃（如圖）.圖中

陰影部分的面積記為S,三條線段G8、BC、C〃的長度之和記為/,在大正六邊形繞點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)過程中，下列說法正確的是（）

A.S變化，/不變B.S不變，/變化

C.S變化，/變化D.S與/均不變

專題24.3正多邊形和圓(知識解讀)

【當(dāng)司目標(biāo)】

3.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；

4.理解并掌握正多邊形半徑和邊長、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會應(yīng)用多邊

形和圓的有關(guān)知識畫多邊形.

【的擁直梳理】

考點(diǎn)1圓內(nèi)正多邊形的計算

(1)正三角形

在。。中△ABC是正三角形，有關(guān)計算在Rt\BOD中進(jìn)行：

OD:BD;OB=\：yf3:2；

(2)正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計算在MAOAE中進(jìn)行，OE:AE:OA=\:\-.y/2:

(3)正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計算在冊AOA/中進(jìn)行，AB:OB:OA=\:>/3:2.

考點(diǎn)2與正多邊形有關(guān)的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所本的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

考點(diǎn)3正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。??個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正

n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數(shù)為偶數(shù)的止多邊形是中心對稱圖形，它的對徐中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

【典例今折】

【考點(diǎn)1正多邊形】

[例1]（2024?江油市模擬）如圖，A8CQM是中心為原點(diǎn)。，頂點(diǎn)A,。在x軸上，半

徑為4的正六邊形，貝!頂點(diǎn)廠的坐標(biāo)為（）

A.（2,2立）B.（-2,2）C.（-2,2近）D.（-1,近）

【答案】C

【解答】解:連接。尸.

V-=60°,OA=OF,

6

???△AO/是等邊三角形，

：.OA=OF=4.

設(shè)石尸交），軸于G,則NGOF=30°.

在RlZXGO/7中，

VZG（7F=30°，0/=4,

：.GF=2,OG=2^3.

：,F(-2,2V3).

【變式1?1】（2018?武漢模擬）如圖，正五邊形A8CQE的頂點(diǎn)A在y軸正半軸上，邊CD

〃龍軸，若點(diǎn)E坐標(biāo)為（3,2）,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為（）

-3,2)C.(-3,-2)D.(2,-3)

【答案】B

【解答】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)：該正五邊形關(guān)于），軸對稱,

所以點(diǎn)E和點(diǎn)3關(guān)于）?軸對稱,

???點(diǎn)七的坐標(biāo)為（3,2）,

???點(diǎn)3的坐標(biāo)為（-3,2）,

故選：B.

【變式1-2］（2024秋?宜春期末）如圖，正六邊形4BCDE/的半徑QA=2,則點(diǎn)B的坐標(biāo)

A.(-V3?I)B.(-1,V3)C.(-2,-V3)D.(-V3?2)

【答案】A

【解答】解：連接。&

:正六邊形ABCDEF的半徑04=00=2,

：.OB=OA=AB=2,NA8O=N6(T，

；?NOBH=0）°,--------溫---------?

/.BH=^OR=\,OH=OBcosZORH=2^-X2=V2.

:?B（-V3，1），

故選：4.

【變式1-3］（2024秋?沂源縣期末）如圖，邊長為4的正六邊形ABCOE尸的中心與坐標(biāo)原

點(diǎn)0重合，4/〃x軸，將正六邊形A8CQEF繞原點(diǎn)。順時針旋轉(zhuǎn)〃次，每次旋轉(zhuǎn)60°,

當(dāng)“=100時，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）

B\\0/E

C~|~D

A.(-2,2倔B.(-2,-2V3)C.(2.-2V3)D.(2,273)

【答案】B

【解答】解：連接04,

ZAOH=30°,AH=2,v

???OIOA27H2=2^~S

???六邊形ABCDEF是E六邊形，/\|

工正六邊形4BCOE產(chǎn)繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)6次回到原位置，\

100+6=16…4,C

,當(dāng)〃=1000寸，頂點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-2,-2?）,

故選：B.

【例2】（2024秋?大連期末）正六邊形的邊心距是則它的面積是（）

A.273B.6V3C.973D.1273

【答案】B

【解答】解：如圖，連接。4、。&過點(diǎn)。作。GLA8于點(diǎn)G.

在RtZ\AOG中，0G=?,ZAOG=30°，

yOG=OA*cos300,

.?.OA=-5^-=2,

cos30

這個正六邊形的面積=6SAOAH=6XAX2XV3=6V3.

2

【變式2-1](2024秋?南沙區(qū)期末)如圖，正六邊形螺帽的邊長是那么這個正六邊

形半徑R和扳手的開口a的值分別曷()

A.2,273B.4,4V3C.4,2^3D.4,^3

【答案】B

【解答】解：設(shè)正六邊形的中心為O,連接OA,OC,OB,AB,48與OC交于G,

則N4OC=360°-=6D°,

6

'：OA=OC,

???△AOC是等邊三角形，

.'?OA=AC=4cmt

即這個正六邊形半徑H為4cm；

???△AOC是等邊三角形，

同理△BOC是等邊三角形，

：,AC=OA=OB=BC,

???四邊形AC8O是菱形,

：.ABLOC,NG4G=￡NC/1O=30°,

AC=4cm,

?*?CG=2cffh

：.AG=qAC?-CG2=2^\/^（。〃）

.\a=AB=4^[3（c，〃）,

即4的值是4

故選：B.

【變式2-2]（2024秋?西城區(qū)期末）如圖，OO是正方形A3CO的外接圓，若。。的半徑

為4,則正方形44C。的邊長為（）

C.272D.如

【解答】解：如圖，連接4Q.

由題意，△8CO是等腰直角三角形,

???4Q=8,NC4Q=45°,N8CQ=90°,

.??8。=返8。=4核.

2

故選：D.

【變式2-3］（2025?流橋區(qū)校級模擬）如圖，點(diǎn)。為正六邊形4BCDE/的中心，連接AC,

若正六邊形的邊長為2,則點(diǎn)。到AC的距離OG的長為

【答案】I

【解答】解：連接04、OC、OD,如圖所示：

???點(diǎn)。為正六邊形A8COE廣的中心，邊長為2,

:?/B=/BCD=(6-2)X18004-6=120°,OC=OD,ZCOP=.360°-=60°，AB

6

=BC=CD=2,

???N8CA=/8AC=3(T,△OC。是等邊三角形，

AOC=CD=2,NOCD=60°,

???NOCG=120°-30°-60°=30°,

?：OGLAC,

??.OG=2OC=1,

2

即點(diǎn)O到AC的距離OG的長為1,

故答案為：1.

【考點(diǎn)2正多邊形和圓】

【例3】（2024秋?中山區(qū)期末）如圖，正五邊形48CQE內(nèi)接于。。，則正五邊形中心角N

COQ的度數(shù)是（）

B

O

----八

A.76°B.72°C.60°D.36°

【答案】B

【解答】解：:五邊形48CQE是。0的內(nèi)接正五邊形，

:.五邊形ABCDE的中心角ZCOD的度數(shù)為刎二_二72°,

5

故選：B.

【變式3-1]（2025?東坡區(qū)校級模擬）如圖，正五邊形A8CQE內(nèi)接于。0,連接AC,則N

【答案】B

【解答】解：在正五邊形43CQE中，ZB=AX（5-2）X18O0=108°,AB=BC,

5

AZBAC=ZBCA=-1（180°-108°）=36°,

2

故選：B.

【變式3-2]（2024秋?長沙縣期末）如圖，正六邊形內(nèi)接于。。，則NAQB的度

數(shù)是（）

【答案】B

【解答】解：連接。B,

???多邊形A8CDE尸是正多邊形，

???NAC8=360°=60。,

6

，N4OB=2NAOB=lx60°=30°.

22

故選：B.

【變式3-3］（2024秋?廬江縣期末）。。半徑為4,以00的內(nèi)接正三角形、正方形、正六

邊形的邊心距為邊作一個三角形，則所得三角形的面積是（）

A.V2B.V3C.242D.243

【答案】C

【解答】解：如圖1,△A4C為的內(nèi)接正三角形，作OM_L8C于M,連接。從

VZOBC=^ZABC=30°,

2

.?.OM=JLO8=2；

2

如圖2,四邊形A3c。為OO的內(nèi)接正方形，作ON_L￡）C于N,連接O。，

???NOQC=2NAQC=45°,

2

；?ON=DN=^-OD=2V2：

2

如圖3,六邊形A8CQE廣為OO的內(nèi)接正六邊形，作OH上DE于H,連接。￡

VZOED=1ZFED=60Q,

2

:?EH=ZoE=2,OH=y/3EH=2^/3,

2

，半徑為4的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距分別為2,2、歷，2立,

V22+（2V2）2=（273）2,

???以三條邊心距所作的三角形為直角三角形，

???該三角形的面積=1X2X26=2勺項(xiàng).

2

故選：C.

B

BA

C

OG。

\H

5VC\

DN

圖1圖2圖3

【例4】（2024?盤州市模擬）如圖，六邊形A8CQE尸是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，則

陰影部分的面積為（）

A.T■兀B.T■打C.《nD.日冗

3333

【答案】A

【解答】解：設(shè)圓心為O,連接Q4,OB,

*/六邊形ABCDEF是半徑為2的圓的內(nèi)接正六邊形，

???NAOB=60°,NABC=120°,

■：OA=OB,

???△A03是等邊三角形，

?'?SMOB=

4

工陰影部分的面積為5正六邊影八僅7）所-S朗形人0C-SUI形D0F=bg-2^~,兀義2一=6

360

好等

故選：A.

【變式4-1］（2024秋?新昌縣期末）如圖，圓的半徑為4.則圖中陰影部分的周長是（）

B.8MC.24D.24^3

【答案】D

【解答】解：如圖，連接。4,OB,過點(diǎn)。作OC_LA8于C,

根據(jù)圖形可知:

NOC8=90°,ZOBA=30°,圓的半徑08=4,

:.OC=2,

：,BC=2^3,

：.AB=2BC=4^/3f

???圖中陰影部分的周長=6X4近=24近.

故選：D.

【變式4-2］（2024秋?阜陽月考）如圖，點(diǎn)