2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(新n卷)

數(shù)學(xué)

★機(jī)大家學(xué)習(xí)生活*快*

注喜事

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆,或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)，試室號(hào)，座位號(hào)填寫(xiě)在答題

卡上c用28鉛筆將試卷類型和考生號(hào)境涂在答題卡相應(yīng)位遵上C

2.選擇題每小題選出答案后，用26鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再填涂其他答案。答案不能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置

上;如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案：然后再寫(xiě)上新的答案，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答

案無(wú)效。

一、單選題,本題共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合要求

1.樣本數(shù)據(jù)2,8,14,16,20的平均數(shù)為()

A.8B.9C.12D.18

2.已知z=1+K則一二=()

z—1

A.-iB.iC.-1D.1

3.已知集合A={-4,0,128},B={引爐=1},則AC\B=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8}D.{0,1}

4.不等式2的解集是()

X—1

A.{引-24/41}B.{x\x<-2}C.{x\-2^x<l}D.{④|/>1}

5.在AABC中，石。=2,4。=1+火,48=4，則4=()

A.45°B.60°C.120°D.135°

6.設(shè)拋物線C:y』2px(P>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)力在C上,過(guò)力作C準(zhǔn)線的垂線，垂足為R若直線3斤的方

程為y=-2x+2,則\AF\=()

A.3B.4C.5D.6

7.記Sn為等差數(shù)列{4}的前n項(xiàng)和，若S3=6S=-5，則Ss=()

A.-20B.-15C.-10D.-5

8.已知0VaV乃,cos9，則sin(a—百)=()

2o'4，

AV2R或「3V2D9

ARByc.丁10

數(shù)學(xué)試題第1頁(yè)共4頁(yè)

二、多選題，本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小j■給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分，有選借的得0分.

9.記Sn為等比數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，9為｛冊(cè)｝的公比，q>0.若S3=7'=l,則()

==

A.q=WB.a$=]C.S^8D.a?4-Sn8

/J

10.已知/3)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)c>0時(shí)，/3)=(d一3)干+2,則()

A./(0)=0B.當(dāng)1V0時(shí),/(④)=—(62-3)6一了一2

C./3)>2,當(dāng)且僅當(dāng)"》D.2=-1是/Q)的極大值點(diǎn)

11.雙曲線。三一萼=l(Q>0,5>0)的左、右焦點(diǎn)分別是E，&左、右頂點(diǎn)分別為4,4,以EE為直徑的

圓與曲線C的一條漸近線交于M,N兩點(diǎn)，且NNAA/=普，則()

A.N/W4=VB.|乂4|=2|凡4|

C.。的離心率為mD.當(dāng)°=松時(shí)，四邊形N4W42的面積為84

三、填空J(rèn)H,本題共3小題，每小JB5分洪15分

12.已知平面向量a=(z,l),b=(之一1,22),若a_L(a-b),則\a\=.

13.若c=2是函數(shù)/(4)=3-l)(c-2)(c-a)的極值點(diǎn)，則/(())=.

14.一個(gè)底面半徑為4cm，高為9cm的封閉圓柱形容器(容器壁厚度忽略不計(jì))內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球,

則鐵球半徑的最大值為cm.

四、解答題，本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟

15.(13分)

己知函數(shù)/(e)=cos(2/+⑼(0<3VTT)J(0)=1-.

⑴求夕;

⑵設(shè)函數(shù)9㈤=/(⑼+啟一看)，求乖)的值域和單調(diào)區(qū)間.

數(shù)學(xué)試題第2頁(yè)共4頁(yè)

16.(15分)

已知橢圓C考■+￡=l(Q>b>0)的離心率為《，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,

(Vb-，

(1)求C的方程：

(2)過(guò)點(diǎn)(0,-2)的直線I與。交于4、6兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若^OAB的面積為V2,求\AB\.

17.(15分)

如圖，四邊形ABCD中，AB//CD,ADAB=^,F為CD中點(diǎn),E在AB上，EF//AD,AB=3AD,CD=

2月。，將四邊形ERD4沿昉翻折至四邊形EFD4,使得面EFZ74與面EACH所成的二面角為60°.

(1)證明：43〃平面CD'F.

(2)求面，CD與面所成二面角的正弦值.

數(shù)學(xué)試題第3頁(yè)共4頁(yè)

2025年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（新高考II）

參考答案

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)是符合題目要求的。

1.2,8,14,16,20平均數(shù)為()

A.8B.9C.12D.18

【答案】C

【解答】區(qū)2+8+M+I6+2?！?/p>

5

2.z=1+z,---=()

z-1

A.-iB.iC.-1D.1

【答案】A

111.

【解答】------=-----------=-=—/.

z-1l+Z-1i

3.A={-4,0,1,2,8)B={X\X3=X],ACB=()

A.{0,1,2}B.{1,2,8}C.{2,8)D.{0,1}

【答案】D

【解答】B={x|x(x-l)(x+1)=0}={0,-1,1),ADB={0,l}.

4.土二322解集是()

x-\

A.[x\-2<x<\]B.{x\x<-2}C.{x\-2<x<\]D.{x|x>l)

【答案】C

【解答】

x—4x—4—x—2

——22。-------2200----------20。一。+2)(無(wú)一1)20且1￥0=-2。<1.

x-1x-\x-\

5.AABC,BC=2,AC=1+V3,AB=C,A=()

A.45°B.60C.120oD.135°

【答案】A

【解答】由余弦定理

AC2+AB2-BC2(1+揚(yáng)2+(府-22(6+3)二叵

cosA=

2ACAB2x(1+J3)x,62j2(j3+3)-才'

7T

人￡（0,乃），故人=-.

4

6.拋物線C:），2=2px（p>0）焦點(diǎn)尸，AeC,過(guò)A作C準(zhǔn)線的垂線，垂足為B.若

lBF:y=-2x+2,則|AF|=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解答】L：y=-2x+2與x軸交于尸點(diǎn)，則氏1,0）,

故］=lo〃=2oC:y2=4x；

設(shè)：）'=一21+2與y軸交于N點(diǎn),則N（0、2）；

準(zhǔn)線與X軸交于M點(diǎn)，位.FON~AFMB,MB=2NO=4,故以=4,

代入。：丁=4工得4=4,4(4,4),|A入|二J(4-l)2+42=5

7.S“為等差數(shù)列｛/｝前幾項(xiàng)和，S3=6,S5=-5,S6=（）

A.-20B.-15C.-1()D.-5

【答案】B

【解答】5〃為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，故｛。｝為等差數(shù)列，該等差數(shù)列的公差為4

n

區(qū)-邑=24=4=一』=4=邑+4=-i--=>s6=-i5.

5311265,26

八。,乃、/、

8.0<a<TT,cos—=——,sin(a---)=()

254

A6R叵C3拒

A.------v-----

10510

【答案】D

【解答】

aV5

cos—=——,

25

c，a1J

cosa=2cos----1=一,

25

又0<a<乃，

4

sma=一，

5

則sin(a-?)=*(sina-cosa)=哈

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的。分。

9.S”為等比數(shù)列｛凡｝前〃項(xiàng)和，“為｛6,｝公比，“>0,S.=7,q=1,則()

A.c/=—B.a.=—C.S：=8D.a+S”=8

[29D〃n〃

【答案】AD

【解答】由已知條件

S3=a[+%+。3=—r+―+^3=~V+—+1=7=>-^-4---6=0=>(—+3)(——2)=0

①qqq-qqq

又g>0,則，=2=>夕=」，

q2

故q=g=44=4x《產(chǎn)=(1廣3同=8-4尸，

q222

2

%=a.q=：￡=8-針*8a+5〃=(；產(chǎn)+8-(；尸=8,

lL乙乙

綜上AO正確.

10./(x)定義在R上奇函數(shù)，x>0時(shí)，/(x)=(x2-3)eA+2,則()

A./(0)=0

B.當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=-(x2-3)e-x-2

C./3)之2當(dāng)且僅當(dāng)百

D.x=T是/(x)極大值點(diǎn)

【答案】ABD

【解答】為R上的奇函數(shù)，故/(0)=0,A正確：

x<0時(shí)，一x>0,故/[一])=[(一%)2-3]",+2=(/-3)",+2,

f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e~x-2,B正確：

x>0W,f(x)=(x2-3)ex+2=>/*(x)=(x+3)(x-1)eK,/,(l)=0；

0<x<l時(shí)/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減，x>l時(shí)/'(x)>0,/")單調(diào)遞增，故x=l為

/3)極小值點(diǎn)，由/(幻為R上的奇函數(shù)，故工=-1為/(X)極大值點(diǎn)，D正確；

f(-l)=2e-2=2(e-l)>2,C錯(cuò).

xy2

11.雙曲線c：j=1（4>0,〃>0）左右焦點(diǎn)為￡,用，左右頂點(diǎn)為4,A??以66為

a~b2

5乃

直徑的圓與。的一條漸近線交于M,N,且NNAM=點(diǎn)，則（）

A.

R.|例4=2141

C.。離心率為

D.當(dāng)〃二夜時(shí)，四邊形M\M%面積為8月

【答案】ACD

【解答】

由對(duì)稱性不妨取斜率為正的漸近線/“V：y=，

又MO=r=c,則易知M(a,〃)，又4(一。，°)，

4(a,0),

則如圖

/4加4=4一/八4知二?，A選項(xiàng)正確；

則在中，|噂|=百|(zhì)叫|,B選項(xiàng)錯(cuò)誤,

八...2aG

,/tanZ/^A/A,=—=——，

b3

則G=?=Jl+,=JR,C選項(xiàng)正確；

當(dāng)。二五時(shí)，S，MM&=2xg|MAHM4|=2次?=86,D選項(xiàng)正確.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.a=(x,l),b=(x-l,2x),2_1_(1—B)則忖=.

【答案】x=\

【解答】a-b=(1,1-2^),a.L(a-h)<=>a-(a-b)=0<=>x+\-2x=0=>x=\.

13.x=2是/(幻二(4一1)0-2)(4一。)的極值點(diǎn)，則f(0)=—.

【答案】-4

【解答】f\x)=(x-2)(x-^)+(x-l)(x-?)+(x-l)(x-2),

若x=2為/(x)的極值點(diǎn)，則/⑵=2-a=0=>々=2.

fM=(x-l)(x-2)2=/(0)=-lx4=-4

14.一個(gè)底面半徑為4?！?，高為9。"的封閉圓柱形容器內(nèi)有兩個(gè)半徑相等的鐵球廁鐵球半

徑的最大值為cm

【答案】-

2

【解答】

設(shè)鐵球半徑為，兩鐵球位置如圖所示，

豎直方向有，h=OM+Oasine+O2H2,

即9=2r+2rsing，

水平方向有，2R=4。+。02，cose+4。?，

即8=2r+2rcos6，

則(9一2萬(wàn)+(8—2-尸=4廠2

化簡(jiǎn)得：4/一68〃+145=0

(2一29)(2一5)=0,

5?9

解得：r=￡,r=—(舍)

22

故答案為：-

2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

15.(13分)/(x)=cos(2x+^>)(0<(p<7r),/(0)=

(1)求°；

(2)g(x)=f(x)+求g(x)的值域和單調(diào)區(qū)間.

6

【解答】解：(1)/(())=cos^=-,由0<*<不，故@=工；

23

(2)f(x)=cos(2^+—)?/(x--)=cos2x,cg(x)=/(x)+f(x--)=y/3cos(2^+—)

3666

故g(x)的值域?yàn)閇-66],

令2k兀=lx+—《幾+2k兀>解得--+k^x^—+k兀，

61212

即g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為*+—工+就，kwZ

同理可得g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為葛+版■，皆+觀,kwZ

22/個(gè)

16.（15分）橢圓C:=十工=1（。>〃〉0）的離心率為工二，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.

a-h~2

（1）求C的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)（0,-2）的直線/與。交于兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S“OA8=&，求|A5|.

22

【解答】（1）。=2,c=\f2,橢圓方程為：—+—=1；

42

（2）設(shè)］:y="一2,點(diǎn)P（0,-2）,點(diǎn)A（M，yJ,B（x2,y2）,

工+工_1

聯(lián)立｛42~可得：（2公+1）/-8履+4=0,其判別式為A=32公-16,

y=kx-2

8k4

十干罰…一罰>0（兩根同號(hào)）,

由△>(),可得旦或《旦,

22

S&OAB=S*)PB-S^OPA=；x2,2I-JX2kli=_xj=W=叵，

乙NN入i1

解得T，

2

|AB\-\lk+1\x2-xj=Axy/2-5/5.

17.（15分）.如圖，四邊形ABC。中，AB||CD,ZDAB=90,產(chǎn)為CO中點(diǎn)，E在

AB±,EF\\AD,A3=3AO,CO=2A。。將四邊形EfTM沿E尸翻折至四邊形

EFDA,使得面石廠。’4與面E/CB所成的二面角為

60

（1）證明：4田|平面CDF；

（2）求面3CD,與面￡">'4所成二面角的正弦值.

【解答】（1）由E8//FC,A'E//D'F,可得平面//平面ONC,

又由A8u平面A￡8

故AT?〃平面O'FC;

（2）由E/_LAE且EF1E8,可知AEB即為二面角的平面角，為60

不妨設(shè)AD=1,在平面4E8內(nèi)，由點(diǎn)A作垂線，垂足為。，

13

可證A'OJL底面E。。7,EO=-,OR=上

22

如圖建系，

FE=(1,0,0),￡A?=(0,-,y-),設(shè)平面E尸D'4的法向量為"=(XQ")

%!=0

則有1G?取乂=-6，n]=(0,-\/3,1)：

-y.+—z,=0

2-21

CB=（1,1,0）,。'8=（0,-乎），設(shè)平面BCD'的法向量為〃；=（勺,％/2），則有

W+%二°

3V3，取力=6，則1=(-6,&1)

A1+2JI-TZ1=0

耳，故sin夕考

即平面8czy與平面日”4成角0,則有'cosOn

|訃同

18.（17分）/（x）=ln（l+x）-x+x2-Ax3,0<Z:<^.

（1）證明：/⑴在（0,4⑹存在唯一極值點(diǎn)和唯一零點(diǎn);

（2）設(shè)X，9為/（X）在（°，+8）的極值點(diǎn)和零點(diǎn)；

（/）g?）=/a+（-/（1-r）。證明:g（f）在（O，M單調(diào)遞減.

（ii）比較2%與馬的大小，并證明?

【解答】⑴證明：因?yàn)?（x）=ln（l+K）-X+g/一米3%￡（0,g）,

所以r(x)=—!—一1+4一3依2

1+x

1-1-x4A--I-x*1-3kxi-3kxy

~\+x

*x+」)，

1+x3k

當(dāng)x>0時(shí)，令/'(x)=0,=—-l>0,

3k

所以當(dāng)O<X<-!--1時(shí)，(。)>0,/'(x)單調(diào)遞增；

3k

當(dāng)"'-I時(shí)，r(x)<0,/(%)單調(diào)遞減，

3k

所以X=-L_l是/Q)在(0,+O0)上唯一的極值點(diǎn)，是極大值點(diǎn).

3k

又因?yàn)?(二一1)>/(0)=0,/(—)=ln(l+—)-—<0，

3k2k2k2k

所以3X€(--1,—),J(x)=0?

23k2k0

即X2是/（X）在（0,+8）上哇一的零點(diǎn)；

(2)解:(i)因?yàn)間⑺=./■?+，)—/(%一),

所以?(/)=/($+f)+/'(KT)

一3&(X|+/)"、一32(工1一/)2

—；~!----(內(nèi)+t-A,)-—；~!-----(X,-/-內(nèi))

I+%i+/l+&一f

(x,-r)2(x,+/)

=3kt|

14-Xj+/1+Xj-t

6kr(r-A-2-2xj)

(l+x,)2-r

因?yàn)?e(0,%),所以J一十一2%<0,(l+x,)2-r2>0,

所以g'⑺二筆#

<0,

即g⑺在te(0.x,)上單調(diào)遞減;

(ii)由⑴得，g⑺在y((),再)上單調(diào)遞減，

所以ga)vg(o)，

即/(2丹)-/(0)</(*)-/(x,)=0,/(2x,)<0,

因?yàn)椤┦?。)的零點(diǎn)，所以/(々)=°，

所以/(2*)v/(%2)，

又因?yàn)椋?>X，2%>再，且/(X)在(X，+8)上單調(diào)遞減，

所以2%>x2.

19.(17分)

甲、乙乒乓球練習(xí)，每個(gè)球勝者得1分，負(fù)者得0分。設(shè)每個(gè)球甲勝的概率為p(-<p<l),

乙勝的概率為q,p+q=l,且各球勝負(fù)獨(dú)立。對(duì)正整數(shù)&之2,記p&為打完k個(gè)球后，甲

比乙至少多得2分的概率.縱為打完左個(gè)球后乙比甲至少多得2分的概率。

(1)求〃3，〃4(用〃表示)；

(2)若2二%4,求〃；

%一%

(3)證明：對(duì)任意正整數(shù)加2mL%，向<P2m-%”<P2mL%一

【解答】(1)3球后甲比乙至少多兩分，只能是甲3分乙0分，因此p3=p3;

4球后甲比乙至少多兩分，可能