2025年高二數(shù)學秋季開學摸底考（廣東專用）

全解全析

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要

求的.

I.若復數(shù)z=*（i為虛數(shù)單位）的共軌復數(shù)為7,則|彳|=（）

1-1

A.V5B.V6C.3D.V10

【答案】A

l+3i（l+3i）（l+i）-2+4i_,-----廣

【詳解】因為2==/=—^―=-1+21,所以z=_i_2i，|F|=Vl+4=V5.

1-1（1—1H1+1]幺

故選：A.

2.己知正四棱臺/BCD-44GA的上下底面邊長分別為2和4,側棱長為2石，則此正四棱臺的體積為

（）

【答案】A

【詳解】由題設，棱臺的高//=j（2后一產(chǎn)]收了=回工=3五,E，邑表示上下底面面積，

所以棱臺的體積，（E+何瓦+邑）=；*3近x（4+仄記+16）=28行.

故選：B

3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,5,6,m,10,12,13.若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，，則該

O

組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）

A.6B.7.5C.9D.9.5

【答案】C

【詳解】這組數(shù)據(jù)一共8個數(shù)，中位數(shù)是歲6+777，極差為13-1=12,

6+7775

所以解得根=9,

2o

又8x60%=4.8,則第60百分位數(shù)是第5個數(shù)據(jù)9.

故選：C.

4.為了了解我校報考飛行員的學生的體重情況，將所得的數(shù)據(jù)整理后，作出頻率分布直方圖（如圖），己

知圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為1:2:3,且第1小組的頻數(shù)為6,則報考飛行員的學生總人數(shù)是

（）

頻率

【答案】A

【詳解】設第一小組的頻率為。，貝lJa+2a+3a+0.037x5+0.013x5=l,

解得。=：,

O

9=48

故總人數(shù)為！，

8

故選：A.

5.一個質(zhì)地均勻的正八面體的八個面上分別標有數(shù)字1到8,將其隨機拋擲兩次，記與地面接觸面上的數(shù)

字依次為占,工2，事件/：X]=3,事件2：X2=6,事件c：X1+X2=9,則（）

A.A,8互斥B.A\JB=C

C.P（ABC）=P（A）P（B）P?D.A,B,。兩兩獨立

【答案】D

【詳解】對于A：演=3#2=6,即事件48同時發(fā)生，所以/門8片0,故A錯誤；

對于B：事件C發(fā)生，/UB不一定發(fā)生，故B錯誤；

14x71

對于C：根據(jù)題意尸（Z）=P（3）=g,P（C）=—=-,

ooxoo

所以尸（/8。）=六=±,P（A）P^）F（C）=^x^P（ABC）,故C錯誤；

OXd04ooo

對于D：由尸（皿=1=尸⑷尸⑻,尸（4）=￡=尸⑷尸⑹,尸（如）$=尸⑻尸⑹,

所以/,B,C兩兩獨立，故D正確，

故選：D.

6.學生為測量青城山高度設計了如下方案：在山腳A測得山頂尸的仰角為45。，沿傾斜角為15。的斜坡向上

走了600nl到達8點（4反尸,。在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂尸的仰角為60。，則青城山的山高尸。為

（）

A.300（V6+V2）mB.300（痛-血）m

C.600（V3+l）mD.600（V3-l）m

【答案】A

【詳解】依題意，/尸/。=45°,/胡。=15°/尸/3=30°,//尸0=45°,

又NPBC=60°,則N3PC=30°,即有/AP4=15°,/PA4=135°,

APAB

在尸中,AB=600,由正弦定理得

sinZABPsin/APB

且sinl5=sin（60。-45°）=sin60°cos45°-cos60°sin45°=而4后

ABsinZABP600sinl35°600XV12000

貝|JAP=-----------------=----------------=-7=~~g=廠、l,

sin乙4PBsin15°y[6-y[l46-42

-4-

在RtAPN。中，PQ=/Psin45°=x等=300（后+行）,

所以山高尸。為300（痛+⑹米.

故選：A.

7.△/2C中，sin幺叫=必，點。在線段NC上，且=3,則UBC面積最大值為（）

23

A.472B.60C.6A/3D.4出

【答案】B

【詳解】由題意有cosN/8C=l-2sin?幺"=1一;=:，所以sin乙4BC=J1一cos?NABC=氈，

2333

__.3__?

又AD=3DC,BD=3,所以AD=—AC,

所以詼=25—方=3%—方=3（方+前）—方=一4方+3前=4方+3部,

44、74444

所以的2=（赤丫=仕麗+3前丫=，詼2+2步+。加衣

I?/（44J16168

4對+高珂+|網(wǎng)國際4g=小珂+高珂+婀闞

?2■網(wǎng)葭。珂+:網(wǎng)同]網(wǎng)網(wǎng)

士研黑國：網(wǎng)國時

即畫國<2回『=18,當且僅當=3=3a等號成立,

所以S“BC=1|Ei||5c|sinZABC=y-|Ei||sc|<y-x18=672，

故選：B.

8.正四棱錐外接球的表面積為&,內(nèi)切球（與四棱錐的底面和側面都相切的球）的表面積為用，則”的

d2

取值范圍為（）

A.[V2+l,6]B.[4,3+272]

C.[4,+oo）D.|^3+2-\/2,+ooj

【答案】D

【詳解】如圖，設正四棱錐尸-4BCD的底面邊長為〃，高為0,底面48co的中心為E,外接球的球心為

O,

外接球半徑為尺，內(nèi)切球半徑為乙則有?！?+月臺2=0臺2,

272ha

回濟*=儲,解得R=]+1=a一十一

2a4h

正四棱錐的體積2和表面積S分別為

則答就>V2+1,

等號當且僅當公正口，即4=52+2J5時成立.所以Q（&+『=3+2啦,

2a2?

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部

選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知i為虛數(shù)單位，在復平面內(nèi)，復數(shù)z=；L,以下說法正確的是（）

2+1

4

A.復數(shù)z的虛部是1

B.|z|=l

C.復數(shù)Z的共朝復數(shù)是-z=q?+14i

D.復數(shù)z對應的點位于第一象限

【答案】AD

2i2i（2-i）2+4i24.

【詳解】-------=—+—1,

2+i-（2+i）（2-i）5---55

4

A.復數(shù)z的虛部是二，故A正確;

故B錯誤;

24

B.復數(shù)z的共軟復數(shù)是彳-,故C錯誤;

D.復數(shù)z對應的點是復數(shù)z對應的點位于第一象限，故D正確.

故選：AD

10.在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件/,B,C,。發(fā)生的概率分別是0.2,0,2,0.3,0.3,則下列說法

錯誤的是()

A./+8與C是互斥事件，也是對立事件B.2+C與。是互斥事件，也是對立事件

C.N+C與8是互斥事件，但不是對立事件D./與3+C+。是互斥事件，也是對立事件

【答案】ABC

【詳解】因為事件/,B,C,。彼此互斥，所以Z+2與C也互斥，但是

P(4+8)+P(C)=PQ)+P(8)+P(C)=0.2+0.2+0.3=0.7wl,所以不是對立事件，故A錯誤；因為事件/,

B,C,。彼此互斥，所以8+C與。也互斥，但是

P(B+C)+P(D)=P(B)+P(C)+P(D)=0.2+0.3+0.3=0.81,所以不是對立事件，故B錯誤；因為事件/,

B,C,。彼此互斥，所以/+C與3也互斥，又因為

P(A+C)+P(B+D)=P(A)+P(C)+P(fi)+P(D)=0.2+0.3+0.2+0.3=1,所以是對立事件，故C錯誤；因為

事件n,B,C,。彼此互斥，所以/與8+C+D也互斥，又因為

P(N)+P(B+C+。)=P(A)+尸(8)+尸(C)+P(D)=0.2+0.2+0.3+0.3=1,所以也是對立事件，故D正確.

故選：ABC

11.在等腰梯形N8C。中，ABHCD,DA=DC=2,4B=4,點尸是梯形/BCD內(nèi)部一點(不含邊界),

且滿足9=4益+〃而(Z〃eR),則下列說法正確的是()

A.^PA+PB+PC+PD=0,貝1]%=！，〃=：：；

o2

B.當〃=24時，麗的最小值為2

C.若2彳+〃=1,則△P8C的面積為定值百

D.若4萬+若+2沏=1，則定的最小值為2,73-2

【答案】ACD

【詳解】如圖：取48中點￡,連接NC,DE,C17.

DC

W

AEB

因為梯形A8CD為等腰梯形，ABUCD,DA=DC=2,AB=4,所以△/￡?,4BEC,AEC￡>均為等邊

三角形.

對A：因為西+9+京+麗=0，所以一萬+15-AP+AC-AP+AD-AP=Q，

所以荔+太+通=4萬=次+而+g次+茄=4(4萬+〃西，

3—>—?—?—?42——O

所以—/5+240=4九45+4〃4。=>彳2=><].故A正確;

2[4〃=2

對B：當4=24時，AP=AAB+/uAD=2A^AB+AD^=2.2AC,所以點尸在直線4P上.

在△/BC中，23=60。，ZCAB=30°,所以8CJ.NC,且3c=2.

所以若|麗|=2,則尸與C重合，這與點尸是梯形/BCD內(nèi)部一點（不含邊界）矛盾，故B錯誤；

對C：若”+〃=1,貝1|加=幾萬+〃而二方=彳刀+（1-22）同，

所以"一亞=2彳（；焉-詬）=2彳；運-詬[二歷=22萬.所以點尸在線段DE上.

因為DE"BC,且兩直線的距離為6.

所以△%!?的面積為定值，為;x2xg=g,故C正確；

對D：根據(jù)平面向量的數(shù)量積的定義可得：ZB-^5=4X2XCOS60°=4.

因為4萬+〃2+2“/=1,

所以衣2=（2次+〃詬）2=萬方？+〃2詬2+2澳京?而=16力+4〃2+8/1〃=4,

即網(wǎng)=2.

所以尸點的軌跡是以A為圓心，2為半徑的圓位于梯形45cZ）內(nèi)部的圓?。▓A心角為60。的扇形?。?，又

/C=2括，所以|PC|min=26-2.故D正確.

故選：ACD

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分

12.ZUBC用斜二測畫法得到的水平直觀圖△4耳。是邊長為2的正三角形.則△/2C的面積是.

【答案】2屈

【詳解】已知直觀圖。是邊長為2的正三角形，

所以A44G的面積直;X括X2=6.

所以A/8C的面積為2亞xg=2

故答案為：2八

13.若4個數(shù)據(jù)的平均值為6,方差為5,現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10,則這6個數(shù)據(jù)的方差為.

172

【答案】y/5-

【詳解】設原來4個數(shù)據(jù)依次為。，b,c,d,則a+b+c+d=24,

因為方差為5,所以:[(a-6)2+g-6)2+(c-6)2+(，-6)1=5,

即(a—6)2+(6—6>+(。-6)2+(d-6)2=20,

所以(/+〃+02+屋)一12(0+6+0+4)+36、4=20,

貝Ia2+b2+02+/=20+12x24-36x4=164.

現(xiàn)加入數(shù)據(jù)8和10,則其平均數(shù)為：(a+6+c+d+8+10)=Jx(24+18)=7,

66

則這6個數(shù)據(jù)的方差為苴(。-7『+(6-7)2+(c-7)2+(d-7)2+(8-7)2+(10-7)2

=：[(〃+/+/+/+8?+10?)-14(。+6+c+1+8+10)+49x6]

117

=-[(164+64+100)-14x(24+8+10)+49x6]=y.

17

故答案為：—

14.在棱長為2的正方體ABCDAMR中,￡為棱8C的中點,點尸在正方體的表面上運動，且滿足用尸±DXE,

則點P的運動軌跡的周長是.

【答案】3V2+2V5

【詳解】如圖，取CG的中點尸，連接4尸并延長4斤，BC,

設片尸C|8C=G,連接/G,設/GnCD=M,連接W,ABX.

因為四邊形3CG4為正方形，且E為2c中點，尸為cq中點，

所以又DQBF(￡>6，平面8。。百)，

且C]Eu平面AGE,2Cu平面Z)GE,AGcGE=G，

所以耳尸，平面故耳尸

又明，平面ARCB,進而有ABX±DXE,

由此可得QE，平面皿G,則點P的運動軌跡周長為四邊形,

由相似得M為。C中點，則4W=B[F=J2?+F=囪,

ABt=2A/2,MF=冊，所以四邊形/即如周長為2石+3啦.

故答案為：2石+3&.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)設4,Z2均為復數(shù)，在復平面內(nèi)，已知Z1對應的點的坐標為(蘇-4機+3,加-1),且z2對應的

點在第一象限.

(1)若復數(shù)4為純虛數(shù)，求實數(shù)〃?的值；

(2)若㈤=6,且Z2是關于x的方程/-2"+a2+l=o(aeR)的一個復數(shù)根，求三上.

Z2

【詳解】(1)???馬對應的點的坐標為(加2_4加+3,加-1),

Z]=加2—4m+3+(m—l)i,其中加ER,.......................................................................................................2分

,?,復數(shù)均為純虛數(shù),

m2—4m+3=0

解得m=3,

加一1w0

m=3......................................................................................................................................................................5分

(2)*.*x2—2ax+a2+1=0

/.(X-6Z)2=-1,解得X-Q=±i,

即關于X的方程2辦+/+1=0的兩根分別為Q+i,Q—i,...................................................................8分

???Z2對應的點在第一象限,

z2=a+i,且a>0,

V|z2|=V3,

22

\z2\=y)a+1=y/3,解得a=0或a=—,由。>0,貝!1々=行，..........................10分

Az2=V2+i,即共輾復數(shù)3=0-i,

.1+i_6一2一比2拒i..........................................................................................13分

z2V2+i3333

16.(15分)為了解中學生的體育鍛煉情況，調(diào)查小組在某中學隨機抽取了100名學生，統(tǒng)計了他們某一周

的綜合體育活動時間(單位：時),并按照[0,2),[2,4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12]將樣本數(shù)據(jù)分成6組,制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

頻率/組距T

0.150--r-;--一;-----r--r--;

0.125—H—I-r—

0.100--r—1----------------r--i

0.075-i............———IT

0.050---------------------------------

0.025--------------------------------

024681012^0]/h

(1)補全頻率分布直方圖，并估計該校學生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)；

⑵利用頻率估計概率，若從該校隨機抽取兩名學生，且兩名學生的體育活動情況互不影響，求這兩名學生

中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率.

【詳解】(1)第五組的頻率為1—2x(0.05+0.075+0.10+0.125+0.050)=0.2,

所以該組對應的小矩形高度為工-=0100,..................................................................................................2分

故補全頻率分布直方圖如下:

頻率/組距八

0.150

0.125

0.100

0.075...................................................................................................4分

0.050-

0.025-

02481012時間力

設樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為1，平均數(shù)為1

因為樣本數(shù)據(jù)在［0,6)的頻率為2x(0.05+0.075+0.1)=0.45<0.5,

樣本數(shù)據(jù)在［0,8)的頻率為2x(0.05+0.075+0.1+0.125)=0.7>0.5,

則%￡(6,8),所以0.45+0.125x(%-6)=0.5,解得％=6.4,

故估計樣本中位數(shù)為6.4........................................................................................................................................7分

x=1x0.1+3x0.15+5x0.2+7x0.25+9x0.2+11xO.l

=0.1+0.45+1+1.75+1.8+1.1=6.2

故估計樣本平均數(shù)為6.2.

由樣本估計總體，該校學生每周綜合體育活動時間的中位數(shù)與平均數(shù)分別為6.4和6.2........................9分

(2)由頻率分布直方圖可估計該校學生每周綜合體育活動時間不低于8小時的頻率為(0.1+005)x2=0.3.

記事件4="抽取的第1名學生每周綜合體育活動時間不低于8小時”，4="抽取的第2名學生每周綜合體

育活動時間不低于8小時”，由題意4，應相互獨立.

利用頻率估計概率，尸(4)=尸(4)=02+0.1=0.3.....................................................................................12分

記事件/="抽取的兩名學生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時”，

則尸(AQ=P(44+4/2+4Z)=1-尸(4工)=1-"0.3)x"0.3)=0.51.

所以抽取的兩名學生中至少有一人每周綜合體育活動時間不低于8小時的概率為0.51.......................15分

17.(15分)如圖，在△/8C中，點。，￡分別是8C,4B的中點，點/在線段8。上且是靠近8點的一

個三等分點，AF交ED于點G,EC交AD于點、O.

⑴用而和而表示您；

⑵若前=力方，求實數(shù)力；

(3)過點。的直線與邊劉，8c分別交于點S,T,設四邊形。EST的面積為國，梯形NEDC的面積為$2,

s

求品的最小值.

一I—

【詳解】(1)由題意可得3尸

_1____1____0__1_

所以善=方+而=方+§麗=刀+§(而-珂=-AB+-AD...........................................................2分

(2)設/=/就，由(1)得左=g方+；近，

一2—?1__?4—?1__?

所以tAG=~AB+—AD=—AE+—AD,

—?4—?1?

即/G=—/E+—皿

3t3t

因為G,￡,。三點共線，所以4界51=1,解得:，5...........................................4分

_.4—?1—?

所以+，

^AG=AE+EG=AE+AED=AE+AilD-AE)=(i-A)AE+AAD.

1-2=-

所以J,解得2=：..................................................................................................................................7分

2=-

I5

(3)^BS=xBA,Bf=yBC(x>0,y>0),

因為分別是的中點，所以。是△/BC的重心，

所以的二函+；前=］麗+白防......................................................9分

333x3y

因為s,。,7三點共線，所以丁+丁=1,即--H—=3

3x3yty

、3_S4BED=［盯-j，

所以邑=S—BC—SABED=WS/\ABC,^1二^ABST

1

oxy—

所以*=T.........................

.................................................12分

d2-

4

因為+=3,所以=3,即％+y—3xy>2y/xy,

y"

42

所以孫之3,當且僅當工=>=§時等號成立

41

所以固-9-4_7

所以［sj.一327.................................................15分

4

18.(17分)如圖，在四棱錐尸-/BCD中，側面PAB,底面45C。，底面48CD為矩形，PA=PB,O為

的中點，OD1PC.

P

(1)求證：OC_LPZ)；

3PM,,/士

(2)若PD上存在點M,使得0M//平面PBC求而■的值

(3)若尸。與平面P8C所成角的正弦值為g,

48=2,求四棱錐的尸的體積.

k什肝Jk17也J女，

P

B

DA>

,；PA=PB,：.PO1AB,

又側面PAB，底面ABCD，側面PABn底面ABCD=/4B,尸Ou側面尸

PO1平面48CD,又。Du平面48C。，PO±OD,....................................2分

又?.?OD_LPC,por\pc=p,尸。,尸。<=平面尸。。，OD±平面POC,

又OCu平面尸OC,/.ODLOC,

又尸。_L平面48C￡),OCu平面4BCD,則PO_LOC,

POr\OD=O,尸O,ODu平面尸OD,，OC_L平面POD,

又尸Du平面尸OD,OC±PD.......................................................................................................................5分

(2)取CD中點為N,連CW,MN,

VON//BC,CW0平面PBC,BCu平面尸3C,ON〃平面P3C,

又0M〃平面尸8C,OM(1ON=O,0〃,90：平面0血加，

平面。及W〃平面P3C,MNu平面。肱V,.?.々W〃平面P2C,.......................................................8分

,/MN//PC,7W(Z平面尸2C,PCu平面尸3C,

二AW〃平面P2C,尸C,M7Vu平面尸CD,平面尸。。|"1平面依。=尸。，

PM1

/.MN//PC,又N為CD中點，則加為尸。中點，此時二77=彳；..........................11分

PD2

(3)由(1)可知ODLOC,所以AZMO為等腰直角三角形，

又AB=2,：,OD=叵，設尸。=〃，則尸。=J//+2,

記點。到面尸3。的距離為樂-PBC，

VAD//BC,4D<Z平面尸3C,5Cu平面P8C,皿〃平面尸8C,

=

——=2,hp-pBc^A-PBC=2h.0_pBc=/二,............................................14分

OBVA+1

設尸D與平面P2C所成角為

2h°pBc_2〃V6

DPDPVF+2-VF+TV

整理得/—3/+2=0,貝1」肥=1或肥=2,解得〃=1或。=&，即尸。=1或e

144A/?

所以%TBCD=wSg?PO=G或*..............................................................................................................17分

333

19.(17分)在斜三角形N8C中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,記〃=+(〃>1且亞)

—,—.1

(1)〃=2時，若CA.CB=eab,求sin/+sinB的值；

(2)cos?⑷+cosC=百sm/sm3,。為鈍角，求角C與〃的最大值；

sinC

(3)若〃=4,ZUBC的內(nèi)切圓半徑為「，外接圓半徑為R,求￡的最大值.

R

【詳解】（1）在△4BC中，CA-CB=abcosC=^ab,得cosC=；,又。?0,無），則C=］，

由題意有〃=巴心=2,貝lja+6=2c,

C

在△45。中利用正弦定理得，sin^+sin5=2sinC=2x^-=^3...............................................................3分

2

（2）在△ZBC中，cosC=—cos（4+5）,

6sinAsinB

則cos（8-4）+cosC=cos（8-/）一cos（4+B）=2sin5sin/

sin